05经数下解答
《道德经》第05章 多言数穷 原文翻译解读
第05章多言数穷【原文】天地不仁①，以万物为刍(chú)狗②。
圣人不仁，以百姓为刍狗。
天地之间，其犹橐(tuó)龠(yuè)乎③?虚而不屈，动而愈出。
多言数穷⑧，不如守中⑤。
【注解】①仁：仁爱、仁慈。
②刍(chú)狗：用野草扎成的狗，古人祭祀时用，用后即扔。
刍，野草。
③橐(tuó)龠(yuè)：古代的风箱。
④数：通“速”。
⑤中：适中的意思。
【译文】天地无所谓仁爱，对待万物像对待祭祀时草扎的小狗一样，任凭万物自然生长;有道的人无所谓仁爱，对待百姓也如同对待刍狗一样，任凭百姓自己发展。
天和地之间，不就像一个风箱吗?虽然中空但永无穷尽，越鼓动风量便愈多，生生不息。
政令名目繁多反而会加速国家的败亡，不如保持虚静。
天地不仁，以万物为刍狗。
【导读】老子表达了自己无神论的思想倾向，反对将天地、“道”进行人格化的观点。
他认为天地是自然的存在，无所谓仁也无所谓不仁，它对世间万物没有特定的感情，只是任其自生自灭、自由发展。
同样，圣人治理天下也应如此，让百姓自劳自息，尊崇自然规则，采取无为而治的方式。
太多的冗政繁令只会让人们不知所从，造成混乱。
【解析】这一章里：老子由天地的“不仁”，讲到圣人的“不仁”，进而提出了“守中”的思想。
和前文不执于一端、“不尚贤”、“无为而治”的思想是一贯的。
其内容主要包括两方面：一是老子再次表述了自己无神论的思想倾向，否定当时思想界存在的把天地人格化的观点。
他认为天地是自然的存在，没有理性和感情，它的存在对自然界万事万物不会产生任何作用，因为万物在天地之间依照自身的自然规律变化发展，不受天、神、人的左右。
二是老子又谈到“无为”的社会政治思想，是对前四章内容的进一步发挥。
他认为，作为圣人——理想的统治者，应当是遵循自然规律，采取无为之治，任凭老百姓自作自息、繁衍生存，而不会采取干预的态度和措施。
“天地不仁，以万物为刍狗。
”王弼说：“天地任自然，无为无造，万物白相治理，故不仁也。
2022年五年级下册数学伴你学答案05
2022年五年级下册数学伴你学答案05一、选择题1、可以清楚地表示数量的增减变化的统计图是（）A、折线统计图B、条形统计图C、扇形统计图2、1、2、3、5都是30的（）A、质因数B、公因数C、约数3、在11、57、2、95、62五个数中，合数的个数有（）A、5个B、3个C、1个D、4个4、5/8的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（）A、10B、8C、16D、205、下列各数中，与6是互质数的合数是（）A、9B、11C、C、356、互质的两个数的公因数（）。
A、只有1个B、有2个C、有3个D、有无限个。
二、填空题7、3/8= _________÷24=30________=()/56=_________（填小数）8、同时是2、3、5的倍数的最小三位数是__________。
9、16和24的最大公因数是________；6和10的最小公倍数是_________。
10、甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公因数是_________，它们的最小公倍数是_________。
11、自然数中最小的奇数是_________；最小的偶数是_________；最小的自然数是_________；最小的合数是_________；最小的质数是_________；除零外所有的自然数单位是_________。
12、一个数的最小倍数是12，这个数是________；一个数的最大因数是33，这个数是_________。
13、在自然数中，最小的奇数是_________，最小的偶数是_________，最小的素数是_________，最小的合数是_________。
14、5/6的分子扩大5倍，要使分数值不变，分母应（）；5/6的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应（）。
三、判断题15、小芳每天睡眠9小时，她一天的睡眠时间占全天的( )。
16、圆的周长与它的直径的比值是π_________（判断对错）。
2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题
2020年中考数学必考经典题（江苏版）专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y<，则下列结论正确的是()A．1133x y->-B．22x y>C．11x y->-D．22x y<【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n>，则下列各式中一定成立的是()A．22m n->-B．55m n-<-C．22m n->-D．44m n<【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是()A．由a b>，得22a b-<-B．由a b>，得||||a b>C．由a b>，得22a b-<-D．由a b>，得22a b>【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a、b，若a b>，则下列结论正确的是() A．55a b-<-B．22a b+<+C．33a b->-D．33a b>【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123x x+-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x的不等式组521xx a--⎧⎨->⎩有3个整数解，则a的取值范围是．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x的不等式组21312xx m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m的取值范围是．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x的不等式组321x ax-⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x的不等式组10x mx-<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m的取值范围为【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名价格甲种口罩乙种口罩进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜95．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b26．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤27．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．18．（2019•盐城）解不等式组：19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？。
考研数三完整版(历年真题+答案详解)之 2005年真题
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A EP 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.。
2020-2022中考湖北专用专题05 一次方程与一次方程组(原卷版)
专题05 一次方程与一次方程组一．选择题1．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为（ ）A ．10x+3（5﹣x ）＝30B ．3x+10（5﹣x ）＝30C ．x 10+30−x 3=5D ．x 3+30−x 10=52．（2022•随州）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x 天可以追上慢马，则可列方程为（ ）A ．150（12+x ）＝240xB ．240（12+x ）＝150xC ．150（x ﹣12）＝240xD ．240（x ﹣12）＝150x3．（2021•武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ ）A ．8（x ﹣3）＝7（x+4）B ．8x+3＝7x ﹣4C ．y−38=y+47D ．y+38=y−474．（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）A ．{5x +y =3x +5y =2B ．{5x +y =2x +5y =3C ．{5x +3y =1x +2y =5D ．{3x +y =52x +5y =15．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{2x +y =35x +4y =94D ．{x +4y =352x +y =946．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ）A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100 7．（2021•荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A ．{y =x +4.512y =x −1 B ．{y =x −4.512y =x +1 C ．{y =x +4.52y =x −1 D ．{y =x −4.52y =x +18．（2021•宜昌）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x 人，物价为y 钱，下列方程组正确的是（ ）A ．{y =8x −3y =7x +4B ．{y =8x +3y =7x +4C ．{y =8x −3y =7x −4D ．{y =8x +3y =7x −49．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）A ．30B ．26C ．24D ．2210．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二．填空题11．（2020•随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为 ．12．（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成13，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．13．（2020•仙桃）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了 场．14．（2021•仙桃）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．）15．（2022•仙桃）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．16．（2022•随州）已知二元一次方程组{x +2y =42x +y =5，则x ﹣y 的值为 ．三．解答题17．（2022•荆州）已知方程组{x +y =3①x −y =1②的解满足2kx ﹣3y ＜5，求k 的取值范围． 18．（2020•黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？19．（2020•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．20．（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：（1）笼中鸡、兔各有多少只？（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？。
专题05 一次方程(组)与一元二次方程中考数学真题分项汇编解析版)
专题05 一次方程（组）与一元二次方程一．选择题1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或6【答案】A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵2230x x --=， ∵12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=，故选：A ． 【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A ．8 B ．10 C ．7 D ．9【答案】B【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可． 【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=， 解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：x 2+6x +c ＝0， 移项得：26,x x c配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c 解得：3,c = 故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 4．（2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ， ∵1x +2x =2， ∵11x =-， ∵2x =3， ∵1x ·2x =-a =-3， ∵a =3，∵22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310x x -+=的根的情况（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】根据判别式24b ac ∆=-即可判断求解． 【详解】解：由题意可知：1,3,1a b c ==-=， ∵224(3)41150b ac ，∵方程2310x x -+=由两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别式：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根．6．（2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ） A ．2或6 B ．2或8C ．2D ．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∵22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∵14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根,∵212122,41x x m x x m m +==--，又()()121222217x x x x ++-= ∵12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当∵≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程．7．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】根据24b ac ∆=-即可判断． 【详解】解：2a =，1b =，1c =-，()22414211890b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>，∴ 一元二次方程2210x x +-=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根； 当0∆=时，方程有两个相等的实数根； 当∆<0时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．8．（2022·广西贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ） A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根， 把2x =-代入220x x m ++=，则 2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =； ∵220x x +=， ∵(2)0x x +=， ∵12x =-，0x =， ∵方程的另一个根是0x =； 故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．9．（2022·北京）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．14-C ．14D ．4【答案】C【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m 的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根， ∵∆=0， ∵2140m -=， 解得14m =，故C 正确． 故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 10．（2022·山东临沂）方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x = D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为460,x x 从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，460,x x40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（ ） A ．2410x x += B ．23830x x +-= C ．2230x x -+= D ．()()2312x x --=【答案】C【分析】通过题目可知这几个方程都是一元二次方程，因此可以通过24b ac ∆=-来确定有没有实数根，即可求解【详解】解：A 、∵=2441(10)560-⨯⨯-=＞，有两个不相等的实数根； B 、∵=2843(3)1000-⨯⨯-=＞，故有两个不相等的实数根； C 、∵=2(2)41380＜--⨯⨯=-,故没有实数根；D 、∵=2-5-41-6=490（）（）＞⨯⨯，故有两个不相等的实数根故选C12．（2022·海南）若代数式1x +的值为6，则x 等于（ ） A ．5 B ．5-C ．7D ．7-【答案】A【分析】根据代数式1x +的值为6列方程计算即可． 【详解】∵代数式1x +的值为6 ∵16x +=，解得5x =故选：A【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．21cm 4C ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】根据液体的体积不变列方程解答．【详解】解：圆柱体内液体的体积为：2313763cm 圆柱v sh ππ==⨯⨯=由题意得，232211663cm 33锥体v sh h ππ==⨯⨯=26321cm 364h ∴==， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程是解题关键．14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得， 15x +20y =360，即3x +4y =72， ∵y =18-34x ．又∵x ，y 均为正整数，∵415x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩或129x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或203x y =⎧⎨=⎩，∵班长有5种购买方案．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．15．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ） A ．24015015012x x +=⨯ B ．24015024012x x -=⨯ C ．24015024012x x +=⨯ D ．24015015012x x -=⨯【答案】D【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马， 依题意，得： 240x -150x =150×12． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（2022·广西）方程3x ＝2x ＋7的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝﹣4C ．x ＝7D ．x ＝﹣7【答案】C【分析】先移项再合并同类项即可得结果； 【详解】解：3x ＝2x ＋7 移项得，3x -2x =7； 合并同类项得，x ＝7； 故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键． 17．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】B【分析】设小红答对的个数为x 个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x 个， 由题意得()52070x x --=， 解得15x =， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 18．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（ ）A ．51177255y xy x -=⎧⎨-=⎩B ．51177255x yx y +=⎧⎨+=⎩C ．51177255x yx y -=⎧⎨-=⎩D ．71155257x yx y -=⎧⎨-=⎩【答案】C【分析】设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，根据题意得：51177255x yx y -=⎧⎨-=⎩．故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+与()0y mx n a m =+<<的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y mx n =+的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；③方程0mx n +=的解为2x =； ④当0x =时，1ax b +=-． 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数y mx n =+的图象过一，二，四象限，y 的值随着x 值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组y ax b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩，即方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；故②符合题意；由一次函数y mx n =+的图象过()2,0, 则方程0mx n +=的解为2x =；故③符合题意； 由一次函数y ax b =+的图象过()0,2,- 则当0x =时，2ax b +=-．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③，故选B【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．20．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50 B ．30（1﹣x ）2＝50 C ．30（1+x 2）＝50 D ．30（1﹣x 2）＝50【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 二．填空题21．（2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．【答案】43【分析】先根据题意可以把a 、b 看做是一元二次方程2430x x -+=的两个实数根，利用根与系数的关系得到a +b =4，ab =3，再根据11a b a b ab++=进行求解即可． 【详解】解：∵a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0， ∵可以把a 、b 看做是一元二次方程2430x x -+=的两个实数根， ∵a +b =4，ab =3， ∵1143a b a b ab ++==， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x ，令x m =， 等式两边都乘以x ，得2x mx =．① 等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③ 等式两边都除以x m -，得x m m +=．④ 等式两边都减m ，得x ＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 【答案】④【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变， ∵第④步等式两边都除以x m -，得x m m +=，前提必须为0x m -≠，因此错误； 故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键． 23．（2022·广西梧州）一元二次方程()()270x x -+=的根是_________． 【答案】12x =或27x =-【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：20x -=或70x +=，∵12x =或27x =-，故答案为：12x =或27x =-．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．24．（2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 _____．【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，再根据2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，推出222(1)1k k ---＝4﹣k ，据此求解即可． 【详解】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∵x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∵x 12＝2x 1﹣k +1，∵2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1， ∵2121212()2x x x x x x +-＝2（x 1+x 2）﹣k ， ∵222(1)1k k ---＝4﹣k ， 解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∵k ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为________________．【答案】9【分析】根据根的判别式的意义得到∵2640m =-=，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得∵2640m =-=，解得9m =．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与∵=-24b ac 有如下关系：当∵0>时，方程有两个不相等的实数根；当∵0=时，方程有两个相等的实数根；当∵0<时，方程无实数根．26．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．【答案】20%【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x 结合5月、7月营业额即可得出关于x 的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x ，根据题意得，225(1)36x +=解得，120.2, 2.2x x ==-（舍去）所以，增长率为20%故答案为：20%【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．27．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m ，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m -n +4，第三行中间数字为n -6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m 可得关于m ，n 方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m +2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m -(-4)-m =4第一行中间的数字为：m -n -(-4)=m -n +4第三行中间数字为m -2-(m -n +4)=n -6第三行右边数字为：m -n -(-2)=m -n +2再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m 可得方程组为：6422n m m n m +=⎧⎨-++-+=⎩ 解得60m n =⎧⎨=⎩ ∵061n m == 故答案为：1 【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．28．（2022·广西贺州）若实数m ，n 满足5240m n m n --+-=∣∣，则3m n +=__________． 【答案】7【分析】根据非负数的性质可求出m 、n 的值，进而代入数值可求解．【详解】解：由题意知，m ，n 满足5240m n m n --++-∣∣，∵m -n -5=0，2m +n −4=0，∵m =3，n =-2，∵3927m n +=-=，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．29．（2022·广东）若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．【答案】1【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x =1代入方程得到a 的值．【详解】把x =1代入方程220x x a -+=，得1−2+a =0，解得a =1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的末知数的值．30．（2022·江苏无锡）二元一次方程组321221x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为________． 【答案】23x y =⎧⎨=⎩ 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：321221x y x y +=⎧⎨-=⎩①②． ①+②×2得：7x =14，解得：x =2，把x =2代入②得：2×2-y =1解得：y =3，所以，方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．31．（2022·四川雅安）已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 _____． 【答案】1【分析】把12x y =⎧⎨=⎩代入ax +by ＝3可得23a b +=，而2a +4b ﹣5225a b ，再整体代入求值即可．【详解】解：把12x y =⎧⎨=⎩代入ax +by ＝3可得： 23a b +=，∴ 2a +4b ﹣5225a b2351．故答案为：1【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．32．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．【答案】14【分析】先根据2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，得到23a b +=，再把所求的代数式变形为()()22221a b a b +++-，把23a b +=整体代入即可求值．【详解】解：∵2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，∵23a b +=，∵2244421a ab b a b ++++-()()22221a b a b =+++-23231=+⨯- 14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．33．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额(10)x x >的函数解析式为______．【答案】 3 42y x =+##24y x =+【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．【详解】解：1410>，∴超过2千克，设购买了a 千克，则()2520.8514a ⨯+-⨯⨯=，解得3a =，设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额(10)x x >的函数解析式为：()25250.8104842y x x x =⨯+-⨯⨯=+-=+，故答案为：3，42y x =+．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．34．（2022·山东潍坊）方程组2313320x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为___________． 【答案】23x y =⎧⎨=⎩ 【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y ，求出未知数x ，再把x 的值代入②求出y 即可．【详解】解：2313320x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①×2+②×3，得13x =26，解得：x =2，把x =2代入②，得6-2y =0，解得y =3，故方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．35．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x ，y 的系数与相应的常数项，即可表示方程423x y +=，则表示的方程是_______．【答案】232x y += 【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示,x y 的系数与等式后面的数字，即可求解．【详解】解：表示的方程是232x y +=故答案为：232x y +=【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．36．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可求得x 的值为________．【答案】8【分析】设店中共有x 间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．【详解】设店中共有x 间房，由题意得，779(1)x x +=-，解得8x =，所以，店中共有8间房，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 37．（2022·湖南长沙）关于的一元二次方程220x x t ++=有两个不相等的实数根，则实数t 的值为___________．【答案】1t <【分析】根据关于x 的一元二次方程220x x t ++=有两个不相等的实数根，可得0∆>，求解即可．【详解】关于x 的一元二次方程220x x t ++=有两个不相等的实数根，22410t ∴∆=-⨯⨯>，1t ∴<，故答案为：1t <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．（2022·江苏泰州）方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值为__________.【答案】1【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m =0，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∵Δ=（-2）2-4m =4-4m =0，解得：m =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 39．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．【答案】23.5【分析】设每辆大货车一次可以运货x 吨，每辆小货车一次可以运货y 吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，再整体求得（4x +3y ）即可得出结论．【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x 吨，每辆小货车一次可以运货y 吨，依题意，得：34225225x y x y +=⎧⎨+=⎩， 两式相加得8x +6y =47，∵4x +3y =23.5(吨) ，【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．40．（2022·上海）解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____． 【答案】21x y =⎧⎨=-⎩【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得3x y -=④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可．【详解】解：2213x y x y +=⎧⎨-=⎩①② 由②，得：()()3x y x y +-=③，将①代入③，得：()13x y ⨯-=，即3x y -=④，①+②，得：24=x ，解得：2x =，①−②，得：22y =-，解得：1y =-，∵方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为 21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键．三．解答题41．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．【分析】设学生人数为x 人，然后根据题意可得8374x x -=+，进而问题可求解．【详解】解：设学生人数为x 人，由题意得：8374x x -=+，解得：7x =，∵该书的单价为77453⨯+=（元），答：学生人数为7人，该书的单价为53元．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．42．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A 、B 两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．(1)请问A、B两种苗木各多少株？(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时．．完成任务？【答案】(1)A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；(2)安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．【分析】（1）根据在基地上种植A，B两种苗木共6000株，A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．(1)解：设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，根据题意可得：600016002x yx y+=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：24003600xy=⎧⎨=⎩，答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；(2)解：设安排a人种植A苗木，则安排（350-a）人种植B苗木，根据题意可得：24003600 5030(350)a a=-，解得，a=100，经检验，a=100是原方程的解，∵350-a=250，答：安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．43．（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．。
05网计算能手答案
试题及答案一、填空。
(每空1分，共23分)1、9.87升=( )毫升 2700立方厘米=( )立方分米2、在括号里填上适当的容积单位。
(1)小朋友每天要饮水1100( ) (2)一瓶洗发液约有500( ) (3)小军家每月用去食用油6( ) (4)一桶酸牛奶约有1.25( )3、最小自然数是( )，最小奇数是( )，最小质数是( )，最小合数是( )，用这四个数组成一个最大四位数是( )。
4、长方体是( )个面，( )条棱，( )个顶点。
5、能同时被2、3、5整除的最小两位数是( )，最大三位数是( )。
6、千位上是最大的一位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是最小的自然数，这个数是( )。
7、一个正方体的棱长和是36cm，它的体积是( )，表面积是( )。
8、3个连续偶数的和是36，这3个偶数分别是( )、( )、( )。
9、一根长方体木料的体积是4.5立方分米，横截面的面积是0.5立方分米，木料的长有( )分米。
二、判断。
(正确的打“√”，错误的打“×”)(10分。
)1、0是所以有非0自然数的因数。
( )2、一个自然数，如果不是质数，就一定是合数。
3、2是偶数，也是质数;9是奇数，也是合数。
( )4、一个数的倍数一定比这个数的约数大。
( )5、个位上是0的多位数一定有因数2和5.。
( )6、有9÷6=1.5的算式中，6能够整除9。
( )7、两个质数的积一定是合数。
( )8、两个奇数的和还是奇数。
( )9、正方体是特殊的长方体。
( )10、一个长方体至少有4个面是长方形。
( )三、选择。
(把正确答案的序号填在括号里)(20分)1、一只水桶可以装15升水，就是说水桶( )是15升。
A、容积 B、容量 C、体积2、用棱长为1cm的正方体小木块，拼成一个较大正方体，需要这样的小木块( ) 个。
A、2 B、4 C、83、两个质数的和是( )。
A、奇数 B、偶数 C、奇数或偶数4、表示鱼缸中金鱼条数的数是( )。
05年高考数学试题及答案全国卷
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一 选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A).4π (B)2π（C ）π （D ）2π(2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。
那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 （3）函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1）(C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X≥0)(4)已知函数Y=tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1（5）设a 、b 、c 、d ∈R,若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0 (C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ= ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31（9）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3} （10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为 （A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） （11）如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（A>81,a a >54,a a (B) 81,a a < 54,a a (C> 5481a a a a +>+ (D) 81,a a = 54,a a(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
05网数学练习题测试五年级答案五年级.doc
05网数学练习题测试五年级答案五年级2、竖排叫做，横排叫做，确定第几列一般从数。
）数, 确定第几行一般从，坐在他后面的同学用数对表示是。
4、根据等式的性质在。
里填上运算符号，在口里填数。
X —16-4052 —x-4X —16+16-400 x-6、在x-20中，当x二时，所得的差是32. 8O如果x=6,那么7. 2 —x二7、一件上衣95元，比一条裤子便宜x元，一条裤子J L o8、一堆煤，如果每次运6吨，刚好可以运完，如果每次运8吨，也可以刚好运完。
这对煤至少有吨。
9、如右图，仪器架分成3层，每一层存放的药水同样多。
请仔细看图，试着回答下面的问题：1个存放的药水二个存放的药水。
1个存放的药水二个存放的药水。
10、小红有a元钱，小华有b元钱，小红给了小华3 元钱后，两人的钱同样多，那么a—b=。
11、在a4-b-8 中，[a, 8]-12、某学校为学生编学籍号，设定末尾用01表示男生，用02表示女生。
如果二年级4班的王浩是2005年入学, 学号36,他的学籍号是05204361,那么他表姐李姗2003年入学，是五年级2班的9号同学，她的学籍号是。
、等式两边同时乘一个数，所得结果仍然是等式。
1、下面的式子中，是方程。
A、45：9 = 5B、4y =C、x + 8 ）、4 个连续的奇数的和是40,其中最小的一个数是分米的方砖铺地不需要切割。
A、B、C、D、84、m+3 = n+5,那么mn oA、大于B、小于C、等于D、无法确定5、a=2X2X3, b=2X2X5, a和b的最大公因数是。
A、2四、解决问题1、把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余。
每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成多少段？B、4C、D、152、人民公园是1路和3路公交汽车的起点站。
1路车每隔3分钟发车一次，3路车每隔5分钟发车一次，8：10 两路公交车同时发车以后，什么时候又同时发车？3、一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米，要把它正好分成若干个小正方形，小正方形的边长最大是多少厘米？4、一只篮球重640克，大约是一只乒乓球的160倍。
2023-2024学年上海高一第一学期数学期中期末考试 专题05 期末解答压轴题(解析版)
专题05期末解答压轴题新定义题型1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”(1)判断函数①y x =，②3y x =是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数y x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)若()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，且(0)(1)f f =，求证：对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)y x =是，3y x =不是(2)12(3)证明见解析【分析】（1）证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断y x =，举出反例即可判断3y x =；（2）分离参数，将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值；（3）对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12f x f x m -≤，只需要()()12max f x f x m -≤即可，根据新定义求出()()12max f x f x -即可得出答案.【解析】（1）对于函数()y f x x ==，不妨设12x x >，则()()1212f x f x x x -=-，符合题意，所以函数y x =是“1-利普希兹条件函数”，对于函数()3y f x x ==，因为()()21721f f -=>-，所以函数3y x =不是“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()f x x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，则对定义域[]1,4内任意12,x x （12x x ≠），均有()()1212f x f x k x x -≤-，即1212x x k x x -≤-，设12x x >，则1212x x k x x -≤-，即121k x x ≤+，因为2114x x ≤<≤，所以1211142x x <<+，所以12k ≥所以k 的最小值为12；（3）设12x x ≥，当1212x x -≤时，因为()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，所以()()121212212f x f x x x -≤-≤⨯=，当1212x x ->时，由[]12,0,1x x ∈，得12112x x <-≤，故()()()()()()121212(1)(0)(1)(0)f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()1212212221x x x x ≤-+=--≤恒成立，综上所述，()()121f x f x -≤，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k -利普希兹条件函数”.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【解析】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...mm g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nn ii i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1kf x x=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1(0,)4；(3)答案见解析.【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.【解析】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数2()log (2)xf x t =+是定义域上的增函数，因为函数2()log (2)xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22a b ，于是得1()21()2f a a f b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，则方程12221log (2)22(2)(2)02x xxx x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，令(2)0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4.（3）常数0k >，函数()1kf x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b-≤-≤-，若101k ka b -<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11ka bk ba⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210kx x x k x-=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k=->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=得：12114114,22k kx x --+-==，所以当104k <<时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，114114,22k ka b --+-==，当14k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且对12,x x ∀∈R ，都有()()()1212f x x f x f x +≤⋅，则称()f x 为“J 形函数”(1)当()1f x x =+时，判断()f x 是否为“J 形函数”，并说明理由；(2)当()22f x x =+时，证明：()f x 是“J 形函数”；(3)如果函数()2x f x a =+为“J 形函数”，求实数a 的取值范围.【答案】(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)1a ≥或0a =.【分析】（1）作差可得()()()121212f x x f x f x x x +-⋅=-，根据12,x x 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；（2）作差可得()()()1212f x x f x f x +-⋅()22212122x x x x =----，即可证明得出结论；（3）代入化简可得()12122x x f x x a ++=+，()()1212212222x x x x f x x a a ++++=+.由“J 形函数”的概念整理化简可得，()12122x xa -+≥，进而即可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）解：()f x 不是“J 形函数”，理由如下：当()1f x x =+时，有()111f x x =+，()221f x x =+，()12121f x x x x +=++，则()()()1212f x x f x f x +-⋅()()1212111x x x x ++-++=12x x =-.因为12,x x ∈R ，所以12x x -与0的关系不确定，不能得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤，所以()f x 不是“J 形函数”.（2）证明：当()22f x x =+时，有()2112f x x =+，()2222f x x =+，()()22212121212222f x x x x x x x x +=++=+++，则()()()()2222221212121222224f x f x x x x x x x ⋅=++=+++，所以()()()1212f x x f x f x +-⋅212222121222x x x x x x =----()22212122x x x x =----，显然有()()()121220f x x f x f x +-⋅≤-≤对12,x x ∀∈R 恒成立，所以有()()()1212f x x f x f x +≤⋅对12,x x ∀∈R 恒成立，所以()f x 是“J 形函数”.（3）解：由已知可得()112x f x a =+，()222x f x a =+，()12122x x f x x a ++=+，所以()()121222x x f x f x a a ⋅=+⋅+()12122222x x x x a a +=+++.因为函数()2x f x a =+为“J 形函数”，所以有()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++，即()121212202222x x x x x x a a a ++++≤+≤+.由1220x x a ++≥，可得0a ≥；由()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++可得，()12222x x a a a ≤++.当0a =时，该式恒成立，满足；当0a >时，有()12122x xa -+≥恒成立.因为12220x x +>，所以1a ≥.综上可得，1a ≥或0a =.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J 形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简()()()1212f x x f x f x +-⋅.只要得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤恒成立，即可说明()f x 是“J 形函数”.5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．【答案】(1)函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，理由见解析(2){|13x x ≤≤或}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为[)1,+∞时，求12()()f x f x -的取值区间即可判断作答.（2）根据给定条件，可得(2)()2f x f x +-=，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.【解析】（1）函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，证明如下：任取12,x x ∈R ，若12[1,)-∈+∞x x ，则()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞，()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数()21f x x =-是[)1,+∞关联；函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，证明如下：：若12[1,)-∈+∞x x ，则121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x ，所以函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联；（2）因()f x 是{}2关联，则122x x -=，有12()()2f x f x -=，即(2)()2f x f x +-=，当[)0,2x ∈时，22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ，而()02f x ≤≤，即202≤-≤x x ，解得12x ≤≤或10x -≤≤，所以不等式的解集为{|12x x ≤<或}0x =，当[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠时，()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，所以当[2,4)x ∈时，2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x ，而0()2f x ≤≤，得2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x ，解得23x ≤≤，所以不等式的解集为{}|23x x ≤≤，当0n <时，()0f x <或当2n ≥时，()2f x >，此时不等式0()2f x ≤≤无解；综上得13x ≤≤或0x =，所以不等式2()3f x ≤≤的解集为{|13x x ≤≤或}0x =，.（3）“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件，证明如下，易得函数,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩是{}2关联，但1 2.112≤-≤时2)(2.1()0f f <-，所以函数()f x 不是[1,2]关联；所以充分性不成立；当函数()f x 是[1,2]关联时，即2112x x ≤-≤，21)1(()2f x f x -≤≤，则有1(2)(1)2f x f x -≤++≤，)1(1()2f x f x -≤+≤，即有)2(2()4f x f x -≤+≤，又1(2)2x x ≤+-≤，则有)1(2()2f x f x -≤+≤，于是得(2)()2f x f x +-=，从而得()()21212,=2x x f x f x -=-，即函数()f x 是{2}关联；所以“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.抽象函数6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()221f x x x =+--，求()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[2,2]-；(2)4；(3)()152f x x-=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t +-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x+=+，从而可求出()f x 的解析式.【解析】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为22y x =+和1y x =--在[1,1]-上均为增函数，所以()221f x x x =+--在[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)221(1)2f x f =-=-+---=-，max ()(1)222f x f ==+=，所以()f x 的值域为[2,2]-；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x xf x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t+-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t tt t -++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f fx f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()xf x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()152f x x±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()152f x x-=.7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数()2h x x =是否是“L 函数”，并说明理由；(2)若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()2x f x >.【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)[1,1]-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由()g x 为“L 函数”，可得()0g t >，则3t a <，得1a ≤，()()()g s g t g s t +<+可得30s t a ++>，得10a +≥，从而可求出实数a 的取值范围；（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，则112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，再结合111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>可证得结论.【解析】（1）对于()2h x x =，当0,0t s >>时，()20h t t =>，()20h s s =>，因为()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<，所以()()()h s h t h s t +<+，所以()2h x x =是“L 函数”；（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，得()()31310t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，因为310t ->，所以3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤，由()()()g s g t g s t +<+，得3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>，所以(31)(31)(3)0s t s t a +--+>，因为(31)(31)0s t -->，所以30s t a ++>，由30s t a ++>对一切正数,s t 恒成立，所以10a +≥，即1a ≥-，综上可知，实数a 的取值范围为[1,1]-；（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数,s t 都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，所以对于正整数k 与正数s 都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()()1*12,2N k k k x--∈∈，因为(1)1f =，所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>.【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0∞-上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】(1)函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【解析】（1）解：函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x t x t x x t tp x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()222220x t t ->⨯⋅-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2x y =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.（2）证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N n ∈，()()1f n f n +<.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0∞-上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【解析】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x x =不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k kk k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x x =，当1t s ==时，()()()22222f t f s f t s +=>=+，故()2f x x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k xf x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k kf f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.零点问题10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()f x 具有性质()P T ．(1)若函数()f x 具有性质()2P ，求()122f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)设()log a f x x =，若01a <<，求证：存在常数0T >，使得()f x 具有性质()P T (3)若函数()f x 具有性质()P T ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()f x 在()0,∞+上存在零点．【答案】(1)()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，代入2x =和12x =即可得出答案；（2）设()log a g x x x =-，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为()()nf T x f x nT =+，然后令1x =得，()()1nf T f nT =+，分情况利用零点存在性定理证得结论.【解析】（1）函数()f x 具有性质()2P ，所以对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，令2x =，得()()212f f =+，令12x =，得()1122f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）证明：函数()f x 具有性质()P T 的充要条件为存在0T >，使得()log log a a Tx x T =+，即log a T T =，设()log a g x x x =-，因为()110g =-<，()10g a a =->，所以在区间(),1a 上函数()g x 存在零点0x ，取0T x =，则log a T T =，得函数()f x 具有性质()P T ．（3）设n N *∈，因为()()f Tx f x T =+，所以()()nf T x f x nT =+，令1x =得，()()1nf T f nT =+，①若()10f =，则函数()f x 存在零点若()10f <，当()01f n T>-时，()00nf T >，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点②因为()n x f x f nTT ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()()1nf T f nT-=-若()10f >，当()01f n T>时，()00nf T -<，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点．综上，函数()f x 在()0,∞+上存在零点．11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数21()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）若函数[()]g f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）()1,1-；（2）5[,)4-+∞；（3）答案见解析.【解析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为R ，利用判别式，列出不等式，即可求解；（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（3）根据函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，先分1x >，1x =和01x <<三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分∆<0，0∆=和0∆>三种情况讨论，即可求解.【解析】（1）由题意，函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，因为该函数的定义域为R ，则2104x ax ++>对任意x R ∈恒成立，可得210a ∆=-<，解得11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，若[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，则问题等价于()0f x >在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(1,)+∞上单调递增，即5(1)0412f a a ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得54a ≥-，所以实数a 的取值范围是5[,)4-+∞．（3）当1x >时，()ln 0g x x =-<，所以当1x >时，min{(),()}()0≤<f x g x g x ，所以()h x 在(1,)+∞上没有零点；当1x =时，(1)0g =，5(1)4f a =+，若504a +≥即54a ≥-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，此时1x =是函数()h x 的一个零点；若504+<a 即54a <-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，此时1x =不是函数()h x 的一个零点；当01x <<时，因为()ln 0g x x =->，则函数()h x 的零点个数等价于函数()f x 的零点个数，①当210a ∆=-<，即11a -<<时，()0f x >，则()min{(),()}0=>h x f x g x ，函数()h x 在(0,1)上没有零点；②当0∆=即1a =±时，函数()f x 有且只有一个零点，若1a =，由()0f x =可得1(0,1)2=-∉x ，则函数()h x 在(0,1)上没有零点；若1a =-，由()0f x =可得12x =，则函数()h x 在(0,1)上有1个零点；③当0∆>，即1a <-或1a >时，函数()f x 有两个零点，不妨设为12,x x 且12x x <，当1a >时，120x x a +=-<，12104=>x x ，所以120x x <<，则()f x 在(0,1)上没有零点；当1a <-时，120x x a +=->，12104=>x x ，所以120x x <<，当5(1)04=+≤f a 即54a ≤-时，1(0)04=>f ，所以(0)(1)0f f <，则101x <<，21x ≥，所以此时()f x 在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f >，即514a -<<-时，对称轴15(,)228=-∈a x ，且(0)0f >，(1)0f >所以1201x x <<<，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上所述：当54a <-或1a >-时，()h x 有一个零点；当54a =-或1a =-时，()h x 有两个零点；当514a -<<-时，()h x 有三个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【解析】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k+++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，设()()f xg x x=.(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得0a >，再根据二次函数单调性列方程求解即可；（2）由题知2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，进而得2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，再求最值即可得答案；（3）用换元法化简方程()22131021xx mg m -+-+=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【解析】（1）解：()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-，(),0a b ≥因为，当0a =时，()f x b =，为常函数，不满足题意；所以，0a >，()()21f x a x b a =-+-在[]1,3x ∈上单调递增，因为函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，所以()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==，所以1a =，1b =.（2）解：由（1）知()221f x x x =-+，()()12f x g x x x x==+-，因为不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，所以2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，所以，120t kt t +--≤，在[]2,3t ∈上恒成立，所以2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，因为[]2,3t ∈，所以111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，则49k ≥，所以k 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解：方程()22131021xx m g m -+-+=-等价于122123102121xx x m m -+-+-+=--，即()()2211321120x x m m --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，因为方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，所以，画出21xt =-的图像如下图所示，所以()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()21312h t t m t m =-+++，所以，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩，此时1m >或()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，此时m 无解，综上，1m >，即实数m 的取值范围()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令21xt -=，进而结合题意，数形结合得()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，再根据零点存在性定理求解即可.二次函数（包括含绝对值）、对勾函数14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数()53y g x x ==-不存在“和谐区间”．（3）已知：函数()()221aa x y h x a x+-==（a ∈R ，a≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n﹣m 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[]0,1上单调递增,且值域也为[]0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集,我们可以用a 表示出n m -的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．x 2﹣3x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根．，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n ﹣m 取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．15．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.(1)写出集合A =R 到集合{R ,B x x =∈且}0x >的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z 的到有理数集Q 的保序同构函数；(3)已知存在正实数s 和t 使得函数()21xf x x m =+-是集合[]0,s 到集合[]0,t 的保序同构函数，求实数m 的取值范围和s 的最大值（用m 表示）.【答案】(1)()2xf x =(2)见解析。
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1B；2D；3B；4C；5C
三、请计算下列各题
1（5分）求极限 。
解：
6分
= 410分
2（5分）函数 由方程 所确定，求 。
令
(4分)
(8分)
(10分)
3（6分）设 ，函数 有一阶连续偏导数，求 。
（10分）
4（6分）
解：
5（7分）已知 ，求 。
解：两边关于 求导得
即
（4分）
解
设仓库的长、宽、高分别为 米。
则仓库容积
且
即
令 4分
由
得 8分
由于实际问题的最大值必定存在，因此当仓库的长、宽、高都取相同值，即10米时，仓库的容积最大。
10分
10（10分）试求幂级数 的和函数并计算
级数 的和。
幂级数的收敛域是 ，……3分
所以当 时，有
……5分
……7分
故
……
6（7分）计算二重积分
其中D：0≤y≤sinx,0≤x≤π.
7（7分）计算二重积分
其中D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0.
8（7分）求微分方程 的通解。
令： ，得
（2分）
即
（6分）
通解为： （10分）
9（10分）
修建一座形状为长方体的仓库，已知仓库顶每平方米造价为300元，墙壁每平方米造价为200元，地面每平方米造价为100元，其它的固定费为2万元，现投资14万元，问如何设计方能使仓库的容积最大？