第讲函数与方程
第8讲 函数与方程
第八讲《函数与方程》【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。
【基础知识回顾】：1、2.用二分法求方程近似解的一般步骤：【基础知识自测】1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ∙<0，则方程0)(=x f 在区间⎣⎦b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根2、函数xx f x 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ）（A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ）（A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根③当0<x<1时，恰有一实根 ④当-1<x<0时，恰有一实根 ⑤当-x<-1时，恰有一实根【典型例题剖析】一、确定函数的零点例1、判断方程0243=--x x 在区间[]0,2-内至少有几个实数解，并说明理由。
跟踪练习：已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)对应填表：则函数在区间[]61，上的零点至少有（ ）A 2个B 3个C 4个D 5个 二、用二分法解决函数的零点问题例2、用二分法求函数f(x)=13--x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1内的一个零点。
高考数学总复习第一讲：函数与方程
高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系．在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数假设有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之,许多有关函数的问题那么可以用方程的方法解决．总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想,用它来指导解题．在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最正确解题方案．一、例题分析例1．F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数,试比拟α,β的大小．分析：一般情况下,F〔x〕可以看成两个幂函数的差．函数值为正数,即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方,这时为了判断幂指数α,β的大小,就需要讨论α,β的值在〔1,+∞〕上,或是在〔0,1〕上,或是在〔0,1〕内的常数,于是F〔x〕成为两个同底数指数函数之差,由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数,又由于xα-xβ>0,所以得α<β．例2．0<a<1,试比拟的大小．分析：为比拟aα与(aα) α的大小,将它们看成指数相同的两个幂,由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数,因此只须比拟底数a与aα的大小,由于指数函数y=a x(0<a<1)为减函数,且1>a,所以a＜aα,从而aα<(aα) α．比拟aα与(aα) α的大小,也可以将它们看成底数相同〔都是aα〕的两个幂,于是可以利用指数函数是减函数,由于1>a,得到aα<(aα) α．由于a＜aα,函数y=a x(0<a<1)是减函数,因此aα>(aα) α．综上, ．解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题简单．例3．关于x的方程有实根,且根大于3,求实数a的范围．分析：先将原方程化简为a x=3,但要注意0<x<3且x≠1．现将a x看成以a为底的指数函数,考虑底数a为何值时,函数值为3．如图〔1〕,过〔3,3〕点的指数函数的底,现要求0<x<3时,a x=3,所以,又由于x≠1,在图〔1〕中,过〔1,3〕点的指数函数的底a=3,所以．假设将a x=3变形为,令,现研究指数函数a=3t,由0<x<1且x≠1,得,如图〔2〕,很容易得到：．通过本例,说明有些问题可借助函数来解决,函数选择得当,解决就便利．例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数,且是偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,那么当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是〔〕．〔A〕f(x)=x+4 〔B〕f(x)=2-x〔C〕f(x)=3-|x+1| 〔D〕f(x)=3+|x+1|解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3,∴只有〔A〕、〔C〕可能正确．又∵f(0)=f(2)=2,∴〔A〕错,〔C〕对,选〔C〕．解法二、依题意,在区间［2,3］上,函数的图象是线段AB, ∵函数周期是2, ∴线段AB左移两个单位得［0,1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2,1］上的图象线段EF ．∵函数是偶函数, ∴把线段CD沿y轴翻折到左边,得［–1,0］上的图象线段FC．于是由直线的点斜式方程,得函数在［–2,0］上的解析式：即由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],∵函数周期是2,∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4, ∴x∈[-2,-1]时,f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数,周期又是2,∴ ,于是在［–2,0］上, ．由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 根据绝对值定义有x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|．此题应抓住“偶函数〞“周期性〞这两个概念的实质去解决问题．例5．y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数,那么a的取值范围是〔〕．〔A〕〔0,1〕〔B〕〔1,2〕〔C〕〔0,2〕〔D〕［2,+∞］分析：设t=2-ax,那么y=log a t, 因此,函数是上面这两个函数的复合函数,其增减性要考查这两个函数的单调性,另外,还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1,所以〔C〕是错误的．又a=2时,真数为2–2x,于是x≠1,这和矛盾,所以〔D〕是错的．当0<a<1时,t=2-ax是减函数,而y=log a t也是减函数, 故y=log a(2-ax)是x的增函数,所以〔A〕是错的．于是应选〔B〕．解法二、设t=2-ax,y=log a t 由于a>0,所以t=2-ax是x的减函数, 因此,只有当a>1,y=log a t是增函数时,y=log a(2-ax)在［0,1］上才是减函数；又x=1时,y=log a(2-a), 依题意,此时,函数有定义,故2–a>0 综上可知：1<a<2, 故应选〔B〕．例6． ,函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称,那么g(5)=_____________-解法一、由去分母,得 ,解出x,得 , 故 ,于是 , 设 ,去分母得, ,解出x,得 ,∴的反函数．∴．解法二、由 ,那么 , ∴ ,∴．即的反函数为 ,根据：∴．解法三、如图,f(x)和f-1(x)互为反函数,当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时,做为“镜面〞的另一侧的“象〞f(x)的图象一定向下平移1个单位,因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1,∴．本解法从图象的运动变化中,探求出f-1(x+1)的反函数,表达了数形结合的优势出二、稳固练习（1）函数在区间上的最大值为1,求实数a的值．〔1〕解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得,也可能在顶点外取得, , ,而顶点横坐标 ,最大值在顶点外取得,故此解舍去．当最大值为f(2)时,f(2)=1, ,顶点在应在区间右端点取得最大值,此解合理．当最大值在顶点处取得时,由 ,解得 ,当,此时,顶点不在区间内,应舍去．综上,．〔2〕函数的定义域是［a,b］,值域也是［a,b］,求a.b的值．2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．〔2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．,解得： ,综上,或〔3〕求函数的最小值．解〔3〕分析：由于对数的底已明确是2,所以只须求的最小值．〔3〕解法一：∵ ,∴x>2．设 ,那么 ,由于该方程有实根,且实根大于2,∴解之,μ≥8．当μ=8时,x=4,故等号能成立．于是log2≥0且x=4时,等号成立,因此的最小值是3．解法二：∵ ,∴x>2设 ,那么 =∴μ≥8且 ,即x=4时,等号成立,∴log2μ≥3且x=4时,等号成立．故的最小值是3．〔4〕a>0,a≠1,试求方程有解时k的取值范围． 4〕解法一：原方程由②可得：③,当k=0时,③无解,原方程无解；当k≠0时,③解为 ,代入①式,．解法二：原方程 ,原方程有解,应方程组,即两曲线有交点,那么ak<-a或0<ak<a(a>0)∴k<-1或0<k<1．〔5〕设函数〔Ⅰ〕解不等式f(x)≤1〔Ⅱ〕求a的取值范围,使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．5〕解〔Ⅰ〕,不等式f(x≤1),即由此得：1≤1+ax即ax≥0,其中常数a>0, ∴原不等式即∴当0<a<1时,所给不等式解集为 ,当a≥1时,所给不等式解集为{x|x≥0}．〔Ⅱ〕在区间[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1<x2,〔ⅰ〕当a≥1时,∵∴又∴所以,当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．〔ⅱ〕当0<a<1时,在[0,+∞)上存在两点满足f(x1)=1,f(x2)=1 ,即f(x1)=f(x2),∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．。
方程与函数思想在圆锥曲线的应用(第一讲)
方程与函数思想在圆锥曲线的应用 【核心内容及思想】解析几何是将形与数结合在一起的一门学科.研究形的问题，往往是通过数表示出来，而数又是通过方程予与定量的.因此求解析几何的有关问题，常常通过方程予与解答.深刻理解方程思想对于研究解析几何中问题有着至关重要的作用.方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量(或参变量---对于一个式子（函数、方程或不等式），若含有两个或两个以上的变量，如果其中一个变量在允许的范围内的变化，直接或间接地影响另外一个或两个变量的变化（或性质改变），则我们将这一变量称为参变量.)之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程(或方程组)、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解. 【例题及习题】1. （1）若椭圆的长轴长为2，离心率为12，则椭圆的标准方程为______________(2)若双曲线的渐近线方程为32y x =±，则该双曲线的离心率为_________(3) 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为___________． 2. 若圆1O 的方程为()41)1(22=+++y x ，圆2O 的方程为()12)3(22=-+-y x ，则方程()1)2()3(41)1(2222--+-=-+++y x y x 表示的轨迹是（ ）A ． 经过1O 、2O 的直线B ． 线段21O O 的中垂线C ． 两圆公共弦所在的直线D.一条直线且过该直线上点到两圆的切线长相等3. 点P 在2211620x y -=上，若19,PF =则2PF =4. 设(),P x y 1=上的点,()14,0F -,()24,0F ，则必有（ ） （A ）1210PF PF +≤ （B ）1210PF PF +< （C ）1210PF PF +≥ （D ）1210PF PF +>5. 在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有两条； ③ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条. 其中所有真命题．．．的序号是 A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④ 6. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”7.已知直线l 与抛物线y 2=x 交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若y 1y 2=-1,点O 为坐标原点，则△OAB 是（ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 锐角三角形D 任意三角形8. 过抛物线y 2=x 上一点A （4,2）作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B 、C 两点，直线BC 的斜率为____.9. 抛物线x 2=2y 上离点A （0，a ）最近的点恰好是顶点的充要条件是（ ）A a ≤0B a 21≤ C a ≤1 D a ≤210.设椭圆42x ＋y 2=1上一点，F 1、F 2是椭圆的左、右两个焦点，则｜PF 1｜｜PF 2｜的最大值为＿＿＿＿＿；最小值为＿＿＿＿11. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .12. 已知圆A ：()2232x y -+=，点P 是抛物线C ：24y x =上的动点，过点P 作 圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 .13. 在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点①求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．14. 如图，在平面直角坐标系中，方程为220x y Dx Ey F ++++=的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上 .（1）求证：0F <；（2）若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且0A B A D ∙=，求224D E F +-的值；（3）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH AB ⊥且垂足为H .试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H15. 已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为22=e .（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程.16.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.17.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.18.已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.19. 已知过抛物线x 2=4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点.(1)若角∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围. (2)若l 的方程为x-2y+12=0,且过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A(A 在第一象限)处有共同的切线，求圆C 的方程.20. 已知抛物线2:4C y x =，点M (m ,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若m =1，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.21. 椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e=32,直线l 交椭圆于点A 、B ，满足CA ＝2BC ，其中，定点C （1,0）.当△OAB 取得最大值时，求椭圆的方程.,(0,),,,.2l y P m C A B AP PB λ=直线与轴交于点与椭圆交于相异两点且22. 如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.（Ⅰ）若CE FD =，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:k k =23O ，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为（1）求椭圆方程；（2）若m 求,4=+λ的取值范围.24.已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1） 求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.25.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.26. 已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程； (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.27. 设动点M 的坐标为(,)x y （x y ÎR 、），向量a (2,)x y =-，b (2,)x y =+，且+a b =8.（I ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OP OA OB =+uu u r uu r uu u r（O为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.28. 如图，已知A B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，P Q 、是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP 与QB 、PB 与AQ 分别交于点M N 、． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，试求直线MN 的方程．30. 已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值.31. 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.。
第二章 第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
高三数学复习学案：第1讲 函数与方程思想
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．1．函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．2．方程的思想在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有的实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．第1讲 函数与方程思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．2．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是________．3．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝__________.4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为________．5．已知R 上的减函数y ＝f (x )的图象过P (－2，3)、Q (3，－3)两个点，那么|f (x ＋2)|≤3的解集为________．6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为__________．7．若关于x 的方程4cos x －cos 2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，其中a <b ，且α，β(α<β)是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系为________．9．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则它的公差d ＝________.10．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．11．若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是____________．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2， －3≤x ≤3，x 2－6，x <－3或x >3，若0<m <n ，且f (m )＝f (n )，则mn 2的取值范围是________．二、解答题13．设P (x ，y )是椭圆x 24＋y 22＝1上的动点，定点M (12，0)，求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值．14.已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．。
高考数学第1讲 函数与方程思想——骨肉相连
大二轮复习 数学（文）
应用(四) 构造“方程形式”，利用方程思想解决问题 (2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1，1)和抛物线 C：y2＝4x，
过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°， 则 k＝________．
大二轮复习 数学（文）
解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1，0)， 设直线方程为 y＝k(x－1)， 直线方程与 y2＝4x 联立，消去 y， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝1，x1＋x2＝2kk2＋2 4.
大二轮复习 数学（文）
大二轮复习 数学（文）
解析：由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2，
∴a2＋c2－b2＝2accos
B．
又∵S＝ 43(a2＋c2－b2)，
∴12acsin B＝ 43×2accos B，∴tan B＝ 3， ∵B∈0，π2 ，∴∠B＝π3 . 又∵∠C 为钝角，∴∠C＝2π 3 －∠A>π2 ，∴0<∠A<π6 .
大二轮复习 数学（文）
3．设 0<a<1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea－1 的大小关系为
( B) A．ea－1<a<ae
B．ae<a<ea－1
C．ae<ea－1<a
D．a<ea－1<ae
大二轮复习 数学（文）
解析：选 B.设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0， ∴ex－1>x，即 ea－1>a. 又 y＝ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae， 从而 ea－1>a>ae.故选 B.
第1讲 函数、方程、不等式的思想(讲学稿)2
【课题】函数与方程的思想方法【课型】复习课【上课时间】2011-3-7【学习目标】1.掌握初等函数的基本性质；2.通过建立函数关系式或构造中间函数，把方程和不等式问题转化为函数问题来解决；3.体会数学知识之间的相互联系，养成分析问题和总结方法的习惯。
【学习过程】一、热身训练1.若方程013422=-++m mx x 有两个负根，则实数m 的取值范围是2.方程012lg =-+x x 的实数解的个数是3.不等式042>+-k x kx 恒成立，则实数k 的取值范围是4.数列n n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110)1(},{，,N n ∈则当=n 时，n a 最大。
二、新课讲解订正栏例题1 方程222=+-x x 的实数解的个数是 。
练习（1）不等式12+>-x x 的解集是（2）已知α是方程42=+x x 的根，β是方程4log 2=+x x 的根，则=+βα例题2 已知关于x 的方程0122=+++m mx x 的两个实数根1x 与2x 满足212x x <<，求实数m 的取值范围。
例题3 已知关于x 的方程0322=++a ax x 在]1,1[-上有实数解，求实数a 的取值范围。
练习（1）若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在)0,2(-内，另一个根在)3,1(内，求a 的取值范围。
（2）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]1,1[-上有零点，则实数a 的取值范围是（3）（2010上海高考）若0x 是方程3121x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛的解，则0x 属于区间（ ） A.)1,32( B.)32,21( C.)21,31( D.)31,0(例题4 对满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的范围。
练习：设不等式)2(442x m x x ->+-对满足1||≤m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围。
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
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②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( C )
A.－14，0
B.0，41
C.14，12
D.12，34
解析：因为
f14＝e
1 4
－2<0，f12＝e
1 2
－1>0，所以
1 1 f4·f2<0.
又因为函数 y＝ex 是单调增函数，y＝4x－3 也是单调增函数，
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)
B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)
解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2 在各个区间两端点的符号． 解析：①由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下：
(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应
计算________．以上横线上应填的内容为( A )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
3．lgx－—1x ＝0 有解的区域是( B )
A．0，＋∞)
4．(2010 年天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间
是( C ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实根， 一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围
的取值范围.
1．图 3－6－1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公 共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间( ) 上的零点．( B )
A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
图 3－6－1 B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
2．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计
考点2 二分法的应用
例2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 又由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一 个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)由(2)知 f(x)的零点 x0 在(2,3)上， 取 x1＝52，∵f52＝ln52－1<0，∴f52·f(3)<0.∴x0∈52，3. 取 x1＝141，∵f141＝ln141－12>0，∴f52·f141<0.∴x0∈52，141. 而141－52＝14≤14，∴52，141即为符合条件的区间．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 是单调增函数．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点在14，12内．
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断； ③通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．
为________.
考点1 判断函数零点所在的区间 例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
第6讲 函数与方程
考纲要求
考纲研读
对于零点性质要注意函数与
1.结合二次函数的图象，了解函数 方程的结合，借助零点的性质 的零点与方程根的联系，判断一元
可研究函数的图象、确定方程 二次方程根的存在性及根的个数．
的根；对于连续函数，利用根
2．根据具体函数的图象，能够用二 的存在性定理，可用来求参数 分法求相应方程的近似解.
【互动探究】 1．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且
a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则n＝__2__.
解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.
【互动探究】 2．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]上的近似解，取
区间中点 x0＝2.5，那么下一个有解区间为___[_2_,2_._5_]__．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0， f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)>0，故下一个有解区间 为[2,2.5]．