指数与指数幂的运算(老师)
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
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指数与指数幂的运算
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2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
指数与指数幂的运算课件
根式
根式的简单性质:
思考1： (n a )n a成立吗?请举例说明. 如 : (3 8 )3 8, (5 2 )5 2, (4 8)4 8, 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
思考2： n an a成立吗?请举例说明.
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有：6 (2)6 2 2
bn
an bn
观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
3
312
3
(34 )3
34
12
33;
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81
26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3. 记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2. 记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
国家课程校本化：§2.1.1 指数与指数幂的运算(教师用书)
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算【课标解读】 1．理解n 次方根和根式的概念；2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．【自学导引】1．若n n 33-=- ，则n 的取值集合是 . 【答案】{|21,}n n k k *=+∈N 2．下列说法正确的是（ ） （A ）64的6次方根是2 （B ）664的运算结果是2±（C ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【答案】D3．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）①n m nm a a=； ②10=a ； ③m na-=（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个【答案】A41104325(0.008)()0.253----⨯⨯【答案】π5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【答案】逼近【典例精析】【例1】求使等式3)3()9)(3(2+-=--a a a a 成立的实数a 的范围.【答案】{|33}a a -≤≤ 【例2】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+； 【答案】5（2）22x x -+； 【答案】7（3）22x x --； 【答案】± （4）33x x -+. 【答案】5【例3】化简：223410623+--.【自主反馈】 1．（原创题）下列各式正确的是（ ）（A ）42=- （B 2=-（C ）322[(2)]8-=- （D ）x=2．计算：111232217(0.027)()(2)279---+= ．3．已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4.【课时作业】1. 根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ） （A ）34-a （B ）34a （C ）43-a（D ）43a2.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x3. 552)()(b a b a -+-的值是( )（A ）0 （B ）)(2b a - （C ）0或)(2b a - （D ）b a -4. 计算122121(2)()2()48n n n n ++*-∈N ⋅的结果为（ ） （A ）461 （B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n5. 与aa 1-的值相等是（ ） （A ）a（B ）a -（C ）a - （D ）a --6. 若11225x x-+=，则21x x+的值是 .7.160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.8. 使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.9. 若103m=，102n=，则3210m n -的值为 .10.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .11. 计算：5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--.12.已知21na =，求33n nnna a a a--++的值.13.2()a n *=∈N 成立的条件.14.(1)x ≥。
(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)
新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N* 思考 ：类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，
一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ n ①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 a 表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 n a ( a 0 ) 表 示
3、根式和分数指数幂的互化
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
（1）正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意 m 1 义相同.即： n *
a
m
(a 0, m , n N )
a
n
（2）规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义. （3）运算性质仍然适用
例题分析
例3 根式与分数指数幂的互化
无
无
0 ±2 ±3
0 0
2
(2) 4
2
( 3) 9
2
－8 －1 0 8 27
－2
(2) 8
3
－1 0 2 3
( 1) 1
3
0 0
3
2 8
3
3 27
3
思考： ①已知(－2)5= －32，如何描述－2与－32的关系？
②已知(±2)4=16，如何描述±2与16的关系？
52
6 ?
尝试练习
1、 a 2 a 1 a 1, 求 a的 取 值 范 围
2
a 2a 1
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数与指数幂的运算(一)
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作：
a b c
4. 计算 5 2 6 .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a .
( 8 ) ;
3
( 2)
4
( 10) ;
2
4
(3 ) ;
( 4)
(a b) (a b).
2
例2 求下列各式的值：
(1) ( 2)
(3)
7
( 2 ) ;
7
4
( 3a 3) ;
4
3
(8) (3 2) (2 3 ) .
3 4 4 3 3
例3 求出使下列各式成立的x的取值范围：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a .
n
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a . ③负数没有偶次方根.
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
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指数与指数幂的运算
知识清单：
1．根式的概念
(l)n 次方根的定义
n 次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：
①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次
方根是零，设a R ∈，凡是大于1的奇数，则a 的n ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，
负数的偶次方根没有意义．设0a ≥，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是 (2)开方与乘方
求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方
运算相混，如求2的四次方，结果是4
2=16，而求2的四次方根，结果为
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3) ①n N ∈，且1n >．
②当n 为大于l a R ∈都有意义，它表示a 在实数范围内唯一的
一个n 次方根，n a =
③当n 为大于1的偶数时，
只有当0a ≥时有意义，当0a <时，无意义.
(0)a ≥表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是(n =a .
④式子
对任意a R ∈都有意义，当n 为奇数时，=a ；当n 为偶数时，
,0,
,0.a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
例1
2．分数指数幂及幂指数
(1)m n
a 的意义
分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂m n
a 不可理解为
m
n
个a 相乘，它是根
式的一种新的写法，规定m n
a
=
（0a >，m ，n ，都是正整数1n >）
，m
n
a
-
=
1m n
a
=
0a >，m ，n ，都是正整数1n >）.在这样的规定下，根式与分数
指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，’ (2)0的指数幂
0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义． (3)分数指数幂的运算性质
分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致．
如①r
s
r s
a a a
+=（,,0r s Q a ∈>）；②()r s rs a a =（,,0r s Q a ∈>）;
③()r r r ab a b = (,0,0r Q a b ∈>>). (4)无理数指数幂的意义
当0a >，p 是一个无理数时，p
a 的值可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值
构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是p a ），故p
a 是一个确定的实数．
(5)幂指数的扩充：
例2 计算（或化简）下列各式：
（1）141030.75
3
327(0.064)()[(2)]16
0.018
-----+-++-
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-⋅-
++.
3．指数式的条件求值问题
(1)化简求值是考试中经常遇到的问题之一．先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理．
(2)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用．
(3)在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算．
例3 已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值.
4．指数运算中的几种变形技巧
常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析． (1)逆用公式
[例]
已知a =
b =
c ，试比较a ,b ,c 的大小．
[解析]
因a ==
b == 而121 <123 <125，所以a >
c >b ，
．
(2)妙用公式变形
引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如:1
121123
3
3
33
3
()()a b a b a a b b +=+-+,11112
2
2
2
()()a b a b a b -=+- 等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．
[例]
：
4133
223
3
8(14a a b b a
-÷-+
(3)整体代换
在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解． [例] 已知2
310a a -+=，求11
2
2
a a -
+的值．．
(4)化异为同
[例]
计算2008
2009
（5）化负为正
[例] 化简11444242
x x
x x --+++。
例4 已知12x y +=，9xy =，且x y <，求
12
112212
x y x y
-+的值。
例5 （1
）已知21n
a
=，求33n n
n
n
a a a a --++； （2）若1112
2
2
a a
x -
+=，0x >
的值.。