根式、指数、分数指数幂---3
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分数指数幂、无理数指数幂 (经典公开课)
1．计算4 163的结果为( A )
A．8
B．4
C．2
D．18
3
3
解析：由题意可得4 163＝164＝(24)4＝23＝8.
2．根式
1 a
1a的分数指数幂的形式为( D )
解析：
题型 2◆利用分数指数幂的运算性质化简与求值
典例 1
A．x C．1
化简 x·3 x2(x>0)的结果是( A ) 6 x B．x2 D． x
a3是否可以写成 这方面的知识．
…呢？今天这一节课我们就要学习
二、提出问题
1．amn，a (a>0)如何写成根式形式？
2．amn，a 中 a≤0 是否有意义？
3．amn (a>0，m，n∈N*，n>1)是否表示mn 个 a 相乘？
[学习目标]
1.通过对有理数幂
am n
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)含义的认识，
11
11
1．化简(a3b2)2÷(a2b4)(a>0，b>0)的结果为( A )
A．a
B．b
C．ab
D．ba
解析：
2．( 2)0－(1－0.5－2)÷28723的值为( D )
A．－13
B．13
C．43
D．73
解析：原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.
题型 3◆条件求值问题
关于分数指数幂的教学，建议从根式的性质入手，将一些特殊的根式转 化为整数指数幂，再将整数指数转化为分数指数，引出根式与分数指数 幂的互化，对运算性质作进一步推广．对于无理数指数幂及其运算性质 只需给出定义，让学生了解即可．
一、导入新课 我们已经知道 aa，aaa，aaaa，…可以写成 a2，a3，a4，…，那么 a， a2，
2.1.1指数与指数幂的运算
二、课堂设问，任务驱动
内 14 问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体 原 有 的 碳 会 按 确 这个时间称为“半衰期 ，根据此规律，人们 得了 ” 获 生 物 体 内 碳 含 量 与 死 亡 年 数之 间 的 关 系 14 t 1 5730 P( ) 2 由此可知：
t
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每 过5730 衰 减 为 原 来 的 一 半 ， 经 年
2年后 2002 ),我国GDP可望为 ( 年 2000 年的 1 7.3% ) 倍; (
2
3年后( 2003 ),我国GDP可望为 年 2000 年的(1 7.3% )3 倍; 从2000 年起, x年后,我国GDP 可望为 2000 年的y倍,则
y (1 7.3% )x 1.073x ( x N * , x 20)
(1) a a a
r s
r s
rs
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab)r a r br (a 0, b 0, r Q).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析： 题型1、利用根式的性质化简、求值 ； 题型2、有条件的根式的化简 ； 题型3、分数指数幂的运算 ； 题型4、根式化为指数式。
4
c 5 c (c 0).
5 4
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
三、新知建构，交流展示
a
m n
a (a 0, m` n N , 且n 1)
n m
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
2)规定:
a
m n
根式与分数指数幂
（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3
理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质掌握指数函数.
因此A点坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
加法和减法是一级运算，乘法和除法是二级运算，当引进分数指数幂后，乘方 和开方也可看作同一级运算．利用指数的运算性质，可将根式与指数幂进行互 化运算，同时指数运算也是研究指数函数图象和性质的基础．
【例1】 计算下列各式：
学习指数函数的图象与性质是为研究其它函数图象与性质提供了典型范例，
复合，因此其单调性的判断类似于函数y＝
2．作为选择题，本题的关键是判断函数y＝ 利用单调性，必要时还可考虑求函数的值域等．
＝1＋
的奇偶性和单调性，主要是
3．学习函数的性质和图象，关键在于对具体函数的性质和图象进行系统的研究 和把握，建议可借助于几何画板等手段作出常见的整式函数如 y＝x3＋x，y＝ x3－x；分式函数如：
A．0 B．1 C．2 D．3
)
解析：A＝{x∈Z|1≤2－x<3}＝{0,1}，B＝{x∈R|log2x>1，或log2x<－1} ＝(0， )∪(2，＋∞) ，2]，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．
∴∁RB＝(－∞，0]∪[ 答案：C
4．方程3x－1＝
的解是________．
解析：3x－1＝3－2，∴x－1＝－2，解得x＝－1. 答案：－1 5．(2010·高三调研)如图，过原点O的直 线与函数y＝2x的图象交于A、B两点， 过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC 平行于y轴，则点A的坐标是________． 解析： 设 A点坐标是 (x,2x)，则 C(x,4x)， B(x0,4x)，由 B点在函数 y＝ 2x的图象上， 则 ＝4x，则x0＝2x，又O，A，B在一条直线上 ，解得x＝1，
>0时，方程①有解．解得－1<y<1.
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
指数幂及运算课件
3
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
2.1.1 根式与分数指数幂
n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .
1 3
4 3
－0.75
；
3 (2m2 n
3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10
3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2