[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算(一
2018-2019学年高一数学人教A版必修一教案：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1.1 指数与指数幂的运算班级 姓名 小组________第____号 【学习目标】1.通过学习理解掌握n 次方根和n 次根式的概念；2.通过掌握n 次根式的性质，运用它进行简单的化简运算； 【重点难点】重点：根式的概念及n 次方根的性质。
难点：n 次方根的性质应用。
【学情分析】在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。
【导学流程】 自主学习内容 一.回顾旧知：1. 一个正数有 个平方根，它们互为 。
0有 个平方根，是 。
负数 平方根。
2.一个数的平方运算，在a=x 2中x 叫做 ，2叫做 ，a 叫做 。
3.一个数的平方根运算，在x=a ±中a 叫做 ，x 叫做 。
二、基础知识感知1．n 次根式和n 次方根的概念一般地， ，那么x 叫做a 的n 次方根， (1,)n n N *>∈．（1） 若n 是奇数，则a 的n 次方根记作 ； 若0>a 则 ，若0a <则 ； （2）若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作 ，a 的负的n 次方根，记作： ；（3） 若n 是偶数，且0a <则 没意义，即负数没有偶次方根； （4）0的任何次方根都是0，记作 .（5） 式子 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数．2. 分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义n a m 是a m 的n 次方根，即na m ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂． ①n-am ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②0的正分数指数幂等于 ； ③0的负分数指数幂 ． 3、根式的性质（1） (na )n ＝________(n ∈N *，且n ＞1)（2）当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝ ． 三．探究问题 探究一：根式的化简 【例1】根式的化简与计算（1）4）（b a - （2）22-1）（探究二：根式与分数指数的互换 【例2】将下列根式化为分数指数幂形式（1）3a （2）2a四、基础知识拓展与迁移下列说法：①327-=3；②16的4次方根是±2；③3814±=；④y x y x +=+2）（其中正确的有 （填写正确说法的序号）．小组讨论问题预设1.化简x x 3-的结果为( )。
人教版高中数学必修1第2章2.1.1 指数与指数幂的运算(1)教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）教学目标分析：知识目标：（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
重难点分析：重点：n次根式的性质和化简难点：n次根式的性质及应用互动探究：一、课堂探究：1、问题情境设疑探究一、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的(17.3%)+倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的2(17.3%)+倍； 3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； 4年后（即2004年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； ……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么*(17.3%) 1.073(,20)x x y x N x =+=∈≤即从2000年起，x 年后我国的GDP 为2000年的1.073x 倍。
想一想，正整数幂1.073x 的含义是什么？它具有哪些运算性质。
探究2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系57301() (2)t P =（*），考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案4
最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案42.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3.（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ?=32||b a ?.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。
《指数与指数幂的运算》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《指数与指数幂的运算》教学设计从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质．【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化．【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算．引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．（一）创设情景，揭示课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．2．由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%．那么在2010年，我国的GDP可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3．初中根式的概念思考1：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3：一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4：如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5：推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．思考1：-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2：设a为实常数，则关于x的方程x3=a，x5=a分别有解吗？有几个解？思考3：一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？思考4：设a为实常数，则关于x的方程x4=a，x6=a分别有解吗？有几个解？思考5：一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？思考6：,1)n N n∈>叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．那么，a的n次方根用根式怎么分类表示？当n是奇数时，a的n当n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．思考1：354分别等于什么？一般地n等于什么？思考2n 等于什么？当n a =； 当n ||a =． 例1．求下列各式的值（1 （2； （3（4 （5； （6 例2．化简下列各式（1（2）2 4．复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===⋅+)()(（二）探索新知1．指数与指数幂的运算 （1）分数指数幂思考1：设a >0，分别等于什么？思考2：观察上述结论，你能总结出什么规律？思考3思考4n ma =（a >0，m ，n ∈N 且n ＞1），那么238表示一个什么数？21523,4分别表示什么根式？ 思考5：你认为如何规定n ma-（a >0，m ，n ∈N ，且n ＞1）的含义？思考6：怎样理解零的分数指数幂的意义？ 思考7：233352(2),(2),(2)---都有意义吗？当0a <时，*(,,1)n ma m n N n ∈>何时无意义？ 正数的分数指数幂的意义．规定：)1,,,0(*>∈>=nNnmaaa n mnm*10,,,1)mnmna a m n N na-==>∈>0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．2．有理指数幂的运算性质（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈；（2）()(0,,)r s rsa a a r s Q=>∈；（3）()(0,0,)r r rab a b a b r Q=>>∈．引导学生解决本课开头实例问题．3．无理指数幂思考1＝1．414 21356…，那么思考2：观察上面两个图表，思考3：有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：（教材P 62思考题） （三）例题讲解例3．求下列各式的值（1）2327；（2）1225-；（3）51()2-；（4）3416()81-例4．化简下列各式的值211511336622(1)(2)(6)(3)(,0)a b a b a b a b -÷-> 31884(2)()(,0)m n m n ->(3)2(4)0)a >说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． （四）课堂练习教材对应习题． （五）课堂小结本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． （六） 布置作业课本习题略．。
高中数学人教A版必修1《2.1.1指数》教学案1
必修一3.3.1指数与指数幂的运算(一)学习目标：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念学习重点：掌握n 次方根的求解.学习难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景 学习过程： 一、复习准备：1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法：3,a a二. 学习新课:1. 学习指数函数模型应用背景：① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2tP =. 探究该式意义？③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.2. 学习根式的概念及运算：① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N简记：n a . 例如：328=，则382= ③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3273=,3273-=-,记：n x a =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：n a ±强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.00n=④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ 定义根式：像n a 的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.⑥ 计算22(3)、334、(2)n n - → 探究： ()n n a 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般）结论：()n n a a =. 当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，(0)||(0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3、例题讲解（P 5O 例题1）：求下列各式的值33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π- 2(4)()a b -三、巩固练习：1. 计算或化简：532-；36a （推广：npn mp m a a =， a ≥0）.2、 化简：526743642++--- ；6323 1.512⨯⨯3、求值化简： 33()a -；44(7)-；66(3)π-；22()a b -（a b <）四、小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n 是的次方根,n 为奇数时,=n 为偶数时，n x a =±；2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,五、 作业：书P 59 、 1题.3.3.2指数与指数幂的运算(二)学习目标：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.学习重点：有理数指数幂的运算.学习难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 学习过程： 一、复习准备：1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：()n n a =？、n n a =？、npmp a =？ 2. 计算下列各式的值：22()b - ；33(5)-；243，510a ，397 二、学习新课：1. 教学分数指数幂概念及运算性质:① 引例：a >0时，1051025255()a a a a === → 312?a=；32333232)(a a a ==→?a =.② 定义分数指数幂：规定*(0,,,1)m n m na a a m n N n =>∈>；*11(0,,,1)m nm nmnaa m n N n a a-==>∈>③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：n m a (0,,1)a m n N n *>∈>；253；345B. 求值 2327； 255； 436-； 52a -. ④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(．2. 例题：（1）、（P 51，例2） 解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--====③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===④334()344162227()()()81338-⨯--===（2）、（P 51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0） 解：117333222.a a a a aa +=⋅== 22823222333a a a a a a +⋅⋅⋅==31442133332()aa a a a a a =⋅===3、无理指数幂的教学23的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？三、巩固练习：1、练习：书P54 1、2、3 题.2、求值:2327;4316-; 33()5-;2325()49-3、化简：211511336622(3)(8)(6)a b a b a b-÷-；311684()m n4.计算：122121(2)()248n nn++-⋅的结果5.若13107310333,384,[()]naa a aa-==⋅求的值四. 小结：1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.五、作业：书P59 2、4题.3.3.3指数与指数幂的运算（三）学习目标：n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 学习重点：掌握根式与指数幂的运算.学习难点：准确运用性质进行计算.学习过程：一、提问:1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？3. 基础习题练习：（口答下列基础题）① n 为 时，(0)||...........(0)n n x x x x ≥⎧==⎨<⎩. ② 求下列各式的值： 362; 416; 681； 62)2(-； 1532-； 48x ； 642b a二、学习典型例题：例1．（P 52，例4）计算下列各式（式中字母都是正数） （1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- （2）31884()m n -例2．（P 52例5）计算下列各式 （1）34(25125)25-÷ （2）232(.a a a a＞0）例3．.已知1122a a-+=3，求下列各式的值:（１）1-+a a ； （２）22-+a a ； （３）33221122a aa a ---- ．三、巩固练习：1. 化简：)()(41412121y x y x -÷-.2. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，试求)()(21x f x f ⋅的值3. 用根式表示2134()m n -，其中,0m n >.4. 已知x +x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x x x5. 求值：2325; 2327; 3236()49; 3225()4-; 342819⨯; 6323 1.512⨯⨯6. 已知32x a b --=+, 求42362x a x a ---+的值.7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？四、小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 五，作业化简：（1）52932232(9)(10)100-÷（2）322322+-- （3）a aa a。
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1
数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： n a (a 0)
其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， n a 表示 a 的负的 n 次方根。
例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根。 解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0n=0，所以 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根均为 0。
当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a n a n
当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a n an
则 |a | | n an | n an
综上所述： (n a) n
a, n为奇数 | a |， n为偶数
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III ）例题讲解 例 1．求下列各式的值：
am an
am
n
；又因为
( a )n 可看作 a m a n ，所以
b
(a)n b
an bn
可以 归入性质
( ab) n
an bn (n ∈ Z) ） , 这是为下面学习分数指数幂的概念和性
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案 新人教 A 版必修 1
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案 新人教 A 版必修 1
质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习
n 次根式（ n N * ）的概念。
（2）填空（ 3），（ 4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（ -2 ）2=4
2
， -2 叫 4 的平方根
23=8
2 叫 8 的立方根；
（-2 ） 3=-8 -2 叫-8 的立方根
25=32
2 叫 32 的 5 次方根
高中数学人教A版必修一教案：2.1.1指数与指数幂的运算(三)
2.1.1 指数与指数幂的运算（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
们以前的四则运算顺序.
式的互
我们看到（1）小题是单项式 化，以
的乘除运算；（2）小题是乘方形 及分数
式的运算，它们应让如何计算呢？ 指数幂
的求值，
其实，第（1）小题是单项式 提高运
的乘除法，可以用单项式的运算 算能
顺序进行.
力．
第（2）小题是乘方运算，可
先按积的乘方计算，再按幂的乘
方进行计算.
解：（1）原式
(a
1 2
)3
3
3
a2 a 2
1
1
a2 a 2
1
(a 2
1
a2
)(a
a 1
1
a2
1
a2
)
1
1
a2 a 2
a a1 1 8.
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求
值后代换”两种方法求值.
1
x 1
例 2 化简 2 1
x 1
1
x
1
x3
.
x3 x3 1 x3 1 x3 1
（2） 3 2 2 3 2 2 ； （3） a a a a .
解（1）原式=
3
2 3
103
2
10 5
2
11
人教A高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算
练一练
3 3 27
2 3 8
2 5 32
22 4
3 2 9 2 416
视察思考：你能得到什么结论？
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
x 5 11
结论：当 n为奇数时，记为 x n a
得出结论
22 4 3 2 9 2 4 16
2.根式的概念：式子n a 叫做根式，其中 n 叫做根指
数，a 叫做被开方数.
3.根式的性质：（1）当 n a有意义时，(n a)n a
（2）当 n 是奇数时， n an a
n 当
是偶数时，n an
a
a(a 0) a(a 0)
选做题： 化简计算：
a
(3) 5 a b5 ;
(4) 6 (a b)6
课堂练习二：化简下列各式 :
(1) 5 32
(2) (3)4 (3) ( 2 3)2 (4)
52 6 化简计算： 3 2 2 3 2 2
课时小结
本节课同学们有哪些收获呢？
1. n次方根的概念: 一般地，如果xn a ，那么 x 叫 a的 n次方根，其中 n 1 且 n N*.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
学习目标
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式性质． 2．能利用根式的性质对根式进行化简．
平方根
如果 x2 a，那么 x 叫做 a的平方根,
正数的平方根有两个，它们互为相反数.
记作 a
如：4的平方根是±2，即 2 4
n 次方根存在吗？有几个？怎么表示？ 若 a是负数呢？
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2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
（四）教学过程
老师提出问题，
平方根有几个，立方根呢？示，
.
备选例题
例1 计算下列各式的值. （1）33)(
a ；
（2 （1n >，且n N *
∈）
（3）1n >，且n N *
∈）
【解析】（1）a a =33)(.
（2）当n =3π-；
当n 3π-.
（3）||x y -，
当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -.
【小结】（1）当n 为奇数时，a a n
n =； 当n 为偶数时，⎩⎨
⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n
n
（2）不注意n的奇偶性对式子n n a值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在
理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.
例2 求值：
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
=
=|||3|2|
=+-
=
2(2
=
【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。