指数与指数幂的运算教案(1,2课时)
高一数学 指数与指数幂的运算1 (2)
2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会
按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减
为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根
据
此规律,生物体内碳14含t 量P与死亡年数t之间
的关系式为
p
1 2
5730 ，那么当生物体死亡
了１万年后，它体内碳14的含量为多少？
10000
思考: 如何理解1.07310， 个数的意义呢？
当n是奇数时,n an a ;
当n是偶数时,n an | a | .
知识探究（三）：根式的性质 计算：
(1) 4 9
(3) 3 8 3 64
(2) 4 9
(4) 3 8 64
n a n b n ab
理论迁移
例1 求下列各式的值
(１) (2)4 (３) 3 (8)3
(３) 4 (3 )4 (４) 8 (a 1)8
1 2
5730
Hale Waihona Puke 这两知识探究（一）：方根的概念
1.一般地，什么叫做平方根？什么叫做立方 根？
2.４的平方根是什么？任何一个实数都有平 方根吗？一个数的平方根有几个？
3.-27的立方根是什么？任何一个实数都有立 方根吗？一个数的立方根有几个？
知识探究（一）：方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
例2 化简下列各式
(1) 5 2 6 4 9
(2) ( a 1)2 (1 a)2 3 (1 a)3
思维拓展
化简： a 2 a 1 a 2 a 1(a 1)
作业 P59习题2.1A组：1(做书上). 学法大视野：P36，37
知识探究（一）：方根的概念
2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)
新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N* 思考 ：类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，
一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ n ①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 a 表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 n a ( a 0 ) 表 示
3、根式和分数指数幂的互化
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
（1）正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意 m 1 义相同.即： n *
a
m
(a 0, m , n N )
a
n
（2）规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义. （3）运算性质仍然适用
例题分析
例3 根式与分数指数幂的互化
无
无
0 ±2 ±3
0 0
2
(2) 4
2
( 3) 9
2
－8 －1 0 8 27
－2
(2) 8
3
－1 0 2 3
( 1) 1
3
0 0
3
2 8
3
3 27
3
思考： ①已知(－2)5= －32，如何描述－2与－32的关系？
②已知(±2)4=16，如何描述±2与16的关系？
52
6 ?
尝试练习
1、 a 2 a 1 a 1, 求 a的 取 值 范 围
2
a 2a 1
《指数与指数幂的运算》教案3(3课时)
第三课时：9月22日星期三教学目标
1.掌握根式与分数指数幂的互化；
2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧
教学方法：启发引导式
教学过程
（I）复习回顾
2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）
（II）讲授新课
且要注意符号。
（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。
对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。
如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：
①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
例3．求值：
（III）课堂练习
计算下列各式：
要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结
通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业
第二教材有关题目。
《实数指数幂及其运算》(第1课时) 示范公开课教学设计
《实数指数幂及其运算》教学设计◆教学目标（1）理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；提升学生的数学抽象素养；（2）了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.提升学生的直观想象素养．（3）掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简计算，提升学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质．教学难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究指数函数、对数函数、幂函数这三类基本初等函数的性质与图像.（2）本章是继上一章学习函数及其性质的基础上继续深入学习的一部分，是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生获得较为系统的函数知识，并初步了解函数的一般方法，培养函数应用的意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性，因此，这一章起到了承前启后的重要作用.（3）起点是分数指数幂和根式的概念，目标是通过研究分数指数幂和根式使学生对指数函数及对数函数等基本初等函数的图像及其性质有更加理性的认知，对掌握基础的数学语言有不可或缺的作用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入问题2：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？师生活动：考虑到学生可能对平均增长率不太熟悉，在课堂上可以先不要求进行相关计算，但是用利用本节将要学习的内容解决相关问题.相关的计算和预测数据等，在本节最后将会呈现.设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣.引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.（板书：实数指数幂及其运算）【新知探究】1．把初中学过的知识作为实例，感知指数幂，分析出有理指数幂的概念，并逐步引到实数指数幂的研究上.初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32， 30=师生活动：问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？一般地，a n 中的a 称为底数，n 称为指数①．==-53153追问1：正整指数幂有哪些运算法则？整数指数幂运算的运算法则有a m a n=a m+n，（a m）n=a mn，（ab）m=a mb m.追问2：对于幂指数0，是否满足上述法则？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：（1）非零实数的0次幂等于1；（2）0的0次幂无意义.2、初中我们还学习了平方根和立方根：（1）如果x2=a，则称x为a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，负的平方根记为当a=0时，a只有一个平方根，=；当a＜0时，a在实数范围内没有平方根．例如，=二次根式的运算法则有2a===（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数a有且只例如，=问题3：类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义？预设的答案：（1）如果,4ax=则x称为a的四次方根：当a>0时，a有两个四次方根，它们互为相反数，正的四次方根记作4a，负的四次方根记作a=0时，a只有一个四次方根，记作04=；当a<0时，a在实数范围内没有四次方根.（2）如果,5ax=则x称为a的五次方根：在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记作5a.师生活动：问题4：通过上述问题的探讨，请同学们自行归纳出n次方根的概念938预设的答案：一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得 x n =a ，则x 称为a 的n 次方根．总结：本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围．例如，因为方程x 4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x 5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2 根据方程x n =a 解的情况不难看出：（1）0的任意正整数次方根均为0，记为000=.（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a 的n 次算术根，记为n a ，负的方根记为-n a ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a ＜0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为n a ．而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.当n a 有意义的时候，n a 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数. 一般地，根式具有以下性质： （1）a a nn =)(（2）当n 为奇数时，a a n n=；当n 为偶数时，||a a n n =强调：（1）n a 一般读作“n 次根号a ”（2）当a <0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义；（3）当n a 有意义时，n a 是一个实数，而且它的n 次方等于a ，即a a nn =）（预设的答案：（1）2- （2）23） 4- （4）2 （5）｜a −b ｜ (6)2)(b a - 设计意图：通过让学生自行归纳n 次方根的概念，培养学生利用类比等方式学习新知识的能力，通过特殊情况归纳得到一般情况是本书反复强调的一点，符合学生的认知习惯.问题5：对于n a ，当n 是正整数时的意义我们已经知道，那么这里的n 能不能是分数呢？当n 是分数时，n a 的意义又是什么呢？预设的答案：n 可以是分数，比如215，215应该满足555)5(1221221===⨯，这表示215应该是5的平方跟，但是5的平方根有两个，即5和5-，为了方便起见，我们规定5521=.当n 是分数时，na 的意义是如果n 是正整数，那么：当n a 有意义时，规定n na a =1设计意图：通过让学生对具体实例的理解，快速的理解一般情况的事实.总结：对于一般的正分数nm ，也可作类似规定，即 nm m n n ma a a ==)(但值得注意的是，这个式子在nm不是既约分数（即m ，n 有大于1的公约数）时可能会有歧义.追问：当0≠a 且m 与n 都是正整数时，n mnm a a=，那么此时该如何理解nm a-呢？预设的答案：可以从运算法则的角度来理解，即nmnm nm aaa10==--.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）（2） （3）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈本资源展现分数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于分数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入微课【知识点解析】分数指数幂的意义问题6：求证：如果a >b >0，n 是大于1的自然数，那么11nna b > 证明 假设nnb a 11<或nnb a 11=根据不等式的性质与根式的性质，得a <b 或a =b ． 这都与a >b 矛盾，因此假设不成立，从而nnb a 11> 利用上述结论，可以证明（留作练习）： （1）如果a >s >0，s 是正有理数，那么a s >b s ； （2）如果a >1，s 是正有理数，那么a s >1，a -s <1； （3）如果a >1，s >t >0，且s 与t 均为有理数，那么a s >a t问题7：若＞0，P 是一个无理数，则该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本6页.a (0,)pa a p >是一个无理数此图片是动画缩略图，本资源通过数轴上近似值逼近的方法认识无理数指数幂，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率. ，本资源适用于认识无理数指数幂的教学，供教师备课和授课使用..若需使用，请插入【数学探究】认识无理数指数幂 .预设的答案：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,)pa a p >是一个无理数(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r ab a b a r R ⋅=>∈本资源展现无理数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于无理数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入图片【知识点解析】无理数指数幂的意义 例1.求值:①8;②25③()－5;④().师生活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5－1=; ③()－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④()=()=()－3=.设计意图：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8===4.3221-21811643-218116323232323⨯21-21-)21(2-⨯5121811643-32)43(4-⨯3282732328364例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·;a 2·;(a >0).师生活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·=a 3·a =a=a ;a 2·=a 2·a =a=a ;=(a ·a )=(a )=a .设计意图：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数. 例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(－6a b )÷(－3a b ); （2）(m n)8.师生活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a b=4ab 0=4a ;（2）(m n)8=(m )8(n)8=mn =m 2n －3=. 设计意图：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.a 32a 3a a a 21213+2732a 32232+383a a 31213421323221213161654183-612132-+653121-+4183-4183-841⨯883⨯-32n m设计意图：巩固集合的概念，元素与集合之间的关系．关键是要搞清每个集合中的元素是什么，进而确定给定的元素与集合之间的关系．【课堂小结】1．板书设计：4.1指数与指数函数1．有理指数幂例12．有理指数幂的性质例23．实数指数幂例3练习与作业：教科书第8页练习A1，2题；教科书第8页练习B 1，4题．2．总结概括：问题8：(1)无理指数幂的意义是什么？.(2)实数指数幂的运算性质有哪些？(3)逼近的思想，体会无限接近的含义.师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数.（2）对任意的实数r，s，均有下面的运算性质:①a r·a s=a r+s(a>0，r，s∈R).②(a r)s=a rs(a>0，r，s∈R).③(a·b)r=a r b r(a>0，b>0，r∈R).设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数幂的有关知识．布置作业：教科书第8页练习B 1-4题．【目标检测】1.下列说法中:①16的4次方根是2; ②416的运算结果是±2; ③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()A.①③④B.②③④C.②③D.③④设计意图：考查学生对指数幂的掌握程度．2.2.已知x5＝6，则x等于()A. 6B.56 C.－56 D.±56设计意图：考查学生对根式的理解．3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2 B.3m C.6m D.5－m 设计意图：考查学生对根式的理解及运算的素养．参考答案:1、①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2; ②错，416＝2，而±416＝±2. ③④正确. 答案D2、由根式的定义知，x5＝6，则x＝56，故选B.3、要使6m有意义，m≥0.。
数学必修Ⅰ人教新课标2-1指数与指数幂的运算第2课时教案
5、(tb0112911)化简 (a>0,b>0)的结果是（C）。
(A) (B) - (C) (D) -
6、(tb0113012) (a>0,b>0)化简得（C）。
(A) (B) (C) (D)
B组：
1、（课本P59习题2.1 B组原式=
=
=
=
=
（2）原式=
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：（课本P54练习NO：1；2；3）
三、课堂小结，巩固反思：
1.这堂课的主要内容是什么？
2.做指数运算时有什么需要注意的地方？
这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
的正分数指数幂等于 , 的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．
例如： ，而 ．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
（1） （2）
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）0=1（a 0) ；0=1（a0) ；n * )a a a n N（； an a个a n1na(a 0, n N *)(2) m n m n m nmn n n na a a (m,n∈Z)；(a ) a(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________（II ）讲授新课1 / 151.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a可看作m na a ,所以m n m na a a 可以归入性质m n m na a a ；又因为an( ) 可看作bm na a ，所以na an n n n( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分nb b数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（n N* ）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根25=32 2 叫32 的 5 次方根⋯2n=a 2 叫 a 的 n 次方根2=4，则2叫4 的平方根；若23=8，2 叫做 8 的立方根；若25=32，则分析：若 22 叫做 32 的 5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nx a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根（n th root）,其中n 1，且n N 。
指数与指数幂的运算(二) 必修一教案18
10
教学目标
教学重点
教学难点
→
3
a12 ?
；
a 2 (a 3 ) 3 a 3
m n
3
2
2
教学过程
规定 a
n a m (a 0, m, n N * , n 1) ； a
m n
1 a
m n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
③ 练 习 ： A. 将 下 列 根 式 写 成 分 数 指 数 幂 形 式 ： n m a (a 0, m, n N n 1) ； 2 35 ； 3 54
2、求值: 27 3 ;
2
16
4 3
;
3 ( )3 ; 5
(
25 3 ) 49
2
3、化简： (3a 3 b 2 )(8a 2 b 3 ) (6a 6 b 6 ) ； (m 4 n 8 )16
第 2 页 共 3 页
2
1
1
1
1
5
1
3
4.
1 (2n1 )2 ( )2 n1 2 计算： n 2 48
) 16 3 2 4( 3 4 ④ ( ) ( ) 4 ( 2 )3 27 81 3 3 8
（ 2） 、 （P51，例 3）用分数指数幂的形式表或下列 各式（ a ＞0） 解： a3.
2
a a3 a 2 a
3 2 2 2 3
1
3
1 2 2 3
a2 a
8 3
的结果
5.
a10 1 若 a3 3, a10 384, 求a3 [( ) 7 ]n3的值 a3
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
教学内容：第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质1.2 幂函数图像的特点1.3 幂函数的应用第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质2.2 指数函数图像的特点2.3 指数函数的应用第三章：对数函数3.1 对数的定义与性质3.2 对数函数图像的特点3.3 对数函数的应用第四章：对数及其运算法则4.1 对数的换底公式4.2 对数的运算法则4.3 对数函数的图像与性质第五章：实际问题中的应用5.1 利用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题5.2 练习题及解答教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生观察函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 通过例题和实际问题，培养学生的应用能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解程度。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
3. 进行单元测试，评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，展示幂函数、指数函数和对数函数的图像及性质。
2. 教材和辅导书，提供相关知识点的详细讲解和例题。
3. 网络资源，查阅实际问题中的应用案例。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案（续）教学内容：第六章：指数与对数的互化6.1 指数与对数的关系6.2 指数与对数的互化方法6.3 指数与对数互化在实际问题中的应用第七章：对数函数的图像与性质7.1 对数函数的图像特点7.2 对数函数的性质7.3 对数函数图像与性质的应用第八章：对数函数在实际问题中的应用8.1 对数函数解决生长、衰减问题8.2 对数函数在几何问题中的应用8.3 对数函数在其他领域的应用第九章：对数方程与对数不等式9.1 对数方程的解法9.2 对数不等式的解法9.3 对数方程与对数不等式的应用第十章：总结与拓展10.1 幂函数、指数函数和对数函数的总结10.2 数学思想与方法的拓展10.3 课后习题与思考题教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数与对数的关系、互化方法及其应用。
指数函数(5课时)—-必修第二章集体备课
第一课时：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)教学要求：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念． 教学重点：掌握n 次方根的求解.教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）2. 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课:1. 教学指数函数模型应用背景：① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2tP =. 探究该式意义？③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算：① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N. 例如：328=2③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如:33-, 记：x当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .⑤ 定义根式：像的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.⑥ 计算2→ 探究： n 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般）结论：n a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑦ 出示例1.求值化简：（a b <）（师生共练2个 → 学生试练其余2个 → 订正 → 变指数训练 → 小结：性质运用）3. 小结：n 次方根, 根式的概念； 根式运算性质.三、巩固练习： 1. （推广：= a ≥0）.2. ；3. 作业：书P 65 1题.第二课时 2.1.1 指数与指数幂的运算(二)教学要求：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.教学重点：有理数指数幂的运算.教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫根式？→根式运算性质：n =？、n n a =？、？2.计算下列各式的值：2；3二、讲授新课：1. 教学分数指数幂概念及运算性质:① 引例：a >01025a a == →?=；32333232)(a a a == →?=.②定义分数指数幂：规定*0,,,1)m na a m n N n >∈>；*10,,,1)m nm na a m n N n a-=>∈>③ 练习：A.(0,,1)a m n N n *>∈>B. 求值 2327； 255； 436-； 52a -. ④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(．2. 教学例题：① 出示例1. 求值:2327; 4316-; 33()5-; 2325()49-（学生试练 →订正→变式：化根式）② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：2b b ; 533b b;（师生共练前2个 → 学生口答最后一个 →小结：运算性质的运用） ③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；311684()m n . （师生共练前1个 → 学生口答最后一个 →小结：单项式运算） ④ 出示例4. 334a a (0)a >， 312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈;（学生试练前2个 → 订正 → 讨论：根式运算？分数指数幂运算？ →师生共练第3个）⑤讨论：.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质. 三、巩固练习：1. 练习：书P59 1、2、3 题.2. 作业：书P65 2、4题.第三课时 2.1.1 指数与指数幂的运算（三） 练习课教学要求： n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点：掌握根式与指数幂的运算.教学难点：准确运用性质进行计算. 教学过程：一、复习提问: （学生回答,老师板演） 1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？3. 基础习题练习： （口答下列基础题）① n 为时，(0)||...........(0)x x x ≥⎧==⎨<⎩.② 求下列各式的值：681； 62)2(-； 1532-；48x ； 642b a .二、教学典型例题： 1．出示例1.已知1122a a -+=3，求下列各式的值: （注意：补充立方的乘法公式）（１）1-+a a ； （２）22-+a a ； （３）33221122a aa a---- ．讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）小结：平方法；乘法公式；根式的基本性质a ≥0）等；注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.≠2. 出示例2. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？讨论：题目含义？ （用图形示范） → 两次之间的关系？ 师生共练 → 变式训练：n 次后？小结方法：摘要→审题； 探究 → 结论； 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答 三、巩固练习：1. 化简：)()(41412121y x y x -÷-. 2. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，试求)()(21x f x f ⋅的值.3.用根式表示2134()m n -，其中,0m n >.4. 已知x +x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x xx5. 求值：2325; 2327; 3236()49; 3225()4-6. 已知32x a b --=+,.7.2a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.第四课时： 2.1.2 指数函数及其性质（一）教学要求：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：一、复习准备：1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质：① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y = （师生共作→小结作法）④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 62)⑥ 出示例1. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象经过点（2，π），求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值. （讨论方法→学生口答→变式→讨论：确定指数函数重要要素是什么？→小结：待定系数法）⑦ 出示例2. 比较下列各组中两个值的大小：0.60.52,2； 2 1.50.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ； 1（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：单调性；利用中间数） ⑧ 练习：A. 比较大小：23( 2.5)- ,45( 2.5)-B. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：22()()33m n >； 1.1 1.1m n <3.小结：指数函数模型应用思想；指数函数概念；指数函数的图象与性质；单调法 三、 巩固练习： 1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2. 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5. 3．探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？4. 练习：书P64 1、2题； 课堂作业：书P65 5、6、7题.第五课时：2.1.2 指数函数及其性质（二）教学要求：熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识教学重点：掌握指数函数的性质及应用． 教学难点：理解指数函数的简单应用模型．教学过程：一、复习准备：1. 提问： 指数函数的定义？底数a 可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图象是2. 在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =，1()2x y =，5x y =，1()5x y =, 10x y =,1()10x y = 3. 提问：指数函数具有哪些性质？ 二、讲授新课：1.教学指数函数的应用模型：① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ (Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法） ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？③ 小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式： 2. 教学指数形式的函数定义域、值域：① 讨论：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：21xy =+; y =110.4x y -=.讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）② 出示例2. 求函数y =. 讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？ 3. 练习：① 求指数函数212x y +=的定义域和值域 ② 已知下列不等式，比较,m n 的大小33m n <； 0.60.6m n >； (1)m n a a a >> ； (01)m na a a <<<.4. 小结：指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；定义域与值域；单调性应用. 三、巩固练习：1. 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. 比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75-. *3. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.4. 课堂作业：书P65 8、9、10题.。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念及性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点：重点：实数指数幂的概念、性质及运算法则。
难点：实数指数幂在实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 教学素材（例如：数学题、实际问题等）。
四、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子（如电话号码、楼层等）引出实数指数幂的概念。
2. 讲解：讲解实数指数幂的定义、性质及运算法则。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，让学生运用实数指数幂及运算法则解决问题。
五、课后作业：1. 完成练习册相关题目。
2. 举出生活中的实际例子，运用实数指数幂及运算法则进行解释。
六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对实数指数幂概念、性质及运算法则的理解程度。
2. 课后作业：评价学生运用实数指数幂及运算法则解决实际问题的能力。
3. 单元测试：评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
七、教学反思：在教学过程中，要注重让学生理解实数指数幂的概念，引导学生掌握运算法则，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。
在课后，要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生运用知识解决实际问题的能力。
八、教学拓展：1. 研究其他数的指数幂及其运算法则。
2. 探索实数指数幂在科学、工程等领域的应用。
九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。
2. 教学进程：第一课时讲解实数指数幂的概念、性质及运算法则；第二课时进行练习、应用及课后作业布置。
十、教学素材来源：1. 人教版《数学》教材。
2. 网络资源。
3. 教师自编练习题。
六、教学活动设计：1. 导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生进入本节课的学习。
2. 新课导入：讲解实数指数幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方等。
3. 案例分析：分析实际问题，运用实数指数幂的运算法则进行解答。
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【方法总结】
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
【自我检测】
1.设 是正实数，则下列各式中正确的有（ ）.
① ；② ；③
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
2.计算 的结果为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
3.若 ，则 成立的条件可以是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（2） 次方根
如果 ，那么___________，其中 ，且 .
若 是奇数，任意实数 的 次方根有1个，正数的 次方根是正数，负数的 次方根是负数.
若 是偶数，负数没有偶次方根，而正数的 次方根有2个，它们互为相反数.
无论 是奇数还是偶数，0的 次方根为0.
【感悟】结合初中所学知识，理解记忆，效果较好.
7.已知 成立，则 需满足条件.
8.化简下列各式.
（1）
（2）
9.化简：
10.探究 成立的条件.
问题解决最佳方案
教后反思
问题解决最佳方案
2.1.1指数与指数幂的运算（第2课时）
【教学目标】
1．有理指数幂．
2．无理指数幂．
3.幂的运算．
【重点】分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质.
【难点】1.实数指数幂的形成过程；
(1) (2) (3)
2.填空
（1） ，则 的取值集合是.
（2） ，则 .
3.计算下列各式的值.
（1） + ；
（2）
【典型例题】
例1计算下列各式的值：
（1） （2） （3）
【方法总结】
【变式训练】求等式 成立的实数 的范围.
例2计算：（1） ；（2）
【方法总结】
【自我检测】
1.化简 的值是（ ）.
（A）3 （B）-3 （C） 3 （D）-9
4.已知 ,下列各式中正确的个数是（ ）.
① ；② ；③ ；④ .（A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5. 的值是（精确到0.0001）.
6. .
7.若 ，则 =， .
8.用分数指数幂表示下列各式.
（1） ； （2） ；（3） ； .
9.计算下列各式的值.
（1） ；（2） .
10.化简： .
教后反思
（4）分数指数幂的运算性质：
; ；
= .
【感悟】
2.无理指数幂的含义：如 ，它是一个确定的实数，可以看成由以 的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值的结果.
【感悟】
3.根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用的运算性质进行运算.
【感悟】
【基础练习】
1.如果 都是有理数，下列各式错误的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2.对任意实数 ，下列关系式不正确的是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
3.求值： ； ； ；
4.用根式表示 ， 其中 .
【典型例题】
例1用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 ）：
； ； .
【方法总结】
例2计算下列各式（式中字母均为正数）：
（1） ；
（2） .
【方法总结】
2.1.1指数与指数幂的运算（第1课时）
【教学目标】
1．掌握根式的概念以及根式的运算性质
2．让学生学会用联系的观点看待问题
【重点】有理指数幂的概念及运算.
【难点】根式的概念.
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第48页～第50页）
1.整数指数幂及其运算
（1）通过问题1，结合初中所学知识，说明整数指数幂 的含义是__， ）的含义是____.
2.下列说法正确的是（ ）.
（A） 的 次方根是2
（B） 的运算结果是
（C） 且 时， 对于任意实数 都成立
（D） 且 时，式子 对于任意实数 都有意义
3.若 有意义，则 得取值范围是（）.
（A） （B） （C） 或 （D）
4. 的值是( ).
（A）0(B) (C) 或 (D)
5.当 ,则 =.
6.若 ， .
3.根式
式子 叫做____， 叫做______， 叫做_______.
若 ，则 可以用根式表示为 .当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快.
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
3.阅读例1，完成59页习题A组1.
【基础练习】
1.计算下列各式的值.
的含义是____ , ___( ), _____( ).
（2）回忆初中所学知识，填写整数指Байду номын сангаас幂的运算性质：
=____（ ）； =______（ ）;
=______（ ）;④ =______.
【感悟】回忆初中所学知识，类比记忆.
2.根式
（1）平方根与立方根
如果 ，那么________；如果 ，那么____________.
2.利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第50页～第53页）
1.1.分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（2）正数的负分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（3） 的分数指数幂
的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂.