初二数学特殊的平行四边形

特殊的平行四边形中考要求知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．6．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：① 边的性质：对边平行，四条边都相等．② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形7．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．例题精讲板块一、菱形的性质及判定【例1】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【解析】省略【答案】连接BD 、AF 、EB∵菱形ABCD 中BD AC ⊥，EF AC ⊥，∴BD ∥EF ∵AD ∥FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ED FB = ∵AE ED =，∴AE FB =又∵AE FB ∥，∴四边形AFBE 是平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分【例2】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【解析】∵AE AB = ∴B AEB ∠=∠同理D AFD ∠=∠ ∵四边形ABCD 是菱形∴AD BC B D BAD C ∠=∠∠=∠∥，，，∴AEB AFD ∠=∠ ∵B D ∠=∠ ∴BAE DAF ∠=∠∵DE EF AF ==，∴AEF △是等边三角形，∴60EAF ∠=︒ 设BAE x ∠=，则602BAD x ∠=︒+∵180ABE ABE BAE ∠+∠+∠=︒，∴902xABE ∠=︒- ∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=︒，∴906021802xx ︒-+︒+=︒ ∴20x =︒ ∴602100C BAD x ∠=∠=︒+=︒【答案】100︒【例3】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．【答案】18︒ABCDEF【例4】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【解析】省略【答案】∵CH AB ⊥，∴90HAF AFH ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒∵AD 平分CAB ∠，∴CAD HAF ∠=∠，∴AFH CDF ∠=∠ ∵AFH CFD ∠=∠，∴CDF CFD ∠=∠，∴CF CD = ∵AD 平分CAB ∠，DC AC ⊥，DE AB ⊥ ∴CD DE =，∴CF DE = 又∵CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CF ∥DE ，故四边形ABCD 是平行四边形 ∵CD DE =，∴四边形ABCD 是菱形【例5】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【解析】省略 【答案】当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥ ∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB =∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．【例6】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．板块二、与菱形相关的几何综合题【例7】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【解析】省略【答案】⑴∵PM AC EF AB ∥，∥∴四边形AEPM 为平行四边形 ∵AB AC =，AD 平分CAB ∠ ∴CAD BAD ∠=∠∵AD BC BAD EPA ⊥∠=∠， ∴CAD EPA ∠=∠ ∵EA EP =∴四边形AEPM 为菱形⑵当P 为EF 中点时，12EFBM AEPM S S =四边形菱形∵四边形AEPM 为菱形，∴AD EM ⊥ ∵AD BC ⊥ ∴EM BC ∥ 又EF AB ∥ ∴四边形EFBM 为平行四边形板块三、中位线与平行四边形【例8】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【解析】连接PN ,NQ ,MQ ,PM ．证明PNQM 为菱形． 【答案】见解析【例9】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠CDEFH G BA【解析】省略【答案】连结BD ，取BD 中点P ，连结PE PF ，，由条件易得PE PF ，分别是BDC DBA ∆∆，的中位线，所以PE DC PF BA ∥，∥，且1122PE DC PF BA ==，，因为AB CD =，所以PE PF =，所以PEF PFE ∠=∠，由PE DC ∥可得：PEF CHE ∠=∠，同理可得PFE BGE ∠=∠，所以BGE CHE ∠=∠PABG H FDC【例10】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【解析】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN = 再由三角形中位线可得MN BC ∥．【答案】见解析【例11】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【解析】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线 ∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD = ∴1122PQ AC BD PN ===. QEP NMD CBA【答案】见解析板块四、正方形的性质及判定【例12】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【解析】省略【答案】12【例13】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = OFE DC BA【解析】省略 【答案】5【例14】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．G FEDC BA【解析】省略 【答案】3【例15】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA【解析】100︒【例16】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【解析】连结PC ，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒ 【答案】45︒【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【解析】省略【答案】设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE == 所以，在直角BEG ∆中， 30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以 1315∠=∠=︒．从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠，DE DF =．【例18】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【解析】省略【答案】⑴∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒． ∵180BCD DCE ∠+∠=︒， ∴90BCD DCE ∠=∠=︒． 又∵CG CE =，∴BCG DCE ∆∆≌． ⑵∵DCE ∆绕D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆， ∴CE AE '=． ∵CE CG =， ∴CG AE '=．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE DG '∥，AB CD =． ∴AB AE CD CG '-==， 即BE DG '=．∴四边形DE BG '是平行四边形．【例19】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【解析】省略【答案】MN BM DN =+，延长CD 至'M ，使'M D BM =，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测ABCDEF E 'G得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒【例20】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDFBA【解析】省略【答案】当且仅当GHD ∆为直角三角形时，GD 的中线AH AD =．由已知证明GHD ∆为直角三角形并不困难．因为ABCD 为正方形，所以AB BC =．由于EF AC ∥，所以AE FC =． 又AG AD DC ==，90GAE DCF ∠=∠=︒所以AGE DCF ∆≌． 从而G CDF ∠=∠．因为CD GA ⊥，所以FD GE ⊥（即GH ），90DHG ∠=︒．故DHG ∆为直角三角形，且AH 为斜边DG 的中线，从而12AH GD AD ===正方形的边长．【例21】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【解析】省略【答案】当P 运动到BC 中点时，四边形PFME 为正方形∵AMB △是等腰直角三角形 ∴45ABM ∠=︒ 又∵90ABC ∠=︒∴45PBF ABC ABM ∠=∠-∠=︒ 同理可得：45PCE ∠=︒∴45PBF PCE ∠=∠=︒ ∴90BMC ∠=︒ ∴四边形FMEP 为矩形在PBF △和PCE △中，90PBF PCE BFP CEP PB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴PBF PCE △≌△ ∴PF PE =∴四边形PEMF 为正方形．【例22】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【解析】省略【答案】⑴ 证明：在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥∴BAD DAC ∠=∠∵AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线 ∴MAE CAE ∠=∠∴1180902DAE DAC CAE ∠=∠+∠=⨯︒=︒ 又∵AD BC ⊥，CE AN ⊥ ∴90ADC CEA ∠=∠=︒ ∴四边形ADCE 为矩形． ⑵ 例如，当12AD BC =时，四边形ADCE 是正方形 证明：∵AB AC =，AD BC ⊥于D ∴12DC BC = 又12AD BC =，DC AD = 由⑴四边形ADCE 为矩形∴矩形ADCE是正方形．。