计算方法大作业1 克服Runge现象
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson 法则1、问题描述：n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。
M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。
S是N的作业子集。
在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。
流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。
设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为aπ(1)+T’。
其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。
记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。
则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。
这与π是N的最优调度矛盾。
故T’<=T(S,bπ(1))。
从而T’=T(S,bπ(1))。
这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。
北科大研究生计算方法作业
计算方法姓名：学号：班级：指导教师：目录作业1 (1)作业2 (5)作业3 (8)作业4 (10)作业5 (14)作业6 (16)作业7 (17)作业11、分别用不动点迭代与Newton 法求解方程 -+=x 2x e 30的正根与负根。
解：(1)不动点迭代a.原理：将 230x x e -+=变型为1()k k x g x +=进行迭代，直到 为止变型后为有两种形式： 和 b.程序：初值为1形式: x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=log(2*x(i)+3); tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; enddisp(i-1); 形式:x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=(exp(x(i))-3)/2; tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end disp(i-1);c.运行结果：初值为1(23)1lnk x k x ++=6110k k x x -+-<132k x k e x +-=(23)1ln k x k x ++=132k xk e x +-=迭代次数：11迭代次数：9(2)Nexton法a.原理：令()()1'kk kkf xx xf x+=-得到迭代公式为：()1232kkxkk k xx ex xe+-+=--b.程序：初值为0x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=0;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1);初值为1x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=1;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1)a=x(i-1);b=2*a-exp(a)+3;disp(b);c.运行结果：初值为0迭代次数：5初值为1迭代次数：8 -1.6171e -006结果分析：不动点迭代会因为迭代公式选取的不同得出不同的迭代结果，而牛顿法迭代会因为初值选取的不同而得到不同的结果。
2022年秋季国开一网一平台《计算方法》下载作业一
计算方法下载作业（一）姓名：提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：1.将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅.2.在线提交word文档.3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传.一、填空题（每题2分，共10分）1./（0） = 1, /（2） = 3 ,用拉格朗日插值法求得的/⑴的近似值为•2.过（/"（/））， a,/区）），（/，/（%2））点的抛物插值多项式的余项为.3.用梯形公式计算积分.Ji %4.求矛盾方程组的最小二乘解是使最小.5.求向量X = （2,-4, 8）T的2-范数因b=.二、计算题（每题10分，共70分）1./ = 1, " = 2,亚=3,用牛顿插值法求正的近似值，并估计误差.X] += 4 X] 一 尤2 =3 21]-x 2 = 62.求矛盾方程组2.求矛盾方程组 的最小二乘解.求最小二乘一次式g]求）=% + a[x.4.求积分1）（幻口以/=；,%=；,%2=1为节点的内插求积公式，并求其代数精确度.5.用I复化梯形公式计算积打白“并估计误差.2X] + 3X2+5X3 = 2 6.用列主元消元法和全主元消元法解线性方程组＜3再+5% +82=3 .X] + 3X2+3X3 = 22X1 + 3X 2 + 2X 3 = 1411+ 5X 2 + 3%3 = 2 .2%j + 4X 2 + 4X 3 = 27.用直接三角分解法解线性方程组 7.用直接三角分解法解线性方程组三、证明题（每题10分，共20分）n]1.设a（i=o,i,・・・.）为内插求积公式系数，其中〃>2,证明Zai=鼻（犷-。
D./=03.设X =0一.,%")' 证明口|X||C||X『＜||X。
西安交通大学计算方法B大作业
计算方法上机报告姓名：学号：班级：目录题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 -1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 -1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 -2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 -2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 -3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 -4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3 Matlab源程序--------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3.1非压缩带状对角方程组------------------------------------------------- - 18 -5.3.2压缩带状对角方程组---------------------------------------------------- - 20 -5.4实验结果及分析 ------------------------------------------------------------------ - 22 -5.4.1Matlab运行结果 ---------------------------------------------------------- - 22 -5.4.2总结分析------------------------------------------------------------------- - 24 -5.5本专业算例 ------------------------------------------------------------------------ - 24 - 学习感悟-------------------------------------------------------------------------------------- - 27 -题目一1.1题目内容计算以下和式：0142111681848586n n S n n n n ∞=⎛⎫=--- ⎪++++⎝⎭∑，要求： (1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法； (2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。
2020吉大网络教育(直属)计算方法大作业解答
2020吉大网络教育（直属）计算方法大作业解答
计算题
1. 证明下列差分格式是二阶的
是二阶方法，并求出误差首项。
2. 用梯形方法解初值问题证明其近似解为
证明当时，其原初值问题的准确解3. 方程将其改写为
4. 用尤拉法解初值问题取步长计算。
5. 给定常微分初值问题试构造求解常微分初值问题的梯形差分格式。
6. 试证明显格式是一阶方法。
7. 方程将其改写为
8. 证明对于任意的参数，下列龙格—库塔公式是二阶的：
9. 利用改进的方法求解初值问题（取）
10. 就初值问题导出改进尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。
答案完整解答部分:
计算题
1. 答：
2. 答：
3. 答：
4. 答：
5. 答：
6. 答：
7. 答：
8. 答：
9. 答：
10. 答：。
计算方法大作业
计算方法大作业学院：电子工程姓名：班级：学号：大作业选题：分析方程求根问题中牛顿法的性能，包括收敛性等，并用该方法求解一个问题，给出过程和结果。
一、牛顿迭代法介绍：用迭代法求方程0)(=x f 的根时，首先要构造一个迭代函数，迭代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且有可能使迭代序列发散，构造迭代函数的一条重要途径，是用近似方程代替原方程去求根，因此如果能将非线性方程0)(=x f 用线性方程来近似代替，那么求近似根问题就容易得到解决，而且十分方便。
牛顿法就是把非线性方程线性化的一种方法。
二、牛顿迭代法原理设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得)(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代公式)(')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为)(')()(x f x f x x g -=.用牛顿迭代公式求方程根的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
三、牛顿迭代法的几何解析在0x 处作曲线的切线，切线方程为))((')(000x x x f x f y -+=。
令0=y ，可得切线与x 轴的交点坐标)(')(0001x f x f x x -=，这就是牛顿法的迭代公式。
因此，牛顿法又称“切线法”，其几何意义即为0x 点处的切线方程。
四、牛顿迭代法的收敛性 计算可得2)]('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则0)]('[)(")()('2****=-=x f x f x f x g , 故在*x 附近,有1)('<x g .根据不动点原理知牛顿迭代法对单根收敛.同理可知当*x 是0)(=x f 的重根时也收敛，则可分析出牛顿法不论对单根还是重根均是局部收敛的，只要初值足够靠近*x ，牛顿迭代序列均收敛于*x 。
计算方法大作业1 克服Runge现象
x3
x2
x
1
S1 ( x)
-0.34685
0.2086
0.073964
0.038462
S2 (x)
S (xi 0 ) S x(i 0 )
S
'
(xi
0) S
xi' (
0 )i
S
'
'
x(i
0)S
xi' ' (
0)
1 ,n2, . . . , 1
（1）
这里共有了 3n-3 个条件，再加上条件（2）中的 n+1 个插值条件，共有 4n-2 个条件，
因此还需要 2 个方程才能确定 S (x) .通常可在区间[a, b]的端点 a x0,b xn 上各加一个边
dn1
1
2
Mn
dn
（6）
2 1
2
2
2
1 M1 d1
M2
d2
n 1
2
n
1
M
n
1
dn1
n
n 2 M n dn
由式（1）内点拼接条件，可得
i M i1 2M i i M i1 d j i 1, 2,..., n 1
（3） （4）
其中
i
hi 1 hi1
, hi
i
hi hi 1
计算方法大作业作业((北京科技大学研究生结课考试)
《计算方法》平时作业（2010-2011学年第一学期）学 院：_________________________ 专 业：_________________________ 姓 名：_________________________ 学 号：_________________________ 联 系 方 式：_________________________机研111班机械工程学院作业(考试前交, 给出证明或计算过程、计算程序及计算结果) 1. 对向量()12Tn x x x x = 定义1211,max ,nk k k nk x x xx x ∞≤≤====∑设A 是n n ⨯矩阵，规定1111max x A Ax ==，1max x A Ax ∞∞∞==，2221max x A Ax ==证明111112max (),max (),.n nkj jk j nj nk k T A a A a A A A λ∞≤≤≤≤=====∑∑列范数行范数是最大特征值证明：1） 证明111||||max||nijj n i A a≤≤==∑1111111111||||max ||max ||||max ||||||max ||nnn nij iiji ij ij j nj nj nj ni i i i AX a x ax a x a ≤≤≤≤≤≤≤≤=====≤≤=∑∑∑∑所以 111||||111||||max ||||max||nijx j ni A Ax a=≤≤==≤∑设 1111max||||,1,0,1,0,||||1,nnijip i ip i ip j ni i aa x a x a x ≤≤====≥=-<=∑∑取若取若则11||n nip i ip i i a x a ===∑∑且。
因此，1111111||||max ||||||max ||n nn nij i ip iip ij j nj ni i i i Ax a x ax a a ≤≤≤≤=====≥==∑∑∑∑即 111||||111||||max ||||max||nijx j ni A Ax a=≤≤==≥∑ 则 111||||m a x ||nij j ni A a ≤≤==∑2）证明11||||max||niji n j A a∞≤≤==∑11111111||||m a x ||m a x ||||m a x ||||||m a x||nnnni j j i j j i j i j i ni ni ni nj j j j A X a x a x a x a ∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤=====≤≤=∑∑∑∑ 所以 ||||111||||m a x ||||m a x ||nij x i n j A Ax a ∞∞∞=≤≤==≤∑设 111max||||,1,0,1,0,||||1,nnijpj j pj j pj i nj j aa x a x a x ∞≤≤====≥=-<=∑∑取若取若则11||nn pj j pj j j a a ===∑∑且。
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《计算方法》大作业（一）
三次样条插值克服 Runge 现象
出，此时不会出现多项式插值时出现的 Runge 现象，插值函数与原函数拟合程度很高， 插值效果明显提高。
图 3 三次样条插值曲线
经过编程求解可以得到三次样条插值函数 Sn (x) ，最终得到的三次样条插值多项式的 系数如下表。
S ( x)
五、 计算结果
从图 1 与图 2 可以看出，采用多项式插值法时，其等距节点的高次多项式插值函数
在端点会产生剧烈震荡，且震荡随着 n 的增加会越明显，即 Runge 现象。
图 1 n=10 时 Lagrange 插值曲线
图 2 n=5，10，15 时 Lagrange 插值曲线
为了克服 Runge 现象我们采用了三次样条插值（第二类边界条件），从图 3 可以看
条件满足
S (x0 0) S (xn
S
''( x0
0)
S
''(
xn
0), S 0)
'( x0
0)
S
'( xn
0)
.
设 S (x) 在 xi 处的二阶导数值为 M i (i = 0,1,…,n)， M i 为待定参数，由式（1）可以得
到 S (x) 在区间[ xi1 , xi ] 上的表达式为
采用三次样条插值，构造函数：
scfit.m
function S=scfit(X,Y,dx0,dxn) N=length(X)-1; H=diff(X);
4
《计算方法》大作业（一）
D=diff(Y)./H; A=H(2:N-1); B=2*(H(1,N-1)+H(2:N)); C=H(2:N); U=6*diff(D); B(1)=B(1)-H(1)/2; U(1)=U(1)-3*(D(1)); B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2; U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N)); for k=2:N-1
《计算方法》
上机大作业（一）
题目：三次样条插值法克服 Runge 现象
姓名： 李楠 班级： B1603193 学号： 116031910075
2016 年 11 月
《计算方法》大作业（一）
三次样条插值克服 Runge 现象
一、 题目描述 对于多项式插值，插值多项式的次数随着节点个数的增加而升高，然而高次插值的
（7）
三次样条插值函数的关键是要解式（5）、（6）或（7）所示的方程组，将得到的M i
代入公式（2）中可得到相应的插值函数。 三、 算法框图
输入插值节点个数 n 插值 节点 ,插值点函数值
第一类 输入
计算 选择边界条件
第几类边界条件 第三类
第二类 输入
得到 n-1 阶方程组 式（5）
得到 n 阶方程组 式（7）
设在区间[a, b]上给定 n+1 个节点 xi （a = x0 < x1 < … < xn = b），在节点 xi 处的函数
值为 yi f (xi ) (i = 0,1,…,n).若函数 S (x) 满足以下三个条件： （1）在每个子区间[ xi , xi1 ] (i = 0,1,…,n-1)上， S (x) 是三次多项式；
（2） S (xi ) yi (i = 0,1,…,n)； （3）在区间[a, b]上， S (x) 的二阶导数 S ''(x) 连续；
则称 S (x) 为函数 y f (x) 在区间[a, b]上的三次样条插值函数。
由定义知要求出 S (x) ，在每个小区间[ xi , xi1 ] 上要确定 4 个待定系数，而共有 n 个小区间，故要确定 4n 个参数。根据 S (x) 在[a, b]上二阶导数连续，因此有
S (xi 0 ) S x(i 0 )
S
'
(xi
0) S
xi' (
0 )i
S
'
'
x(i
0)S
xi' ' (
0)
1 ,n2, . . . , 1
（1）
这里共有了 3n-3 个条件，再加上条件（2）中的 n+1 个插值条件，共有 4n-2 个条件，
因此还需要 2 个方程才能确定 S (x) .通常可在区间[a, b]的端点 a x0,b xn 上各加一个边
temp=A(k-1)/B(k-1); B(k)=B(k)-temp*C(k-1); U(k)=U(k)-temp*U(k-1); end M(N)=U(N-1)/B(N-1); for k=N-2:-1:1 M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k); end M(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2; M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2; for k=0:N-1 S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1)); S(k+1,2)=M(k+1)/2; S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6; S(k+1,4)=Y(k+1); end
由式（1）内点拼接条件，可得
i M i1 2M i i M i1 d j i 1, 2,..., n 1
（3） （4）
其中
i
hi 1 hi1
, hi
i
hi hi 1
,d hi
i
6
yi 1 yi hi
yi
h1i
y1i
/h(1i h i ) .
dn1
1
2
Mn
dn
（6）
2 1
2
2
2
1 M1 d1
M2
d2
n 1
2
n
1
M
n
1
dn1
n
n 2 M n dn
（2）
要得到 S (x) 的表达式，首先要求出 M i 的值，对（2）式求一阶导，得
S '(x)
( xi x)2 2 hi 1
M i1
( x xi1)2 2 hi 1
Mi
yi yi1 hi 1
1 6 (Mi
M i1 )hi1, x [ xi1, xi ]
d n1
n 1 M
n
（2）第二边界条件
（5）
2
《计算方法》大作业（一）
三次样条插值克服 Runge 现象
（3）第三边界条件
2 1
1
2
1
M0 d0
M1
d1
n 1
2
n
1
M
n
1
因此考虑三种边界条件的三弯矩方程分别如下：
（1）第一边界条件
2 1
2
2
2
M1 d1 1M 0
M2
d2
n2
2
n2
M
n2
dn2
n 1
2
M
n
1
S
M i1
( x xi1 )3 6 hi 1
Mi
yi 1
h2 i 1 6
M i1
xi x hi 1
yi
h2 i 1 6
Mi
x
xi1 hi 1
, x [ xi1, xi ]
在给定 n+1 个节点和相应的函数值后构造 n 次的 Lagrange 插值多项式，其等距节 点的高次多项式插值函数在端点会产生剧烈震荡，因此多项式对函数的逼近并不是随着 次数增高而越理想，这种现象就是 Runge 现象。解决 Runge 现象的方法通常有分段线性 插值、三次样条插值等方法。这里采用三次样条插值方法。
x3
x2
x
1
S1 ( x)
-0.34685
0.2086
0.073964
0.038462
S2 (x)
逼近效果往往不理想，会产生 Runge 现象。采用三次样条插值可以有效克服这一现象， 并且取得较好的插值效果。
采用函数 f (x) 1 进行数值插值，插值区间为[-1,1]，取不同的节点数 n，在 1 25x 2
区间[-1,1]上取等距节点为插值点，给定节点为 xj=-1+jh,h=0.1，j=0,…，n。再采用三次 样条插值，并比较二者插值效果。 二、 数学原理
5
《计算方法》大作业（一）
三次样条插值克服 Runge 现象
>> x=-1:0.001:1; >> y=1./(25*x.^2+1); >> plot(x,y,'r') >> hold on >>plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x,y,'-')