根式指数与指数幂的运算

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方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式1.根式运算法则：(1) ，，；(2) ，，(ma =≥0)a =≥0,P ≠0)(5) ,0),,a m n N =≥∈其中2.指数运算法则：，，，，，，（7）1(0)mm a aa-=≠，（8）1n a = （9）mn a =（10） d bdba c a c =⇔=3.对数运算法则：i 性质：若a ＞0且a≠1，则，，（3）零与负数没有对数，（4）log log 1a b b a ⨯= ⑥,（7）log log log 1a b c b c a ⨯⨯=ii 运算法则：若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则，，， log log (,01)m n a a nb b a b m=>≠且（4）, log log n naa m m =， 1log log na a m m n=（5）换底公式， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0,（6）倒数公式 1log ,0,1log a b b a a a=>≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10xN x N =⇔=（8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =⇔= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n→∞=+≈4.指数与对数式的恒等变形：；。

5、指数方程和对数方程解题：()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=定义法）()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =⇔=（取对数法）()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =⇔=（换底法）6、理解对数①两种log a b 理解方法1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。

指数与指数幂的运算

34）=（
2
）-3
=
27
81
3
38
例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
（1）a2 a （2）a3 3 a2 （3） a a
解（ : 1）a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2
（2）a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
（3）a a
1
aa2
（a112）12
a
3 4
例题讲解
一、根式与分数指数幂的互化
成立的x的范围.
解: (x 2)(x2 4) ( x 2)2 x 2
x 2 x 2.
x 2 x 2 ( x 2) x 2.
则有
x
2
0,
或
x 2 0, | x 2 | x
2.
x
2, 或
x x
2, 2≥
即
0.
x
2,
或x
≥
2.
所以x的取值范围是
x 2, 或x ≥ 2.
回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2)3=-8
2叫8的立方根. -2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.

指数与指数幂的运算知识点总结

指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点（1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六运用公式进行指数幂的运算（条件求值）常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ）（B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【】 53-a （A ）（B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【】（A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ）（D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【】（A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【】()()2125--+-=x x y （A ）（B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ）（D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ）（C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七指数幂等式的证明设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。

016指数及指数幂的运算根式

5

5
-6
3)
0
4
4

0
6 6
5
根据根式的定义：
a
n
n

a
方根的运算2：
1)
2)
4
2
4
4
2 2
3)
5
(6) -6
5
4
(2)
4)
5
6 6
5
n
a
n
| a | a, a 0时
a
当n为奇数时
a, a 0时
当n为偶数时
公式：
-2
5
32
学习探究：
探究一：指数函数模型应用背景：
先让我们一起来看两个问题：
问题１据国务院发展研究中心2000年发表的我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3％.那么，在2001年～2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3℅）倍； 2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3℅）2倍； 3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的倍； 3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的倍； …… 设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么 y= （1+7.3℅）x=1.073x
预习导航：
1：（初中根式的概念）如果一个数的平方平方根等于a，那么这个数叫做a的__________ ， a 记作_____________ ；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 3 立方根 a 的______________，记作____________.

2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式

新课
2、 n次方根的定义
一般地, 若x a, 则x叫做a的n次方根.其中
n
n次方根,32的5次方根; (2)25的2次方根, 81的4次方根.
n次方根有何性质？
3/21/2019 10:18:57 PM
新课
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
(1).
3 3
(3)( 3) ; 2 (4 ) ( a b ) . n n (5 ) ( a b) .
5 5
3/21/2019 10:18:57 PM
小结
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
《学案》
求值：5 2 6 7 4 3 6 4 2
例2、计算 :
2 5 5
请思考
(1)( 5 ) ____, ( 3 ) ____;
( 2) ( 2) ____, ( 3) ____ .
2 3 3
比较( a ) 和 a 的区别与联系 ?
3/21/2019 10:18:57 PM
n
n
n
n
新课
根式的运算性质
(1)( n a ) n 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开方数, a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一定为被开方数. n n (2)当n为奇数时, a ____, a 当n为偶数时, a
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0.
( 2)偶次方根的性质 : 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号
相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的奇次方根是0.
3/21/2019 10:18:57 PM

高一数学指数与指数幂的运算2(1)

4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16

)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已知x

x 1

1
3，求x 2

x

1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资佳境配资；

指数与根式的运算定理

指数与根式的运算定理在数学中，指数与根式的运算定理是指数和根式之间运算的一些基本规则和性质。

这些定理在代数和计算中经常被使用，能够帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。

以下将介绍一些常见的指数与根式的运算定理。

一、指数的乘法和除法定理1. 指数相乘：对于相同的底数，指数相乘等于底数不变，指数相加。

例如，a^m * a^n = a^(m+n)。

2. 指数相除：对于相同的底数，指数相除等于底数不变，指数相减。

例如，a^m / a^n = a^(m-n)。

二、指数的幂次和根式的运算定理1. 指数的幂次：对于一个数的指数的幂次，等于底数不变，指数乘以幂次。

例如，(a^m)^n = a^(m*n)。

2. 幂次的根式：对于一个数的幂次的根式，等于底数不变，指数除以根指数。

例如，(a^m)^(1/n) = a^(m/n)。

三、根式的乘法和除法定理1. 根式相乘：根指数相同的根式相乘，等于根指数不变，底数相乘。

例如，√a * √b = √(a*b)。

2. 根式相除：根指数相同的根式相除，等于根指数不变，底数相除。

例如，√a / √b = √(a/b)。

四、指数与根式的混合运算定理在进行指数与根式的混合运算时，可以先将指数转化为根式，再进行根式的运算。

例如，(a^m)^(1/n) = (√a^m)^n = (√(a^m))^n = (a^m)^(n/1) = a^(m*n)。

以上是指数与根式的运算定理的简要介绍，通过运用这些定理，我们可以更加方便地进行复杂指数和根式的运算。

然而，在具体的问题中，我们还需要根据题目要求和实际情况灵活运用这些定理，以达到更加准确和高效的计算目的。

总结：指数与根式的运算定理提供了一些基本的规则和性质，可以帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。

在实际运用中，我们需要熟练掌握这些定理，并根据实际情况进行灵活运用，以便更好地解决数学问题。

指数与指数幂的运算优秀教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）0=1（a 0) ；0=1（a0) ；n * )a a a n N（； an a个a n1na(a 0, n N *)(2) m n m n m nmn n n na a a (m,n∈Z)；(a ) a(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________（II ）讲授新课1 / 151.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a可看作m na a ,所以m n m na a a 可以归入性质m n m na a a ；又因为an( ) 可看作bm na a ，所以na an n n n( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分nb b数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（n N* ）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根25=32 2 叫32 的 5 次方根⋯2n=a 2 叫 a 的 n 次方根2=4，则2叫4 的平方根；若23=8，2 叫做 8 的立方根；若25=32，则分析：若 22 叫做 32 的 5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nx a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根（n th root）,其中n 1，且n N 。

2.1.1指数与指数运算(根式)

P50探究例如，3 33 = 3 ，5（-3）5 = -3
32 = 3 ，（-3）2 = 3
当n为奇数时, n an a;
当n为偶数时, n
an
| a |
a, a 0, a,a 0.
例1、求下列各式的值:
(1)3 (8)3 ＝－8 (2) (10)2 ＝︱－10︱＝10
P59A1
(3)4 (3 )4 ＝︱3－π ︱＝ π －3
(4) (a b)2 (a b) ＝︱a－b ︱=a－b
分析：
当n为奇数时，n an a
a(a 0)
当n为偶数时，n an a
-a (a<0)
补充练习：
（1） 5 －3）3 =-3
（3）（－3）4 = 92 = 9 =9
（4）（ 2－ 3）2 =︱ 2－ 3︱= 3－ 2
(5)
6 = （ 3）2 =︱x3︱
(6)
5－2 6 = （ 3）2－2 2 3 （ 2）2
= （ 3－ 2）2 =︱ 3－ 2 ︱ = 3－ 2
小结
a2
(3) a6 的三次方根是____
(4) 0 的七次方根是____0___
思考：a的n次方根有几个？
① n 为奇数时，a 的 n 次方根只有1个．记为：n a
正数的奇次方根是正数, 例如，3 8=2 负数的奇次方根是负数, 例如，3 -8=-2 零的奇次方根是零.
② n为偶数时，aa 0 的 n次方根有2个．记为： n a
例如，81的4次方根 4 81= 3.
（其中4 81=3， -4 81=-3）
n 0 0；负数没有偶次方根．
4、式子 n a 叫做根式． n 叫做根指数，a 叫

高中数学2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式

,被开方数是
.
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】知识点根式与根式的性质观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:如何确定实数a的n次实数方根的个数? 问题2: n an 与( n a )n有什么区别?
【总结提升】 1.对根式的三点认识 (1)n的取值范围是n∈N*且n>1. (2)当n为大于1的奇数时, n a 对任意a∈R都有意义,它表示a在实数范围内有唯一的一个n次方根. (3)当n为大于1的偶数时, n a 只有当a≥0时有意义,当a<0时无意义. n a (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是- n a .
【补偿训练】1.求下列各式的值：
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 . 【解析】(1) 3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
xy
x y, x y 0, x y, x y＜0.
2.化简求值：
(1) 3.14 2＋ 3.14 2 . (2) 4 m n4＋3 m n3 . 【解析】(1) 3.14 2＋ 3.14 2
答案：1
【防范措施】化简根式的三个关注点
(1)首先要确定变量的取值范围，即保证根式有意义，如分母不为0，
偶次实数方根的被开方数不小于0.
(2)其次化简根式必须为恒等变形，比如n∈N*，n≥2,当n为奇数时，
n an =a;当n为偶数时， n an =|a|.只有当a≥0,才有 n an =a.
(3)常见的等价变形有：
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)若将本例原式改为

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根式指数与指数幂的运算根式的性质思考1:445533)2(,)2(,)2(分别等于什么？一般地nna)(等于什么？思考2:44445533)2(,2,2,)2(分别等于什么？一般地nna 等于什么？思考3:对任意实数a ，b ，等式nnnab ba成立吗？例1 求下列各式的值88442343)1(,)3(,)10(,)8(,)2(,64a 例2 化简下列各式3322)1()1()1(,3625a a a 根式的性质思考1:445533)2(,)2(,)2(分别等于什么？一般地nna)(等于什么？思考2:44445533)2(,2,2,)2(分别等于什么？一般地nna 等于什么？思考3:对任意实数a ，b ，等式nnnab ba成立吗？例1 求下列各式的值88442343)1(,)3(,)10(,)8(,)2(,64a 例2 化简下列各式3322)1()1()1(,3625a a a 分数指数幂和无理数指数幂知识探究（一）：分数指数幂的意义思考1:设4128510,,,0aa a a分别等于什么思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？思考3:按照上述规律,根式573543,7,5a 分别可写成什么形式？思考4:我们规定：nma (a>0,m ，n ∈N 且n ＞1)，那么328表示一个什么数？52214,3分别表示什么根式？思考5:你认为如何规定mn a(a>0,m,n ∈N ，且n ＞1)的含义？思考6:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考7:532332)2(,)2(,)2(都有意义吗？当a<0时，nm a 何时无意义？知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质思考1:342322一般地等于什么？思考2:3423)2(一般地等于什么？思考3：323222一般地等于什么？例1 求下列各式的值4332132)8116(,)41(,100,8例2用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a aa a,,3232(式中a ＞0).例3计算下列各式（式中字母都是正数）.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132n m b a b a b a 例4计算下列各式：433225)12525)(2();0()1(a aa a练习1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０) 32534351,,,aaa a 2.用分数指数幂表示下列各式：(1)32x （２）43)(b a （ａ＋ｂ＞０）(３)32)(n m(４)4)(n m （ｍ＞ｎ）(5)56q p（ｐ＞０） (6)mm33.练习求下列各式的值：(1)2325（２）3227（３）23)4936(（4）23)425(（5）423981（6）63125.132例5化简：)()(41412121y x y x 例6已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121xx xx 练习1、计算下列各式的值（式中字母都是正数）．(1)(xy 2·21x ·21y)31·21)(xy (2)2369)(a ·2639)(a 2、已知11223xx，求33222232x x x x 的值.3、已知221xa，求33x x xxaa aa的值.例6: 利用指数的运算法则，解下列方程：(1)43x+2=256×81－x(2)2x+2－6×2x －1－8=0练习1．化简：a a a2．36639494()()a a （）()A 16a()B 8a ()C 4a ()D 2a3．设a>1，b>0，a b+a －b=22，则a b－a －b（）()A 6()B 2或2()C 2()D 2指数与指数幂的运算1、下列运算结果中，正确的是（）A ．632aaaB ．2332aa C ．11a D ．632aa2、化简43325的结果为（）A ．5B ．5C ．5D ．-53、化简,03421413223b a ab ba abba 的结果是（）A ．ab B ．ab C ．ba 2D ．ba 4、bx 21，by21，那么y 等于（）A ．11x x B ．xx 1C ．11x x D ．1x x 5、计算：14323112325671027.0=___________________。

6、方程33131xx 的解是____________________。

7、kk k 21212222（）A ．k22B ．122k C ．122k D ．28、若22,0,1bb aab a ，则bbaa等于（）A ．6B ．2或-2C ．-2D ．29、已知9,12xy y x ，且y x ，求21212121y x y x 的值是_________________。

10、已知函数222,222xxxxxg xf （1）计算：2211g f （2）证明：2211g f 是定值。

11、已知32121xx，求32222323xxx x 的值。

12、已知函数313151x x x f ，313151xx xg （1）判断x g x f 、的奇偶性（2）分别计算2254g f f 和3359g f f ，并分别概括出涉及函数x f 和x g 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明。

13、以下各式的化简错误的是（）A ．11513152aa aB ．643296b a ba C ．y yxyx yx 322132413141D ．accb acb a 53251543312143312114、2122等于（）A ．2B ．2C ．22D ．2215、下列各式中成立的是（）A ．7177m n mn B ．312433C ．43433yx yxD ．333916、化简656131212132313b a ba ba 的结果为（）A ．a 6B ．a C ．a 9D ．29a17、当x 2有意义时，化简964422x x x x的结果为（）A ．52x B ．12x C ．1D ．x2518、若bbyx21,21，那么y （）A ．11x x B ．xx 1C ．11x x D ．1x x 19、已知31a a。

则2121aa 等于（）A ．2 B ．5C ．5D ．520、化简xx 3的结果是（）A ．xB ．x C ．x D ．x21、已知20095x ，则x =_____________。

（用根式表示）22、化简625625=______________________。

23、已知*N n，化简11111233221n n _____。

24、计算63125.132的值。

25、计算下列各式：（1）5.021201.04122432（2）,05354215658b ab aba 26、计算下列各式：（1）48373271021.09723.225.0（2）2175.03433101.016287064.027、求值：（1）已知a xx22（常数），求xx88的值。

（2）已知9,12xy y x 且y x ，求21212121y x y x 的值。

28、将235写为根式，则正确的是（）A ．325B ．35C ．523D ．3529、根式aa 11（式中0a ）的分数指数幂形式为（）A ．34aB ．34aC ．43aD ．43a30、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab（2）42a（3）3432xxx31、若21a，则化简4212a 的结果是（）A ．12a B ．12a C ．a 21D ．a2132、（1）化简3163278ba（2）计算：3263425.0031323228765.1（3）已知31aa，求22aa 与33aa的值。

33、（1）已知122na，求nnn n a aa a 33的值。

（2）若0,212121xx aa，求xxxx x x 424222的值。

34、设6,12,2434cb a，则c b a ,,的大小关系是（）A ．cba B ．a c bC ．a c bD ．cb a 35、6351,9,2cba，试比较c b a ,,的大小。