2020届天津市部分区高三下学期质量调查(一)数学(文)试题(解析版)
2020届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x=∈-<<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】Q 集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．12-【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】 输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==； 第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>， 退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】在上递减，若充分性成立，若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】00.310.3222,122<<∴<<Q ， 22log 5log 42>=Q ， 0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（ ） A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果. 【详解】()3,4Q 在22221x y a b-=的渐近线上，43b a ∴=，① 又Q 12PF PF ⊥，44133c c∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（ ）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果.【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<Q ，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+， ()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<， ()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B.二、填空题9．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________. 【答案】1755z i =-- 【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e11．圆柱的体积为34π，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果. 【详解】设圆柱的高为h ，Q 圆柱体积为34π，底面半径为32，2334h ππ∴⨯⨯=⎝⎭，1h =， 设球半径为R ， 则()222231R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________. 【答案】()()222113x y -+-=13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 【答案】222+14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=u u u v u u u v___________.【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆Q 中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥， 10AB =，15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22OC OC OD =-⋅u u u r u u u r u u u r22100100200OC OC =+=+=u u u r u u u r ，故答案为200.三、解答题15．在ABC ∆中，b =cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求cos 2C 的值． 【答案】（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==．因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos 3a A =， 所以3a =．（Ⅱ）因为cos 3A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==，cos 3B ==-．所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=． 故27cos212sin 9C C =-=． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =L ，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =L ，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查. （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）56；（2）（i ）{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ；（ⅱ）35【详解】解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56， 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）（i ）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为1A ，2A .5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为1B ，2B ，3B . 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ， {}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B .（ii ）事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：{}11,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B所以根据古典概型公式，得其概率为()63105P M ==. 所以事件M 发生的概率35. 【点睛】本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，AD BC ∥，90ADC PAD ∠=∠=︒，，112BC CD AD ===，2PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥； （2）求证：CM ∥平面PAB ； （3）求直线CM 与平面PAD 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π【解析】（1）根据PA AD ⊥，PA CD ⊥，得到PA ⊥平面ABCD ，从而得到PA AB ⊥；（2） 【详解】（1）证明：90PAD ∠=︒Q ，PA AD ∴⊥又PA CD ⊥Q ，CD AD D =I ，,CD AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD又AB ⊂Q 平面ABCDPA AB ∴⊥.（2）证明：取PA 中点N ，连接,MN BN .M Q ，N 分别是PA ，PD 的中点， MN AD ∴P 且12MN AD =， 又BC AD Q ∥且12BC AD =，MN BC ∴P 且=MN BC ，∴四边形MNBC 是平行四边形，CM BN ∴P ，又CM ⊄Q 平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，CM ∴P 平面PAB .（3）解：CD PA ⊥Q ，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，CD \^平面PADCMD ∴∠为直线CM 与平面PAD 所成的角在Rt PAD ∆中，PA =Q 2AD =，PD ∴=MD ∴=所以在Rt CMD ∆中，tan CD CMD MD ∠==. 6CMD π∴∠=.所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-L , ()()()()()()23131333233213nn n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅-L ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-L()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为23，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）2±【解析】（1）根据椭圆的离心率为22，短轴长为22222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得24132213APMkS AP d k ∆=⋅==+，从而可得结果. 【详解】（1）由题意，知2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+.()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==. 224113222121APMkS AP d k k ∆∴=⋅=⨯=++. AOMS ∆=Q，243213k k ∴=+，解得2k =±. 20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞.【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-； 由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <； 由()'0f x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()xf x x e k <+，得()3xx x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x Q >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0xg x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2xh x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =. 由()'0h x >，解得0ln2x <<；由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高三调研测试文科
俯视图左视图21主视图11（第5题）天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高三调研测试文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}02|2<--=x x x M ，{}11|<<-=x x N ，则A ．M 是N 的真子集B ．N 是M 的真子集C ．N M =D ．φ=N M 2．已知 i 为虚单位，复数i z 2321+-=，则=+||z z A ．i 2321-- B ．i 2321+- C ．i 2321+ D ．i 2321- 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间) , 0(∞+上单调递减的是A ．xy 1=B ．x e y -=C ．12+-=x y D ．||lg x y = 4．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为A ．1-B ．2C ．4D ．8 5．三视图如右图的几何体的体积为 A ．34B ．1C ．2D ．32 6．已知p ：k x ≥，q ：113<+x ．如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A ．) , 2[∞+ B ．) , 2(∞+ C ．) , 1[∞+ D ．]1 , (--∞7．向量a 、b 满足1| |=a ，2| |=b ，且 ) (a b a ⊥+，则a 与b 的夹角为A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01508．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2cosA ．54-B ．53-C ．53D ．54 9．在等差数列{}n a 中，621129+=a a ，则数列{}n a 的前11项和=11S第16题A ．132B ．66C ．48D ．2410．一条光线从点)3 , 2(--射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．35-或53-B ．23-或32-C ．45-或54-D ．34-或43- 11．已知椭圆C ：12222=+by a x （ ）0>>b a 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2=，则椭圆C 的离心率是A ．21 B ．31C ．22D ．2312．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=3 , 83103130, |log |)(23x x x x x x f ，若)()()()(d f c f b f a f ===，且d c b a <<<<0，则d c ab ++的值是A ．14B ．13C ．12D ．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知递减．．的等比数列{}n a 满足11=a ，25223-=a a ，则通项=n a ． 14．函数1ln )(+-=ax x x f 在] , 1[e e内有零点，则实数a 的取值范围为．15．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一个焦点，且双曲线的实轴长为2，则该双曲线的方程为． 16．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 对角线1BD 的三等分点，P 到直线1CC 的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，532S a a =⋅． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 的通项为nn S b 1=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数1)6cos(sin 4)(++=πx x x f ，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期；PABC DE 第19题⑵求)(x f 在区间]3, 4[ππ-上的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为侧棱PC 上一点．⑴若PC BE ⊥，求证：平面⊥BDE 平面PBC ； ⑵若//PA 平面BDE ，求证：E 是PC 的中点． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （ ）0>>b a 的焦点为1F 、2F ，短轴为21B B ，四边形2211B F B F 是边长为2的正方形．⑴求椭圆C 的方程；⑵过点)31 , 0(-P 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，证明：无论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点)1 , 0(D ．21．（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，0>x ．⑴证明：) , 0( , 21∞+∈∀x x ，2)()()2(2121x f x f x x f +≥+； ⑵若1>x 时，不等式mx m x x f ++->)1)(1()(恒成立，求常数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）已知向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP ，1||||||321===OP OP ． ⑴求证：321P P P ∆是正三角形；⑵试判断直线1OP 与直线32P P 的位置关系，并证明你的判断． 23．（本小题满分10分）已知α、β、γ是三个平面，a =βα ，b =γα ，c =γβ ． ⑴若O b a = ，求证：a 、b 、c 三线共点；⑵若b a //，试判断直线a 与直线c 的位置关系，并证明你的判断． 24．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1 l ：01543=-+y x ，2l 经过点O 且与 1l 垂直．⑴求直线 2l 的方程；⑵设1 l 、2l 、x 轴两两相交的交点为A 、B 、C ，试求ABC ∆内接圆的方程．参考答案一、选择题 BDCA BBCB ADAD 二、填空题 n-12，]1 , 0[（端点、开闭每个1分，全对5分），1322=-y x ，35三、解答题17．解：⑴设{}n a 的公差为d ，由已知得)23(5)23)(3(d d d +=++……2分解得2=d ，或23-=d （与题意“{}n a 是正项等差数列”不符，舍去）……4分， {}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n ……5分 ⑵由⑴得)2(2)(1+=+=n n a a n S n n ……6分 )211(21)2(11+-=+==n n n n S b n n ……8分)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=n n n n T n ……9分]2111211[21+-+-+=n n ……11分，)2)(1(4532+++=n n n n ……12分 18．解：⑴1)6sin sin 6cos(cos sin 4)(+-=ππx x x x f ……1分x x x x x 2cos 2sin 31sin 2cos sin 322+=+-=……3分)62sin(2π+=x ……5分)(x f 的最小正周期ππ==22T ……7分 ⑵当34ππ≤≤-x 时，65623πππ≤+≤-x ……10分（对1个端点给2分，全对给3分）)(x f 在区间]3, 4[ππ-上的最大值2=M ，最小值3-=m ……12分19．证明：⑴连接AC ，因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥……1分 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥……2分因为A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ……4分，PC BD ⊥……5分因为PC BE ⊥，B BE BD = ，所以⊥PC 平面BDE ……6分 因为⊂PC 平面PBC ，所以平面⊥BDE 平面PBC ……8分⑵设O BD AC = ，连接OE ，因为ABCD 为菱形，所以OC AO =……9分 因为//PA 平面BDF ，平面 PAC 平面OE BDE =，所以OE PA //……11分所以EC PE =，E 是PC 的中点……12分 20．⑴依题意，c b =，222==+a c b ……2分，1=b ……3分椭圆C 的方程为1222=+y x ……4分 ⑵过点)31 , 0(-P 且斜率为k 的直线的方程为kx y =+31……5分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+kx y y x 311222得01612)918(22=--+kx x k ……6分 设) , (11y x A 、) , (22y x B ，则91812221+=+k k x x ，91816221+-=⋅k x x ……7分 )1 , (11y x --=，)1 , (22y x --= )1)(1(2121y y x x --+=⋅……8分916)(34)1(21212++-+=x x k x x k ……9分 09169181234918)1(16222=++⨯-++-=k k k k k ……10分所以⊥，090=∠ADB ……11分所以D 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆恒过点)1 , 0(D ……12分 21．⑴证明：2ln )2(2121x x x x f +=+，212121ln )ln (ln 212)()(x x x x x f x f =+=+ ……2分) , 0( , 21∞+∈∀x x ，022121>≥+x x x x ……3分 因为x x f ln )(=在区间) , 0(∞+上是增函数，所以2)()()2(2121x f x f x x f +≥+ ……4分⑵设mx m x x m x m x x f x g ++--=++--=)1)(1(ln )1)(1()()(，则 2222/)()1)(()()1(1)(m x x x m x m x m x x g +--=++-=……5分 解0)(/=x g 得2m x =或1=x ……6分若12≤m ，则1>∀x ，0)()1)(()(22/>+--=m x x x m x x g ……8分，1>∀x ，0)1()(=>g x g ，mx m x x f ++->)1)(1()(……9分若12>m ，则当) , 1(2m x ∈时，0)()1)(()(22/<+--=m x x x m x x g ……10分，从而0)1()(=<g x g ，mx m x x f ++-<)1)(1()(……11分所以，12≤m ，m 的取值范围为]1 , 1[-……12分．22. 证明：⑴（方法一）∵0321=++OP OP ，∴123OP OP OP +=-∴22123()OP OP OP +=，∴222112232OP OP OP OP OP +⋅+=……1分∵1||||||321===OP OP OP ，∴2221231OP OP OP ===，∴1212OP OP ⋅=-……3分 32||||212122212221=+⋅-=-=OP OP OP P P ……5分∴3||21=P P ，同理3||||32231==P P P P，∴321P P P ∆是正三角形……6分（方法二）设111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y∵1||||||321===OP OP ，∴221122222233111x y x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩……1分 ∵0321=++OP OP OP ，∴12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩∴123123x x x y y y +=-⎧⎨+=-⎩……2分∴2222121233()()x x y y x y +++=+……3分∴222222112212123322x y x y x x y y x y +++++=+，∴1212221x x y y +=-……4分∴12PP =12PP ==1323PP P P =，∴121323PP PP P P ==，∴321P P P ∆是正三角形……6分 ⑵123OP P P ⊥……7分证明：∵0321=++OP OP OP ，∴123OP OP OP =--∴22123132233223()()()OP P P OP OP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=-=---=-……9分 ∵1||||||321===OP OP ，2223OP OP =，∴1230OP P P ⋅=，123OP P P ⊥---10分 23. 证明：⑴∵O b a = ，∴O a O b ∈∈,∵a =βα ，b =γα ，∴a b βγ⊂⊂，∴O O βγ∈∈,，即O βγ=……3分又∵c =γβ ，∴O c ∈，即,O a O b O c ∈∈∈,，∴a 、b 、c 三线共点------5分⑵//a c ……6分∵a =βα ，b =γα ，b a //，∴,a b γγ⊄⊂……8分 又∵b a //，∴//a γ……9分 又∵,a c ββγ⊂=，∴//a c ……10分24. ⑴直线 1l 的斜率为……1分，∵，∴直线 2l 的斜率……2分， 又∵2l 经过点O ，∴直线 2l 的方程为，或……3分 ⑵设ABC ∆内接圆的圆心为，依题意，圆的半径为……4分……6分，由图可知，圆心在直线1 l 的左下方，在2l 的右下方，所以……8分，解得……9分，ABC ∆内接圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ……10分．创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校。
天津市部分区2020届高三质量调查语文试题(一) Word版含解析
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（一）语文试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项:1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共11小题，每小题3分，共33分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、（9分）阅读下面的一段文字，完成下面小题。
中国是诗歌的国度，从先秦《诗经》《楚辞》到汉魏古诗再到唐诗宋词，高潮迭起，名家辈出，而唐诗就是诗歌长河中最璀璨的明珠。
它（）“初、盛、中、晚”四个时期，每一时期都涌现了富有才情的诗人和诗作，大唐盛世所激发的宏大气象在盛唐的诗歌中得到了完美的体现，“诗仙”和“诗圣”的伟大成就后世鲜有能及，因此，元明清三代的诗坛多以“诗必盛唐”相号召。
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明初高棅编选的《唐诗品汇》首开以“初、盛、中、晚”四分期论唐诗的先河，此后胡应麟的《诗薮》、胡震亨的《唐音葵签》等论著对唐诗人、诗作多有（）。
至清代蘅塘退士编撰的《唐诗三百首》则对唐诗的学习与普及起了极大的推进作用。
民间谚语有“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”的说法，足见唐诗的魅力之大。
古代的唐诗选本除《唐诗三百首》外至今多不流行，在20世纪80年代初的鉴赏热中，《唐诗鉴赏辞典》的编纂为民众欣赏唐诗魅力提供了极大的方便。
2011年，应中国青年出版社《名家品经典》丛书之约，霍松林先生又编成《唐诗鉴赏举隅》《宋诗鉴赏举隅》两部书。
《唐诗鉴赏举隅》共选唐代作家36人，作品86首。
其中以“李杜”“元白”的作品为最多。
先生的鉴赏文章常常能将深邃的文学理论与敏锐的文学感悟相结合，情感表达与写作技巧一并解析，既引经据典，又（），让人爱不释手。
天津市部分区2020年高三质量调查试卷(一)数学试题参考答案
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（一）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)10．12,2,4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11．80- 12．213．280x y -+= 14．23；231215．(](),30,-∞-+∞三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）由题设及正弦定理，得sin sinsin sin 2A BA C A +=．…………………1分 在ABC ∆中，因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A BC +=．………………………2分 由于+=A B C -π，从而sincos 22A B C+=， 所以cos2sin cos 222=C C C．………………………………………………………4分 在ABC ∆中，因为022C π<<，所以cos 02C ≠，所以1sin 22C =， 所以26=C π，即3C π=． ……………………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由于3c C π==， 则由余弦定理，得2272cos3a b ab π=+-，即227a b ab +-=． ……………8分 因为23a b =，所以22233722b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b =，从而3a =． …………………………………………………………10分在ABC ∆中，由正弦定理，得2sinsin sin 7b CB c⨯====π因为ABC ∆中，2b c =<=，且3C π=，所以03B π<<，所以cos 7===B ． ……………………………12分 所以()sin sin cos cos sin C B C B C B -=-．1272714=-⨯=．……………………………14分 17．解：因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以111111,⊥⊥A B BB BB B C ．又1111⊥A B B C ，从而以点1B 为坐标原点，分别以向量111,B B BC11B A 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系1-B xyz ． ……1分不妨设12=BB ，则有()()10,0,0,2,0,0,B B()()()10,0,2,1,2,0,1,0,1A M N ，所以()0,2,1=-MN ． ………………………2分（1）证明：【方法一】易知，平面ABC 的法向量为()12,0,0=B B ．由于10⋅=B B MN ，所以1⊥B B MN ，即1⊥BB MN ． …………………4分 又因为⊄MN 平面ABC ，所以MN //平面ABC ．………………………5分 【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述），若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：【方法二】取1B B 的中点Q ,连接MQ ．证明平面MNQ //平面ABC ，进而证得MN //平面ABC ．【方法三】取AB 的中点R ,连接,CR NR ．先证明MN //CR ,进而证得MN //平 面ABC ．（2）由题意，知()0,2,1=-MN ,()1,2,0=-BM ,()11,2,0=B M ． 设平面MNB 的法向量为(),,=m x y z ，则有0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m MN m BM 即20,20.-+=⎧⎨-+=⎩y z x y 令1=y ，得()2,1,2=m ． ……………………………………………………7分设平面1MNB 的法向量为()111,,=n x y z ，则有10,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n MN n B M 即111120,20.-+=⎧⎨+=⎩y z x y 令11=y ，得()2,1,2=-n ．……………………………………………………8分所以1,3,3⋅===m n m n ，所以1cos ,9⋅==m n m n m n， ………………10分 设二面角1--B MN B 的大小为θ，所以45sin ,9m n θ==．故所求二面角1--B MN B ………………………………11分 （3）设点()0,,0P t （02t ≤≤），则()1,2,0PM t =-, 且有()2,12,3PM n t PM t n ⋅=-=+-=． 设直线PM 与平面1MNB 所成角为θ，则有2sin cos ,15PM n θ==215=， ………………12分 整理，得22116200t t +-=，解得23t =或107t =-（舍去）．…………14分 所以111123B P tB C ==． …………………………………………………………15分 18．解：（1）易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为)，准线方程x =所以椭圆E 的右焦点)F，左焦点为()'F ． ……………………2分设椭圆E 的半焦距为c ,依题意得222222,,c b PQ a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == ………………………………………5分 故所求椭圆的方程为22142x y +=． ………………………………………………6分 （2）【方法一】由题意，得E 的左顶点()2,0A -． 又知直线l 的斜率存在，不妨设为k （0k≠），点(),B B B x y , 则直线AB 方程为()2y k x =+．………………………………………………7分联立方程组()222,1.42y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩+消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=， （※）………………9分 易得()()()2222842184160kk k ∆=-+-=>，所以点2,B x -为方程（※）的实数根，从而22842=21B k x k --⨯+，所以222421B k x k -=+． 所以()222244222121B B k ky k x k k k ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭． …………………………11分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点(),B B M x y --,即222244,2121k k M k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．………………………12分 因为1AMk =,所以2224211242+21k k k k +=--+，解得12k =-． ………………………14分 故所求直线l 的方程为()122y x =-+，即220x y ++=． …………………15分 【方法二】由题意，得E 的左顶点()2,0A -，直线AM 的斜率为1，所以直线AM 的方程为2y x =+． ……………………………………………7分联立方程组222,1.42y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得23840x x ++=． 解得2x =-，或23x =-．………………………………………………………10分 所以点M 的横坐标23M x =-（因为2-为点A 的横坐标）， 所以点M 的纵坐标43M y =，从而点24,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………12分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以12AB k =-．………………………………14分所以直线AB 的方程为()122y x =-+,即所求直线l 的方程为220x y ++=．…………………………………………15分 19．解：（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由4328,2a a a ==+，得312118,2a q a q a q ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去1a 并整理，得2440q q -+=，………………………2分 解得2q =,从而11a =．所以12n n a -=； ……………………………………………………………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，由12b a =,265b b a +=，得12,4616b d =⎧⎨+=⎩，…………………………………………………………………5分解得12,2b d ==．所以()2122n b n n =+-⨯=． …………………………………………………6分（2）由（1）及题意，得221,212,n n n n m c n n m ⎧⋅=-=⎨+=⎩，，其中m N *∈． ………………8分①当n 为奇数时，不妨设数列{}2nn ⋅的前n 项和为S奇，所以13521n S c c c c -=++++奇，即()3521123252212n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯奇， …………………………9分所以()()35721214123252232212n n S n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯奇．上述两式相减，得()35212132222222212n n S n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯奇()()4121212145610221221433n n n n n -++--=+--⨯=⨯--， …………11分 所以S =奇216510299n n +-⨯+． ………………………………………………12分 ②当n 为偶数时，易得，数列{}2+1n 前n 项和为()()2541=591341232n n S n n n ++⎡⎤⎣⎦+++++==+偶．………………14分设{C n }的前2n 项和为T 2n 则2n T S S =+奇偶212651022399n n n n +-=⨯+++．………………………………………15分20．解：（1）因为()ln 1f x x m x =--（()0,x ∈+∞），所以()1mf x x'=-（()0,x ∈+∞）． ……………………………………………1分 因为1x =是()f x 的极值点，所以()10f '=，即101m-=，所以1m =． …………………………………………………………2分 此时()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-'=-=，（()0,x ∈+∞）． 易得，当01x <<时， ()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间()0,1上单调递减；在区间()1,+∞上单调递增，………4分 所以函数()f x 在1x =处的极值A 是最小值．…………………………………5分（2）由（1）知，1m =，所以()1ln 1x g x e x -=--，且()0,x ∈+∞． 所以()11x g x ex-'=-． ……………………………………………………………6分 设()11x h x ex -=-（()0,x ∈+∞），则()121x h x e x-'=+． ……………………7分 显然，当0x >时，()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10h =．………………………9分 所以,当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<； 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>．所以，函数()g x 的单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞． ………11分 （3）证明：由（1）可知,当1x >时，()()10f x f >=，即1ln x x ->．………………………………12分不妨令112n x =+（n ∈N *）， 则有11ln 122⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n （n ∈N *）．……………………………………………13分 所以12121111111ln 1ln 1ln 1112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n ， 即2111ln 1111ln 222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n e ．…………………………………15分 因为函数ln =y x 在区间()1,+∞上单调递增，所以2111111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n e （得证）． …………………………………16分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=消费/元（第5题）8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜( )a b ∈R ，为奇函数，则()f a b +的值为▲．【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cos C ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分 （2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得sin C ＝2sin A cos B ，…………………………………………………………………………8分 因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD 1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB 1⊥AC ．………………………………………………………………………3分（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． ………………………………………………4分 （2）将(0)y kx m k =+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m ++-=， 整理，得222(14)8480k x mkx m +++-=．① 由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =． …………………………………………………………………8分 因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A (2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ =α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ = t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT =α，O 1T =1， 所以O 1P 1sin =α． 又OO 1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中，（第18题）l 111sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ =QT = t ，O 1T =1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以1OP TP OQ TO =，即OP t = 化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ．列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km 2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t=OPQ的面积S的最小值为km2）．…………16分19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a=+∈R．（1）求()f x的单调区间；（2）试求()f x的零点个数，并证明你的结论．【解】（1）由函数f(x)＝a ln x(a∈R)，得f ′(x)2)x+．…………………………2分因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+∞)，单调减区间为(0，e-2)．……………………5分（2）由（1）可知，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1．………………………………………………6分（i）当a＞2e-1时，由f(x)≥f(e-2)＝a－2e-1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分（ii）当a＝2e-1时，因f(x)在(e-2，+∞)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x∈(0，e-2)∪(e-2，+∞)时，f(x)＞f(e-2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分（iii）当a＜2e-1时，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1＜0．①a≤0时，因为当x∈(0，e-2]时，f(x)＝a ln x＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e-2，+∞)单调递增，且f(e-2)＝a－2e-1＜0，又e-2a∈(e-2，+∞)，且f(e-2a)＝a(1－2e-a)>0，此时，函数f(x)在(e-2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分②0＜a＜2e-1时，因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4e a -∈(0，e -2)，且f ( )4e a -＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1； 当0＜a ＜2e -1时，f (x )的零点个数为2．………………………………………16分 20．(本小题满分16分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． （1）已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n －1．①求{a n }的通项公式；②试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z ()n *∈N ． 求证：{a n }为“等比源数列”．【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．………………………………………………4分 ②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ．……………………………………………………7分 所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n －m )［2a m +(n －m )d ］＝a m (k －m )成立．…13分 当n ＝a m +m ，k ＝2a m +a m d +m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列． 所以，数列{a n }为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． ABCDEOl（第21_A 题）【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12．所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分 55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α=4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，， 所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（ ）*．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（ ）*成立； （ii ）假设当n k =时，等式（ ）*成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（ ）*成立． 综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分。
天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷及答案解析
天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集}33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )A.{}1B.{}1,1,2-C.{}2D.{}0,1,22.“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）A.4B.5C.2D.34.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线C 的离心率为2，AOB ，O 为坐标原点，则抛物线2C 的焦点坐标为（ ）.A.)B.()1,0C.,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.346.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A.函数()f x 的最小正周期是2π B.函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C.函数()f x 的图象关于16x π=对称D.函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1,x 2,(x 1<x 2)，都有f(x 1)x1>f(x 2)x 2，记a =25f(0.22)，b =f(1)，c =−log 53f(log 135)，则a,b,c 大小关系为（ ） A. c>b >a B. b >c >a C. a >b >c D. a >c >b8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A.378B.306C.268D.1989.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且60,POQ AB ∠=是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+（R λ∈），则CA CB ⋅的最小值为（ ） A.-1B.-2C.-3D.-4第II 卷（非选择题）二、新添加的题型10.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y+=,则此时2x y +=__,233x y x y++的最小值为__．11.已知函数()[]()()11,2,022,0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()3log 2563f =_______；若方程()f x x a =+在区间[]2,4-有三个不等实根，则实数1a的取值范围为______.三、填空题12.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a ii+=+__．13.若8(x +的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．14.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．15.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.四、解答题、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点，记2QF M △的面积为1S ，2OF N △的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈ （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若11312()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．20.已知函数()xax b f x e x+＝，a ，b R ∈，且0a >. （1）若函数()f x 在1x =-处取得极值1e，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 的单调区间；（3）设()()()1xg x a x e f x -=-，()g x '为()g x 的导函数.若存在()01,x ∈∞＋，使()()000g x g x '+=成立，求ba的取值范围.参考答案1.B【解析】1.先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I AC B ．因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-， 故()I AC B ={}1,1,2-．故选：B ． 2.C【解析】2.分别从充分性和必要性入手进行分析，最后作出判断即可. 充分性：当3k παπ=+（k Z ∈）时，66k ππαπ-=+（k Z ∈），所以tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，充分性成立； 必要性：由tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得66k ππαπ-=+（k Z ∈），即3k παπ=+（k Z ∈），必要性成立；所以“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C . 3.C【解析】3.根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增， 且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C.4.B【解析】4.求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB ∆p 的值，可得所求焦点坐标．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线方程是b y x a =±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±， 又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a = A ，B两点的纵坐标分别是=y ， 又AOB ∆=，得2p =，所以抛物线2C 的焦点坐标为(1,0)， 故选： B 5.B【解析】5.由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝611，P(ξ＝1)＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝23212C C ＝122，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.B【解析】6.先将()2221fx sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为16f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则()fx 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误；D 选项，设()g x x ，则()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：B 7.C【解析】7. 构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，且a= g (0.22)，b = g (1)，c =g (log 35)，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，a =25f(0.22) =f(0.22)0.2=g (0.22)，b =f(1) =f (1)1=g (1)，c =−log 53f(log 135) =f (log 35)log 35=g (log 35)，∵0.22<1<log 35，∴a >b >c .故选：C . 8.D【解析】8.分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D 9.C【解析】9.根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-2134[3()]24λ=--,结合二次函数的性质，即可求解.因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅, 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径， 所以0OA OB +=，22(1)4OA OB ⋅=⨯⨯-=-，又60POQ ∠=，所以224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-()()2222121?4OP OP OQ OQ λλλλ=-+-+-222134(331)44(33)4[3()]24λλλλλ=-+-=-=--,所以当12λ=时，2133[3()]244λ--=-，所以CA CB ⋅的最小值为34()34⨯-=-. 故选：C. 10.223+【解析】10.(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x x y x y++=++,再利用基本不等式求最小值即可. (1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y+=,所以()224222222log 33log3log 3log 3x yx y +⇒=⨯=,所以22x y +=.(2)因为22x y +=,故2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+2=+ 当且仅当23y x x y =,22x y +=,即62x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.所以最小值为2+故答案为：2；2+ 11.81 {}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】11.（1）利用分段函数解析式求出()3f ，再根据对数、指数的运算法则计算可得. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围. 解：由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=， 所以()34log 256log 256433381f ===.作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置， 所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a=， 故答案为：81；{}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】12.利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-，所以20201|||1|1i i i +=-=+. 13.﹣2【解析】13.写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ．由题意展开式通项公式为4883188r rrr r rr T C xa C x --+==，令4843r -=，3r =，∴4x 系数为338448a C =-，解得2a =-．故答案为：2-．14.【解析】14.过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积， 过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =，由图知球半径为OC ==，半球体积为332233V OC ππ=⋅=⨯=．故答案为：．15.6-或2.【解析】15.由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距离d =，则22213+=，求出实数a 的值.因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==.又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象 在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.16.（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =ii ）sin(2)B C -=【解析】16.（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b =，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos 5B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=17.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π【解析】17.证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.（Ⅰ）证明：四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又·0AF CB =．AF ⊂/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，，， ·20·440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos =4n CD n CDα⋅==⨯⋅因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为4π． （Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为 得(01,1)n=， (2,2,0)EF =-，设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1111sin cos ,2222EF n EF nEF n θ=〈〉===cos θ∴==因此，直线EF 与平面ADE 18.（1）22142x y +=；（2.【解析】18.（1）由离心率可得222a b =，再根据条件求出b =a ，写出椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my=+：，联立椭圆方程，根据弦长公式求出()22412m MN m +=+，再求出点O 到直线MN 的距离d =，即可表达出OMN 的面积，进而求出最大值.（1）由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=，且与直线20x y -+=相切，所以b ==2224a b ==，故椭圆C 的标准方程为22142x y+=.（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：， 则直线MN x my =：由22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22220m y ++-=，1222y y m +=-+，12222y y m=-+. ∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ ， 因为MN OQ ∥，所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积，12OMNS S S S =+=，因为点O到直线MN x my =+：d =，所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣t =，则()2211m t t =-≥，211S t t t==++，因为12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，也即0m =时取等号，所以当0m =时，S. 19.（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112n nT n =-+；（ii ）3[8，1)2．【解析】19.（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，32114a a =+，可得121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得21120q q --=， 解得1q =-（舍)或 12q =，所以数列{}n a 通项公式为12n n a =． 设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =+，45712a b b =+，即1128831616b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，1d =，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11(1)12211212n n nS -==--，所以211111(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++-+-+====-+++， 所以{}n c 的前n 项和122231*********()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．又n R 在*n N ∈上是递增的，∴13182n R R =<． 所以n R 的取值范围为3[8，1)2．20.（1）()()210x x f x e x x +=≠；（2）调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,-+∞.【解析】20.（1）先求导函数，再由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ，得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩，代入求解参数a ，b ，（2）由（1）可得()f x ，再求出函数的导函数，利用令()0f x '和()0f x '<求解函数的单调区间；（3）将()f x 代入()g x 化简，再求()g x '，然后得00()()g x g x +'，令其为0，得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)-+∞上的值域，利用导数求解．解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.()22xax bx b f x e x +-'=，由题知()()1011f f e ⎧-=⎪⎨-'=⎪⎩即()()112011a b e a b e e --⎧-=⎪⎨-+⋅=⎪-⎩解得2a =，1b =，所以函数()()210xx f x e x x+=≠. （2）()()()2212121x xx x x x f x e e x x +-+-'=⋅=⋅ 令()0f x '>得1x <-或12x >， 令()0f x '<得10x -<<或102x <<. 所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()2x b g x ax a e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0a >()2x b b g x ax a e x x ⎛⎫'∴=+-- ⎪⎝⎭22221()()23(23)x x xxxxe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--，由条件存在0(1,)x ∈+∞，使00()()0g x g x +'=成立，得22230x xxxxe e axe ae bx ---=，对(1,)x ∈+∞成立，又0x e >221230x ax a bx-∴--=对(1,)x ∈+∞成立， 化简得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域，求导得222(463)()(21)x x x h x x -+'=-，令2463y x x =-+，为二次函数，图象开口向上，△120=-<，则24630x x -+>，又0x >，则()0h x '>，()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，值域为(1,)-+∞，b a 的取值范围是(1,)-+∞．所以。
天津市部分区2020届高三毕业班下学期质量调查(一)语文答案解析
天津市部分区2020届高三毕业班下学期质量调查(一) 语文试卷参考答案解析
1．A（经历：意为亲身见过、做过或遭遇过的事；历经：多次或者长时间经历。
阐发：阐明并发挥。
阐明：把深奥的道理讲明白。
深入浅出：指言论或文章的观点主题意义深刻，但在语言文字的表达方式上却浅显易懂。
浅显易懂：道理或寓意浅显，容易理解、明白）
2．B（此句的前面紧承“元明清……”，后面陈述的是明代学唐诗的成就、成果，因而B 项与前后语句最连贯）
3．C（“杜樊川”是杜牧的号）
4．D（“各城市间的科技发展指数差距”是很大的）
5．C（A应主要是“在基础研究和应用基础研究中阐明自然现象、特征和规律,做出重大科学发现”。
B因果推论片面,逻辑错误。
D“广州某公司很崇洋”概括错误,主要还是国外的高端工业机器人更好）
6．A（“历史上”不当）
7．C(伸：诉说,诉说冤情以求昭雪)
8．D（A副词,才/副词,竟然；B介词,在/副词,向；C介词,因为/介词,用。
D皆为代词,这）9．C（尝从父祯官江陵,江陵王奎文,明性命义理之学,本往质所得,造诣日深）
10．C（①有文采,②正直,③正直,④正直,⑤和善、担当,⑥清廉谨慎）
11．B（没有得到皇帝的答复）
12．（1）依据法律,民间被盗案件,超过期限没有抓获罪犯尚且治罪。
（2分,关键点：在、不获各1分）
（2）朱甲向中书省哭泣告状,但旭灭杰包庇不过问。
（2分,关键点：介宾结构后置、问
1。
2024届天津市部分区高三质量调查(一)语文试卷(原卷版)
天津市部分区2024年高三质量调查试卷（一）语文本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共11小题，每小题3分，共33分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、（9分）阅读下面的一段文字，完成下面小题。
随着生成式人工智能的发展，数字人正在成为电商界的新宠。
数字人虚拟主播拥有（）的面容、丰富的表情、悦耳的声音，大有替代真人主播的架势。
数字人能24小时不间断直播，帮助商家（）零散时段的流量，部分场景下的带货数据可圈可点。
从数字前台、培训讲师到带货主播，虚拟数字人化身各种角色，承担起真人主播曾担负的功能。
由于专业人才缺口较大的原因，数字人引入电商直播其实并不令人意外。
毕竟，相较于真人主播，数字人孵化成本较低、工作时长不限、“塌房”风险更小，的确可以在一定程度上替代真人主播，这也是各大主流短视频和电商平台纷纷布局数字人的重要原因。
但据此就得出“数字人吃上了主播饭”的结论还为时尚早。
对消费者来说，仿真带来的新鲜感或许可以引起一时的（），但永远无法代替产品的真实体验。
数字人______……这些客观存在的痛点都指向一个问题，就是虚拟主播缺乏真实感、交互性不足，影响了买家的消费体验。
（改编自云南网《“数字人”暂难取代真人主播》）1.依次填入上文三个括号处的词语，最贴切的一项是（）A.栩栩如生捕获关注B.惟妙惟肖捕获注意C.栩栩如生捕捉关注D.惟妙惟肖捕捉注意2.将下列短语依次填入上文横线处，衔接自然的一项是（）A.音画不同步、问答反馈慢、口型对不上B.口型对不上、音画不同步、问答反馈慢C.问答反馈慢、音画不同步、口型对不上D.问答反馈慢、口型对不上、音画不同步3.上文画线句有语病，下列修改最恰当的一项是（）A.由于专业人才缺口较大的原因，电商直播引入数字人其实并不令人意外。
2020年2020届天津市部分区高三教学质量检测语文试卷(一)及解析
2020年2020届天津市部分区高三教学质量检测语文试卷（一）★祝考试顺利★(解析版)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分,共150分,考试用时150分钟。
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项:1．每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2．本卷共11小题,每小题3分,共33分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、（9分）阅读下面的一段文字,完成下面小题。
中国是诗歌的国度,从先秦《诗经》《楚辞》到汉魏古诗再到唐诗宋词,高潮迭起,名家辈出,而唐诗就是诗歌长河中最璀璨的明珠。
它（）“初、盛、中、晚”四个时期,每一时期都涌现了富有才情的诗人和诗作,大唐盛世所激发的宏大气象在盛唐的诗歌中得到了完美的体现,“诗仙”和“诗圣”的伟大成就后世鲜有能及,因此,元明清三代的诗坛多以“诗必盛唐”相号召。
______________。
明初高棅编选的《唐诗品汇》首开以“初、盛、中、晚”四分期论唐诗的先河,此后胡应麟的《诗薮》、胡震亨的《唐音葵签》等论著对唐诗人、诗作多有（）。
至清代蘅塘退士编撰的《唐诗三百首》则对唐诗的学习与普及起了极大的推进作用。
民间谚语有“熟读唐诗三百首,不会吟诗也会吟”的说法,足见唐诗的魅力之大。
古代的唐诗选本除《唐诗三百首》外至今多不流行,在20世纪80年代初的鉴赏热中,《唐诗鉴赏辞典》的编纂为民众欣赏唐诗魅力提供了极大的方便。
2011年,应中国青年出版社《名家品经典》丛书之约,霍松林先生又编成《唐诗鉴赏举隅》《宋诗鉴赏举隅》两部书。
《唐诗鉴赏举隅》共选唐代作家36人,作品86首。
其中以“李杜”“元白”的作品为最多。
先生的鉴赏文章常常能将深邃的文学理论与敏锐的文学感悟相结合,情感表达与写作技巧一并解析,既引经据典,又（）,让人爱不释手。
天津市河西区2020届高三下学期总复习质量调查(一)数学试题(含答案)
天津市河西区2020届高三下学期总复习质量调查（一）数学试题第I 卷参考公式:·如果事件A,B 互斥,那么P(A ∪B)=P(A)+P(B).·如果事件A,B 相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).·圆锥的体积公式1,3V Sh =其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高. ·球的体积公式34,3V R π=其中R 表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M={x ∈Z |-2<x<4},集合2{|230},N x x x =−−<则M ∩N=(A)(-2,1) (B)(-1,3) (C){-1,0} (D){0,1,2}(2)命题p:“n ∃∈N ,则22n n >”的否定是2(),2n A n n ∀∈>N2(),2n B n n ∃∈≤N ()2 ,2n C n n ∀∈≤N2(),2n D n n ∀∈<N (3)共享单车是指由企业在校园､公交站点､商业区､公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注｡某部门为了对该市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),……[90,100]分成5组,根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示),计算a,b,x,y 的值分别为(A)16,0.04, 0.032, 0.004 (B)16, 0.4, 0.032, 0.004 (C)16, 0.04, 0.32, 0.004 (D)12, 0.04,0.032, 0.04 (4)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足23sin 2sin sin ,cos C A B C=且,3A π=b=6,则c= (A)2(B)3 (C)4 (D)6(5)已知α∈(0,π)，sin cos 3αα+=则cos2α=()A −(B()C −()D (6)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,1与C 交于A ､B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为(A)2 (B)3(C()D(7)已知定义域为R 的函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,函数f(x+2)是偶函数,若0.6(0.2),a f =() 23b f log π=，113()n c f e −=,e 为自然对数的底数,则a,b,c 的大小关系是(A)a>b>c(B)a>c>b (C)c>a>b (D)b>c>a (8)已知函数()sin()(0,))f x x x ωϕωϕωπϕ=++><的最小正周期为π,f(x)的图象关于y 轴对称,且在区间[0,]4π上单调递增,则函数()(2)g x cos x ωϕ=+在区间[0,]2π上的值域为()[A (B)[-1,2] (C)[-2,1]()[D(9)已知函数ln ,1()1(2)(),1x x f x x x a x e≥⎧⎪=⎨+−<⎪⎩(a 为常数,e 为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a 的取值范围是()33A a −−<<−+(B)a<-2或233a −+<()3C a −+()3D a <−−233a −+<第II 卷二｡填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分｡(10)设复数351i z i −=−(i 是虚数单位),则z 的共轭复数z =___. (11)已知27(1)(0)ax a −>的展开式中第6项的系数为-189,则展开式中各项的系数和为____.(12)已知圆锥的高为1,体积为2,3π则以该圆锥的母线为半径的球的体积为___. (13)已知圆C 的圆心在第一象限,且在直线y=2x 上,圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切,则圆C 的方程为__.(14)若实数x ､y 满足x>y>0,且22log log 2,x y +=则21x y +的最小值为___;2()x y x y −+的最大值为___.(15)在△ABC中,3760,||2,2,||,3BAC AC BD DC AD︒∠====则||AB=___.设(),AE AC ABλλ=−∈R且4,AD AE⋅=,则λ的值为___.三解答题:本大题共5小题,共75分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡(16)(本小题满分14分)近年来,随着全球石油资源紧张､大气污染日益严重和电池技术的提高,电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向｡为了降低对大气的污染和能源的消耗,某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B,并在黄金周期间同时投放市场｡为了了解这两款车型在黄金周的销售情况,制造商随机调查了5家汽车4S店的销量(单位:台),得到下表:4S店甲乙丙丁戊车型A 6 6 13 8 1l车型B 12 9 13 6 4(I)若从甲、乙两家,求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率;(II)现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动,用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.(17)(本小题满分15分)如图所示的几何体P-ABCDE中,△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形,AB⊥AE,AB//CE,AE//CD,CD=CE=2AB=4,M为PD的中点.(I)求证:CE⊥PE;(II)求二面角M-CE-D的大小;(II)设N为线段PE上的动点,使得平面ABN//平面MCE,求线段AN的长.(18)(本小题满分15分)设{}n a 是各项均为正数的等差数列,131,1a a =+是2a 和8a 的等比中项,{}n b 的前n 项和为*,22(.)n n n b S n S −=∈N(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II)设数列{}n c 的通项公式2*,,.,(),n n n a n c n b n +⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数 (i)求数列{}n c 的前2n+1项和21n S +；(ii)求21)*(1()in i i i a n c −=∈∑N .(19)(本小题满分15分)设椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 离心率为1,2过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ､B(不与左右顶点重合),连结22,F A F B 、已知△2ABF 周长为8.(I)求椭圆C 的方程;(II)若直线l 的斜率为1,求△AOB 的面积;(II)设2122,F F F A F B λμ=+且119,2λμ+=求直线l 的方程.(20)(本小题满分16分)已知函数2()x f x ax e =(a ∈R ,e 为自然对数的底数).(I)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为6e,求实数a 的值.(II)当a ≠0时,讨论函数f(x)的单调性;(III)若关于x 的不等式()1x x f x xe e ++≥在区间(-∞,0]上恒成立,求实数a 的取值范围.。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}2,3,4,5 2.已知向量()1,2a =，()23,2a b +=，则b =（ ） A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()5,6 D ．()2,0 3.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．2155i -- B ．2155i -+ C ．1255i - D ．1255i + 4.从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．235.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6.已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（ ）R x ∈，下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数 C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12n - C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ） A ． B ． C ．D ．10.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．12.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，3z x y m =++的最大值为4，则m 的值为．14.已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为． 15.已知正项等比数列{}n a 的公比2q =，若存在两项m a ，n a 14m n a a a =，则14m n+的最小值为．16.下列有关命题中，正确命题的序号是．（1）命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”． （2）命题“，”的否定是“，”．（3）命题“若，则”的逆否命题为假命题． （4）若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 在中，角、、所对的边分别是、、，，，．（I ）求的值； （II ）求的面积．18.（本小题满分12分） 已知是公差的等差数列，，，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，．（I ）求数列，的通项公式；（II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图3所示． （I ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（II ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率． 20.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离． 21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x a x x =-+-． （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5所示，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD//AP ，D A ，C B 相交于点E ，F 为C E 上一点，且2D F CE =E ⋅E ．（I ）求证：C F E⋅EB =E ⋅EP ；（II ）若C :3:2E BE =，D 3E =，F 2E =，求PA 的长． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．（其中0ρ≥，02θπ≤<） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式211x x a ---≤． （I ）当3a =时，求不等式的解集； （II ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBCABDACBCDC提示： 11.()()()712-7-7log 3f f +==-=-，()()()()()3127333log 2g f g f f +⎡-⎤=-=-=-=-=-⎣⎦故选D.12.()2f x x =在[10]-，单调递减，如图所示，易得1a >， 依题意得log 31log 51a a <⎧⎨>⎩，∴35a <<，故选 C..二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 13. -4 14. 31yx =+ 15. 3216.⑷三、解答题：本大题共6小题，满分70解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由且，得，……3分又由正弦定理：得：．……6分（Ⅱ）由余弦定理：得：，即，解得或（舍去），………………4分所以，……………………6分18．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列即即①……………1分又由46a a +=26得②……………………2分由①②解得……………………3分即，即；………………5分又q 为正数，……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知……………………1分……………………2分……………………3分……………………6分19．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解:（Ⅰ）设第组的频率为，；………………3分第组的频率为…………………………4分 所以被采访人恰好在第组或第组的概率为………………………6分（Ⅱ）设第组的频数，则……………………1分记第组中的男性为，女性为， 随机抽取名群众的基本事件是：，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共种 ……………………4分其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共种………5分所以至少有两名女性的概率为………………………………………………6分20．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分） 解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥，……4分 又从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分 （Ⅱ）过点Ａ作1AH AC ⊥于点H ，由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离．……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，即点A 到平面1A MC 的距离为……6分21．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）由题知……………………1分当时，由得且，……………2分①当时，所以)(x f 在上单调递增在上单调递减………………3分②当1->a 时，)(x f 在上单调递增； 在上上单调递减………4分③当时，)(x f 在上单调递增……………5分④当时，)(x f 在上单调递增； 在上上单调递减……………………6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证在），（∞+0上恒成立,只需证ln ln 1xx x a x-<--+在），（∞+0上恒成立,……………………1分 令a xxx g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（， 因为xxx x F -=-=111)(', 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F ,……………2分由a x xx g -+-=1ln )(得21ln ()x g x x -'=-=2ln 1(0)x x x->, 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增, ………………3分所以a e e g x g -+-=≥11)()(,……………………4分 又1<a ，1111->->-+-∴ea e ，即min max )()(x g x F <,……………………5分所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立, 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………………6分22．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ∴29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（Ⅰ）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………2分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………5分 23．（本小题满分10分）(注：第(1)问4分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，0y --=，……………………2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分（Ⅱ）方法一：曲线C 的普通方程为2240x y x +-=.………………2分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4分所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………2分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………4分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或236ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π ，(23,)6π.………………6分 24．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解:（Ⅰ）由题意可得：， 当时，，即； ……………………2分当时，，即即；……………………3分当1≥x 时，3112≤+--x x ，即13x ≤≤……………………4分∴该不等式解集为{}33≤≤-x x . …………5分（Ⅱ）令112)(---=x x x f ，有题意可知：min ()af x ≥……………………2分又1,21()32,12,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩21min )(-=∴x f ，……………………4分1-2a ∴≥. ……………………5分创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校。