双样本t检验

两总体均值之差的假设检验（一）
已知条件 假设
H0:μ1＝μ2 H1:μ1≠μ2
检验统计量
H0的拒绝 域 |Z|≥Zα/2
两正态总 体，或非 正态总体、 大样本， 总体方差 已知
Z
H0:μ1≥μ2 H1:μ1＜μ2
X1 X 2

2 1
n1


2 2
n2
Z≤－Zα
H0:μ1≤μ2 H1:μ1＞μ2
两个样本均值之差的抽样分布 2和σ22未知 σ1
• 若两个总体均为正态分布总体，但是两 总体方差未知，且知道σ12≠σ22 ，则有：
t'
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2
~ t df '
两个样本均值之差的抽样分布 ２和σ2２未知 σ1
• 其中
关于总体平均数之差的推断统计
两个样本均值之差的抽样分布
• 需考虑的问题：
– 两总体方差σ12和σ22是否已知；如果未知,则 是否σ12 = σ22 ； – 两总体是否正态分布； – 两样本为大样本还是小样本。
两个样本均值之差的抽样分布 σ12和σ22已知
• 若 X 1 是独立地抽自总体X1~N(μ1，σ12)的一个容 量为n1的样本的均值， X 2 是独立地抽自总体 X2~N(μ2，σ22)的一个容量为n2的样本的均值， 则有：
X 1 X 2 ~ N 1 2 , n1 n2
2 1 2 2
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )2 1 Nhomakorabean1


2 2
~ N (0,1 )
2
n2
两个样本均值之差的抽样分布 2和σ22未知 σ1
• 如果σ12＝σ22 ，则有：
例题
随机地从A厂生产的导线中抽取4根，从B 厂生产的导线中抽取5根，测得以欧姆表 示的电阻为 A厂：0.143, 0.142, 0.143, 0.137 B厂：0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140 若已知两工厂导线的电阻均服从正态分布， 且方差齐性，试求（μ1-μ2 ）的95%置信 水平下的置信区间。
t≥tα
两总体均值之差的假设检验（三）
已知条 件 假设
H0:μ1＝μ2 H1:μ1≠μ2
检验统计量
H0的拒绝 域 |t|≥tα/2
2
t'
X1 X 2
2 S12 S 2 n1 n2
2 1 2 2
两正态 总体， 总体方 差未知 但有显 著差异
H0:μ1≥μ2 H1:μ1＜μ2
H0:μ1≤μ2 H1:μ1＞μ2
n1 n2
2 1
(n1 1)S (n2 1)S 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 2
2 1 2 2
S S ( X 1 X 2 ) t ' n1 n2 2
S S n n2 df ' 12 2 2 S12 S 2 n n 1 2 n1 n2
例题
• 甲乙两公司生产同种产品。从甲公司 产品中抽取20件进行检验，得出这20 件产品的平均抗压能力为45.2公斤， S12 =30；从乙公司产品中抽取12件产 品的平均抗压能力为34.6公斤，S22 =43。 若两公司产品的抗压能力均服从正态 分布，而且没有理由认为它们的方差 一样，试估计两公司产品平均抗压能 力之差（α=0.05） 。
t
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) (n1 1) S (n2 1) S 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
~ t n1 n2 2
• 以上结论均可推广到两个非正态总体且两个样 本均为大样本的情况。但是对于两个非正态总 体且小样本的情况则不适用。
H0:μ1＝μ2 H1:μ1≠μ2
检验统计量
H0的拒绝 域 |t|≥tα/2
t
X1 X 2
2 (n1 1) S12 (n2 1) S 2 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
H0:μ1≥μ2 H1:μ1＜μ2
t≤－tα
自由度df=n1+n2-2
H0:μ1≤μ2 H1:μ1＞μ2
例题
• 某校进行教改实验，甲班45人，乙班36人， 分别采用不同的教学方法。学期结束时进行 测验，得到以下结果： 甲班平均分69.5，总体标准差估计值8.35； 乙班平均分78.0，总体标准差估计值16.5。 试问两种教学方法其效果有无显著差异？ （α=.01）
临界值的另一种求法
• 计算t’后，不计算df’，而计算：
S S t t n1 2 ( n1 1) n2 2 ( n2 1) t ' 2 2 S1 S 2 2 n1 n2
2 1
2 2
结果
• 2.816
• df’时，2.682
• 非df’时，2.719
相关样本平均数差异的 显著性检验
• 两个样本内个体之间存在着一一对应的关系， 这 两 个 样 本 称 为 相 关 样 本 （ correlatedgroups----independent groups）。两种情况：
– 用同一测验对同一组被试在试验前后进行两次测 验 ， 所 获 得 的 两 组 测 验 结 果 ； ----repeated measures design – 根据某些条件基本相同的原则，把被试一一匹配 成对，然后将每对被试随机地分入实验组和对照 组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用同 一测验所获得的测验结果。----matched-group design
2 1 2 2
2
例题
• 从某市近郊区和远郊区中各自独立地 抽取25户家庭，调查平均每户年末手 存现金和存款余额。得出两个样本均 值分别为近郊区65000元，远郊区 48000元。已知两个总体均服从正态分 布，且σ1=12000，σ2=10600，试估计 该市近郊区与远郊区平均每户 年末手 存现金和存款余额之差（α=0.05）。
S S n 1 n2 df ' 2 2 2 2 S1 S 2 n n 1 2 n1 n2
2 1 2 2
2
示意图
两个总体均值之差的区间估计
待估 参数 已知条件 置信区间 备注
2 1 2 2
两正态总体， 或非正态总体、 ( X X ) Z 1 2 大样本，总体 2 方差已知 两正态总体， 或非正态总体、( X X ) t 1 2 μ1-μ2 大样本，总体 2 方差未知但无 显著差异 两正态总体， 总体方差未知 但有显著差异
相关样本平均数差异的 显著性检验
• 如果两个样本是相关样本，即两个样本 内个体之间存在着一一对应的关系，则 有 ( X1 X 2 )
t
D Di / n i 1 i 1 n(n 1)
n n 2 i
2
其中D＝X1－X2
例题
• 为了调查两种不同识字教学法的效果， 随机抽取了10名小学生，记录下他们使 用两种教学法的成绩如下。问两种教学 法有无显著差异？
S S n n2 df ' 12 2 2 2 S1 S 2 n n 1 2 n1 n2
t≤－tα
t≥tα
例题
• 甲乙两公司生产同种产品。从甲公司 产品中抽取20件进行检验，得出这20 件产品的平均抗压能力为45.2公斤， S12 =30；从乙公司产品中抽取12件产 品的平均抗压能力为34.6公斤，S22 =43。 若两公司产品的抗压能力均服从正态 分布，而且没有理由认为它们的方差 一样，试估计两公司产品抗压能力有 无显著差异（α=0.05） 。
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A法成绩 11.3 15.0 15.0 13.5 12.8 10.0 11.0 12.0 13.0 12.3 B法成绩 14.0 13.8 14.0 13.5 13.5 12.0 14.7 11.4 13.8 12.0
Z≥Zα
例题
• 某部门欲采购一批灯泡。从两个灯泡厂 的产品中各自抽取50个进行检验，测得 两个灯泡厂的灯泡的样本均值为1282小 时和1208小时。若已知两厂灯泡的使用 寿命均服从正态分布，且方差分别为802 和942，问：两厂灯泡的平均使用寿命有 无显著差异？
两总体均值之差的假设检验（二）
已知条 件 两正态 总体， 或非正 态总体、 大样本， 总体方 差未知 但无显 著差异 假设