指数与指数幂的运算(一)

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
学习目标：⒈理解n 次方根、根式概念，能正确应用根式的运算性质； ⒉提高认识、接受新事物的能力．
教学重点：根式的概念．
教学难点：根式的概念的理解．
教学方法：讲授式．
教具准备：投影．
教学过程：
（I ）复习引入：
师：请同学们思考下面的问题：
根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国国内生产总值（GDP ）年平均增长率可望达到7.3%．那么，在2001～2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？ 生：2001年我国的国内生产总值可望为2000年的(1+7.3%)倍； 2002年我国的国内生产总值可望为2000年的2(17.3%)+倍；
2003年我国的国内生产总值可望为2000年的3(17.3%)+倍；
…… ……
设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么
(17.3%)x y =+*(x N ∈，20)x ≤
即从2000年起，x 年后我国的国内生产总值为2000年的(17.3%)x +倍． 师：整数指数幂n a 的含义是什么？它具有哪些运算性质？
生：n n a
a a a a =⋅⋅⋅ 个 *()n N ∈，01a =，1n n a a -= *()n N ∈； 整数指数幂有如下运算性质：
⑴m n m n a a a +⋅=；
⑵()m n mn a a =；
⑶()n n n ab a b =，以上m n Z ∈、．
师：由于m n m n m n a a a a a
--÷=⋅=，1()n n n n n n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭，所以m n m n a a a -÷=归入性质⑴，n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
归入性质⑶． 下面同学们再来看一个生物数学问题：
生物学家通过研究发现，当生物死亡以后，其体内含有的放射性同位素14C
会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据这个规律，科学家获得了生物体内14C 的含量P 与死亡年数t 之间的关系537012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据这个公式，当生物死亡了6000年，10000年，
100000年后，它体内14C 的含量分别为多少？
生：当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内14C 的含量分别为6000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭，10000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭，100000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭．
师：上面这些式子的值怎样计算呢？这就涉及到指数为分数时，幂的计算问题．
今天开始，我们一起来把指数的取值范围从整数推广到实数，为此我们先学习根式的有关知识．
（II ）讲授新课：
⒈n 次方根的意义：
师：通过初中的学习我们知道，如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根；如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根．
一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈． 师：请同学们类比平方根、立方根的性质，考虑n 次方根有什么性质呢？ 生：（经教师引导，学生探究、讨论得出）正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数；
正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0．
师：当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；
当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示．正数a 的正的n 次方根和负的n 次方根可以合并写成n a ±．
也就是说，
如果n
x a =，那么 ,21,2(0)n n a n k x a n k a ⎧=+⎪=⎨±=>⎪⎩(*)k N ∈． 其中式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数．
⒉根式的性质：
师：根据n 次方根的意义，可得
⑴ ()n n a a =． 师：式子n n a a =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？ 生：（经教师引导，学生探究、讨论得出）
⑵当n 为奇数时，n n a a =；
当n 为偶数时，,0||,0
n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 例⒈见课本54P ．
（Ⅲ）课后练习：
求下列各式的值：
⑴532-　； ⑵4(3)-； ⑶2(23)-　；
⑷526-； ⑸6a ； ⑹2
13x x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭． （Ⅳ）课时小结
⒈n 次方根的意义；
⒉根式的运算性质．
（Ⅴ）课后作业
⒈课本65P 习题2.1 A 组 ⒈
⒉阅读课本55P ～58P ，思考下列问题：
⑴根式与分数指数幂有何关系？
⑵整数指数幂推广到了有理指数幂后，其运算性质有何变化？ ⑶无理指数幂的意义是怎样的？它有怎样的运算性质？ 板书设计：
§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
⒈n 次方根的意义： ⒉根式的性质 例⒈
⑴
⑵ 小结：
预习提纲： 教学后记:
性质⑴推导过程：若n
x a =，则
当n 为奇数时，n x a =，由n x a =得()n n a a =； 当n 为偶数时，n x a =±，由n x a =得()n n a a ±=；
综上所述，可知：a a n n =)(．
性质⑵推导过程：显然有n n a a =，所以
当n 为奇数时，由n 次方根定义得：n n a a =；
当n 为偶数时，由n 次方根定义得： n n a a ±=，则n n n n a a a =±=||||
综上所述：⎩⎨⎧=为偶数，为奇数n a n a a n n
||,．。