人教版八年级下册 第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析) (1)
人教版 八年级数学下册 18.1 平行四边形 培优训练(含答案)
人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°3. 如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm4. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍5. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．156. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF7.已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形8.（2020·临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则（ ）A.122SS S +>B.122SS S +<C.212SS S += D.21S S +的大小与P 点位置有关二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．10.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.11. 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB的长度为cm ．OD CBA12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________．13. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于 ．O EDCB A14. 如图，在ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．15. 如图，在▱ABCD中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．ABC16. 如图，一个平行四边形被分成面积为1S 、2S 、3S 、4S 四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时．① 14S S 与23S S 的大小关系为．② 已知点C 与点A 、B 不重合时，图中共有 个平行四边形，S 4S 3S 2S 1(3)DCBA三、解答题（本大题共4道小题） 17. （2020·重庆B 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，交对角线BD 于点E ，F ． （1）若∠BCF =60°，求∠ABC 的度数； （2）求证：BE =DF ．18. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA19. （2020·泰安）（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ﹦∠EAD﹦90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判断四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ﹦CD ． 求证：①EB ﹦DC ，②∠EBG ﹦∠BFC ．GFABCDEABCDE20. 如图，AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.3. 【答案】B【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.4. 【答案】B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，A B=2，AD=4，∴EH=12AD=2，HG=1122CD=AB=1，∴EH≠HG，故选项A 错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．5. 【答案】C6. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．7. 【答案】B8. 【答案】C【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.二、填空题（本大题共8道小题） 9. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．10. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 是平行四边形.11. 【答案】19【解析】如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==．12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE ＝12AD ，OE ＝12CD ．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋CD ＝8．∴平行四边形ABCD 的周长＝16．故答案为16．14. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ，∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ，∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.16. 【答案】①1423S S S S =；②9三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .18. 【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．QDPCBA19. 【答案】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形． 理由如下：∵△EAD 为等腰三角形且∠EAD ﹦90°， ∴∠E ﹦45°．∵B 是DE 的中点， ∴AB ⊥DE ． ∴∠BAE ﹦45°．∵△ABC 为等腰三角形且∠BAC ﹦90°， ∴∠CBA ﹦45°． ∴∠BAE ﹦∠CBA ． ∴BC ∥EA ． 又∵AB ⊥DE ，∴∠EBA ﹦∠BAC ﹦90°． ∴BE ∥AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴AE ﹦AD ，AB ﹦AC ． ∵∠EAD ﹦∠BAC ﹦90°，∴∠EAD ＋∠DAB ﹦∠BAC ＋∠DAB ．即∠EAB ﹦∠DAC ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴EB ﹦DC ．②延长FG 至点H ，使GH ﹦FG ． ∵G 是EC 中点，∴EG ﹦CG ．又∠EGH ﹦∠FGC ， ∴△EHG ≌△CFG ，∴∠BFC ﹦∠H ，CF ﹦EH ． 又∵CF ﹦CD ， ∴BE ﹦CF ． ∴BE ﹦EH ．∴∠EBG ﹦∠H ． ∴∠EBG ﹦∠BFC ．AB CDEEDCBA FGH20. 【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足． 显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =． 已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅， 则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+ ()AO AN NQ =+ AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．图（1）图（2）。
人教版八年级下册 第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析)
人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。
(全优)人教版八年级下册数学第十八章 平行四边形含答案
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A.8和14B.10和14C.18和20D.10和342、如图,平行四边形ABCD的周长为40,ΔBOC的周长比ΔAOB的周长多10,则AB为( )A.20B.15C.10D.5．3、已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF 于C、H．请判断下列结论：（1）BE=DF；（2）AG=GH=HC；（3）EG= BG；（4）S△ABE =3S△AGE．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形5、如图，已知∠MON=30°，点A在射线OM上，0A=4 ，长度为2的线段BC在射线ON上移动，连结AB, AC，则△ABC周长的最小值为（）A.6B.8C.4D.0A=4 ＋26、下列说法中错误的是（）A.四边相等的四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.菱形的对角线互相垂直且相等D.正方形的邻边相等7、在正方形ABCD中，AD=6，点M在边DC上，连结AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E.如图，如果ED=2EC，则DM=（）A.4+B.3+C.9-D.6-8、如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°9、如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm,连接各边中点E,F,G,H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为( ).A.20cmB.20 cmC.20 cmD.25 cm10、下列说法错误的是（）A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形11、如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE·AD=AH·AF；其中结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线相等且互相垂直平分C.对角线互相平分D.四条边相等，四个角相等13、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角形互相垂直平分14、如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA ＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（）A.2.5B.5C.7.5D.1015、顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（）A.正方形B.对角线互相垂直的等腰梯形C.菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=6cm，BC=10cm，则AE= ________cm.17、如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），则菱形的对角线交点D的坐标为________；若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D的坐标为________．18、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中四个直角三角形是全等的，若大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，则的值为________．19、在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是________．20、在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是________．21、已知直角三角形的三边长为 4，5，，为斜边，则以为边长的正方形面积为________.22、如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．23、如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________ ．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．24、如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________25、菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE等于多少时时，四边形BFCE是菱形．28、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.29、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF．30、如图，中，F在延长线上，，交于点E．求证：．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、D4、B5、B6、C7、C8、C9、A11、D12、C13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。
第18章平行四边形(解答题培优)2022—2023学年人教版数学八年级下册
人教版八年级下册数学：平行四边形（解答题培优）姓名：得分：日期：1、如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，并且DE⊥AB，若AB=4，求：(1)∠ABC的度数；(2)对角线AC的长；(3)菱形ABCD的面积．2、如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．(1)若∠F=40∘，求∠A的度数；(2)若AB=10，BC=16，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．3、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(6,6)，将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度F(0∘<F<90∘)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．(1)求证：△FFF≌△FFF；(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．4、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE(不须证明)．(1)如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．5、如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．6、一位同学拿了两块45∘的三角尺△FFF、△FFF做了一个探究活动：将△FFF的直角顶点M放在△FFF的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．(1)如图1，两个三角尺的重叠部分为△FFF，则重叠部分的面积为 ______ ，周长为 ______ ；(2)将图1中的△FFF绕顶点M逆时针旋转45∘，得到图2，此时重叠部分的面积为 ______ ，周长为 ______ ；(3)如果将△FFF绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．7、如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．8、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：AC=BE；(2)若∠AFC=2∠D，连接AC，BE.求证：四边形ABEC是矩形．9、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠FFF=30∘，AB=2．(1)求AC的长．(2)求∠AOB的度数．(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．10、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．(1)求证：EB=GD；(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；(3)若AB=2，FF=√2，求EB的长．FF，E是AC的中点，11、如图，FF//FF，且FF=12(1)求证：BC=DE；(2)连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△FFF添加什么条件，为什么？12、如图，在△FFF中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：AF=DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．(3)在(2)的条件下，要是四边形ADCF为正方形，在△FFF中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上______ (不需说明理由)．13、如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：(1)在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想．14、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．15、如图，在△FFF中，∠FFF=90∘，FF⊥FF，FF平分∠BAC交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形CEGF是菱形．16、如图，△FFF中，点O是边AC上一个动点，过O作直线FF//FF，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且△FFF满足什么条件时，四边形AECF是正方形？17、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足.求证：AP=EF．。
人教版-八年级数学下册-第18章-平行四边形培优练习(含答案)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形培优练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）…A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AD=2，则AC的长是（）《A．2 B．4 C．．4.下列说法正确的是（）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形，D.对角互补的平行四边形是矩形5.下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是斜边AB的中线，若AB=，则点D到BC的距离为（）D.27.下列命题是真命题的有（）①对顶角相等；%ODBA②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝PADθ∠，2＝PBA θ∠，3＝PCB θ∠，4＝PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．1423()()30＋－＋＝θθθθ︒B ．2413()()40＋－＋＝θθθθ︒>C ．1234()()70＋－＋＝θθθθ︒D ．1234()()180＋＋＋＝θθθθ︒9.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm ，把矩形沿直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE.下列结论中结论正确的个数有 ( ) ①△FBD 是等腰三角形； ②四边形ABDE 是等腰梯形； ③图中有6对全等三角形； ④四边形BCDF 的周长为532； ⑤AE 的长为145cm.|A ．2个B ．3个个D ．5个二、填空题（共有8道小题）10.如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使□ABCD 是矩形.11.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC,BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是＿＿。
人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 习题练习(附答案)
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形习题练习（附答案）一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为()A． 150°B． 130° C． 120°D． 100°2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE3.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝√2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A． 2√2B．3√2 C． 6√2D． 8√24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是()A．AB＝BE B．AC＝2AB C．AB＝2OE D．AC＝2OE5.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①，②B．①，④ C．③，④D．②，③6.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为()A． 1 B．√2 C． 2－√2D． 2√2－27.在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为()A． 8 B． 10 C． 12 D． 148.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于()A． 36° B． 108° C． 72° D． 60°9.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE 为菱形，下列选项中错误的是()A．BD＝AE B．CB＝BF C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF10.给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有()A． 4个B． 3个 C． 2个D． 1个11.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若BD＝6，则四边形CODE的周长是()A． 10 B． 12 C． 18 D． 2412.将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为()A． 3 cm2 B． 6 cm2 C． 9 cm2 D． 18 cm213.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为()A． 3 cm B． 4 cm C． 5 cm D． 8 cm二、填空题14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长度等于________．15.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于1BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.2(1)四边形ABEF是__________；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为________，∠ABC＝____________°.(直接填写结果)16.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EOF＝90°，则S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝__________.17.如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________．18.在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为__________．19.如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________．20.如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，若要使四边形AECF是平行四边形．则可以添加一个条件是：________________.21.如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________________．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．三、解答题22.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)求证：CE＝CF.(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．23.如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF.24.如图，已知平行四边形ABCD，点M，N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM ＝CN，DF＝BE.求证：(1)∠DFM＝∠BEN；(2)四边形MENF是平行四边形．答案解析1.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∵∠BED ＝150°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴∠A ＝180°－∠ABE －∠AEB ＝120°. 故选C.2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，又∵AD ＝DE ，∴DE ∥BC ，且DE ＝BC ，∴四边形BCED 为平行四边形，A ．∵AB ＝BE ，DE ＝AD ，∴BD ⊥AE ，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误；B ．∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C ．∵∠ADB ＝90°，∴∠EDB ＝90°，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误；D ．∵CE ⊥DE ，∴∠CED ＝90°，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误．故选B.3.【答案】A【解析】∵E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，EF ＝√2，∴AC ＝2EF ＝2√2，又∵BD ＝2，∴菱形ABCD 的面积S ＝12×AC ×BD ＝12×2√2×2＝2√2， 故选A.4.【答案】C【解析】∵点E 为BC 的中点，∴CE＝BE＝1BC，2∵AB＝BC，∴AB＝2BE，故选项A错误；∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AO＝CO＝1AC，2∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝1AB，故选项C正确；2∵AC≠AB≠BC，∴AC≠2AB≠2OE，故选项B，D错误，故选C.5.【答案】D【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D.6.【答案】C【解析】∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝√2，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S△ABB′＝1BA·AB′＝2，S△ABE＝1，2∴CB′＝2BE－BC＝2√2－2，∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2－√2.故选C.7.【答案】C＝12.故选C.【解析】读图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为6×4×128.【答案】B【解析】在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3，设每份比为x，则得到2x＋3x＋2x＋3x＝360°，解得x＝36°则∠D ＝108°. 故选B.9.【答案】A【解析】根据题意可得出：四边形CBFE 是平行四边形，A ．当BD ＝AE 时，无法得出平行四边形CBFE 是菱形，故选项A 错误，符合题意；B ．当CB ＝BF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项B 正确，不合题意；C ．当BE ⊥CF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项C 正确，不合题意；D ．当BA 平分∠CBF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项D 正确，不合题意； 故选A.10.【答案】B【解析】如图所示：以点A ，B ，C 为顶点能做三个平行四边形：▱ABCD ，▱ABFC ，▱AEBC .故选B.11.【答案】B【解析】∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝12AC ，OD ＝12BD ，AC ＝BD ＝6， ∴OC ＝OD ＝3，∴四边形CODE 是菱形，∴DE ＝OC ＝OD ＝CE ＝3，∴四边形CODE 的周长＝4×3＝12.12.【答案】C【解析】如图AB 、AF .∵∠EAG ＝∠BAF ＝90°，∴∠BAE ＝∠FAG ，在△ABE 和△AFG 中，{∠ABE =∠AFG =45°，AB =AF ，∠BAE =∠FAG ，∴△ABE ≌△AFG ，∴S △ABE ＝S △AFG ，∴S 四边形AEBG ＝S △ABF ＝14S 正方形，∴S 阴＝4×14S 正方形＝9， 故选C.13.【答案】B【解析】∵▱ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋AD ＝13 cm ，OB ＝OD ，∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ， ∴(OA ＋OD ＋AD )－(OA ＋OB ＋AB )＝AD －AB ＝3 cm ， ∴AB ＝5 cm ，AD ＝8 cm.∴BC ＝AD ＝8 cm.∵AC ⊥AB ，E 是BC 中点，∴AE ＝12BC ＝4 cm ；故选B.14.【答案】3【解析】∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ＝12AC ，∵AC ＝6，∴AO ＝3.15.【答案】(1)菱形 (2)10√3 120【解析】(1)在△AEB 和△AEF 中，{AB =AF ，∠EAB =∠EAF ，AE =AE ，∴△AEB ≌△AEF ，∴∠EAB ＝∠EAF ，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF.∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．(2)∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝√3BO＝5√3，∠ABC＝2∠ABO＝120°.故答案为10√3，120.16.【答案】14【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠EAO＝∠FBO＝45°，又∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE与△BOF中，{∠AOE=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，∴△AEO≌△BFO，∴AE＝BF，∴BE＝CF，∴S四边形OEBF＝S△AOB，∴S四边形OEBF ∶S正方形ABCD＝14，17.【答案】2242n−1【解析】∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B 2C 2，A 2C 2，A 2B 2分别等于A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1的12， …，以此类推，则△A 4B 4C 4的周长是123×16＝2； ∴△AnBnCn 的周长是242n−1.18.【答案】1＋√2【解析】∵在矩形ABCD 中，BG 平分∠ABC ，∴∠A ＝90°，∠ABG ＝45°，∴∠AGB ＝∠ABG ＝45°，∴AB ＝AG .又∵AB ＝1，∴BG ＝√2.又∵四边形BHDG 为菱形，∴BG ＝GD ＝√2.∴AD ＝AG ＋GD ＝1＋√2.19.【答案】4【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点，∴AE ＝DG ＝BE ＝CG ，AH ＝DH ＝BF ＝CF ，∴△AEH ≌△DGH ≌△BEF ≌△CGF (SAS)，∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∴四边形EFGH 是菱形，∵HF ＝2，EG ＝4，∴四边形EFGH 的面积为12HF ·EG ＝12×2×4＝4. 20.【答案】BE ＝DF (答案不唯一)【解析】可添加条件：BE ＝DF .证明：∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，同理可证：△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为BE＝DF.21.【答案】①②④【解析】∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HPFD、菱形BEPG，∴①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE＝BG，PG＝BE，在△BEP和△PGB中，{BE=PG，BP=BP，PE=BG，∴△BEP≌△PGB(SSS)，∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∴AH＝BG＝PE，AE＝HP＝DF，BE＝PG＝CF，DH＝PF＝CG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP＝∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB＝∠GBP，∴∠EBP＝∠EPB，∴BE＝PE，∴AH＝PE＝BG＝BE＝CF＝PG，同理AE＝HP＝DF＝PF＝CG，∴四边形AEPH的周长＝四边形GPFC的周长，∴④正确；22.【答案】(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴CE＝CF；(2)解四边形AEMF是菱形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，在△COE和△COF中，{CE=CF，∠ACB=∠ACD，OC=OC，∴△COE≌△COF(SAS)，∴OE＝OF，又OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．【解析】(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；(2)由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立(1)的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF；已知OA＝OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．23.【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，{∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.【解析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．24.【答案】证明(1)由平行四边形ABCD，得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，∵AM＝CN，∴AD－AM＝BC－CN，即DM＝BN，又∵DF＝BE，∴△DMF≌△BNE，∴∠DFM＝∠BEN；(2)由△DMF≌△BNE，得NE＝MF，∵∠DFM＝∠BEN，∴∠FEN＝∠MFE，∴MF∥NE，∴四边形NEMF是平行四边形．【解析】(1)由平行四边形的性质得到得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，然后根据AM＝CN得到DM＝BN，从而证得△DMF≌△BNE，理由全等三角形对应角相等证得结论；(2)利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定即可．。
2021人教版数学八年级下平行四边形解答题培优练习含答案
人教版数学八年级下册：平行四边形解答题专题练习（培优篇）1．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE＝EO＝DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E．（1）求∠EDC的度数；（2）若AE＝2，求CE的长．3．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AH⊥BC，垂足为H．求证：（1）HD＝EF．（2）∠DHF＝∠DEF．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．5．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．6．如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．7．如图，已知矩形ABCD中，点P为AD边上的一个动点，O为对角线BD的中点，PO 的延长线交BC于点E．（1）求证：OP＝OE；（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，点P从点A出发，以2cm/min的速度向D运动（不与D重合）．设点P的运动时间为tmin，当t为何值时，四边形PBED是菱形．8．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O．（1）下列判断正确的有（填序号）．①AC、BD互相垂直；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BAD、∠BCD；④BD平分∠ABD、∠ADC．（2）求证：△ABC≌△ADC．9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB＝a，∠ABE＝45°，求BC的长．10．如图，长方形ABCD的顶点A，D在x轴上，OA＝OD＝2，AB＝6．点P从原点出发，沿O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣O的路径，以每秒2个单位的速度移动．（1）写出长方形4个顶点的坐标．（2）经过3s，指出点P的坐标．（3）经过多长时间，△POA的面积为5平方单位．（4）经过多长时间，△POA的面积最大．11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．（1）如图1，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形：（2）如图2，过点O作EF⊥BD交BC于点E，交AD于点F，连接DE、BF，AB ⊥BD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有的锐角等腰三角形．13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．（1）求证：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的长．14．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1①证明：∠DAH＝∠DCH②猜想△GFC的形状并说明理由．（2）取DF中点M，MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．15．已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）求证：AF⊥DE．参考答案1．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG＝DE＝EG＝DG，∵AE＝EO＝DE，∴EO＝OG＝EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO＝∠DGO＝120°，又∵AE＝DG，OE＝OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO＝DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝2DO＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．2．解：（1）连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵DE⊥AC于E，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°﹣30°＝60°；（2）∵∠AED＝90°，∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，AE＝1，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝4，在Rt△ADC中，AD＝4，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝8，则CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6．3．（1）证明：在△ABC中，AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∵D为AB中点，∴DH＝AB，∵E，F分别为BC，AC边中点，∴EF＝AB，∴DH＝EF；（2）∵D、E分别为AB、BC中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F为AC中点，∴AF＝AC，∴DE＝AF，∴四边形DEFA为平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵DH＝AB＝AD，∴∠BAH＝∠DHA，∵F为AC中点，∠AHC＝90°，∴FH＝AC＝AF，∴∠HAC＝∠AHF，∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH，即∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．4．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．5．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．6．解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵点F为等边△DCE边CE的中点，∴DF是CE的垂直平分线，∴GE＝GC，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝15°，∴∠GEC＝∠GCE＝60°﹣15°＝45°，∴GC⊥AE，∴△AGC为直角三角形，∵∠GAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，AG＝2，∴GC＝GE＝AG＝2；故答案为：2；（2）由（1）可得AC＝4，则DC＝2，在等边△DCE中DF＝，在等腰直角△CGE中，由斜边上中线等于斜边的一半得GF＝，∴DG＝﹣．（3）如图2，过D作DN⊥AE于N，过A作AM⊥AE交GD的延长线于M，∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠DAN＝∠CDN，∵AD＝DC＝DE，∴∠DAN＝∠CDN＝∠DEA，∵F是CE中点，∴∠CDF＝∠EDF，∵∠NDG＝∠CDN+∠CDF，∠DGN＝∠DEA+∠EDF，∴∠NDG＝∠DGN＝45°，∴∠M＝45°，∴AM＝AG，∵∠DAM+∠DAN＝90°，∠BAG+∠DAN＝90°，∴∠DAM＝∠BAG，在△MAD和△GAB中，，∴△MAD≌△GAB（SAS），∴BG＝DM，∴BG+DG＝DM+DG＝MG＝AG＝×2＝2．7．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠EBO，∵O为BD的中点，∴DO＝BO，在△PDO和△EBO中，，∴△PDO≌△EBO（ASA），∴OP＝OE；（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝2tcm，∴PD＝8﹣2t，由题意：PB＝PD，∴PB2＝PD2，即AB2+AP2＝PD2，∴62+4t2＝（8﹣2t）2，解得t＝，∴当t＝时，四边形PBED是菱形．8．（1）解：∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，即AC平分∠BAD、∠BCD．∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直．故选①、③．（2）证明：∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．9．解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BE＝BC，即△BEC是等腰三角形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝AEB＝45°，∴AB＝AE＝a，由勾股定理得：BE＝＝a，即BC＝BE＝a．10．解：（1）由题意：A（2，0），B（2，6），C（﹣2，6），D（﹣2，0）；（2）经过3s运动的路程为6，6﹣2＝4，∴点P在线段AB上，P（2，4）；（3）∵OA＝2，△POA的面积为5平方单位．∴点P到AD的距离为5，∴t＝＝3.5s或＝6.5s，∴经过3.5s或6.5s时间，△POA的面积为5平方单位．（4）当点P在线段BC上时，△POA的面积最大，需要经过＝4s，＝6s，∴当4≤t≤6s时，△POA的面积最大．11．解：（1）∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠DBO、∠AEO＝∠BDO，∵O是AB的中点，∴AO＝BO，在△AOE和△BOD中，∵，∴△AOE≌△BOD（AAS），∴AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC、D是BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．12．证明：（1）∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO，∠AFO＝∠CEO，∴在△AFO和△CEO中，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴FO＝EO，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）∵AF＝BF，CE＝DE，BF＝BE，DF＝DE，∴△ABF，△CDE，△BEF，△DEF都是等腰三角形．13．证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE与△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）设EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．14．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH，∴∠DAH＝∠DCH；②解：结论：△GFC是等腰三角形，理由：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形．（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝5，在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可证GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为7或1．15．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，在Rt△ADF与Rt△DCE中，∴Rt△ADF≌Rt△DCE（HL）；（2）设AF与DE交于G，∵Rt△ADF≌Rt△DCE（HL），∴∠DAF＝∠CDE，∴∠DGF＝∠DAF+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴AF⊥DE．。
(人教版)上海八年级数学下册第十八章《平行四边形》习题(培优)
一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（ ）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠D解析：D【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）A ．22B ．23C ．231+D ．232+D解析：D 【分析】 连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GIHF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI ， 则有1FIGI ， ∴31EF HF HI FI ，∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）A ．52B ．26C ．13D ．39C解析：C【分析】 设平行四边形AB 边上的高为h ，分别表示出△ACE 的面积和平行四边形ABCD 的面积，从而求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，12CE CD =， 设平行四边形AB 边上的高为h ，∴△ACE 的面积为：12CE h ⋅，平行四边形ABCD 的面积为2CE h ⋅， ∴△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的14， 又∵□ABCD 的面积为52cm 2，∴△ACE 的面积为13cm 2．故选C ．【点睛】 本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的14． 4．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．5．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若3AC =DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2C解析：C【分析】 根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，利用勾股定理求出BC ，再根据三角形中位线定理求出DE ．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，设BC=x ，则AB=2x ， ∴()222483x x =+， 解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥，∴DE=12BC=4， 故选C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出平行四边形ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵在平行四边形ABCD 中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴平行四边形ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．8．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（ ）A ．3B 17C ．25D ．35C解析：C【分析】 如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠,AFE AEF ∴∠=∠5AE AF ∴==，224AB AE BE ∴=-=，四边形ABEM 为矩形，43ME AB AM BE ∴====，，2MF ∴=，22+2 5.EF ME MF ∴==故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A 3B 423C ．2D 352解析：D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD 22AD AB +5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，∠DA′G ＝∠A ＝90°，∴∠BA′G ＝90°，BG ＝AB-AG ＝4-x ，A′B ＝BD-A′D ＝5-3＝2，∵在Rt △A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，∴x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， ∴AG ＝32， ∴在Rt △ADG 中，DG ＝22352AD AG +=． 故选：D ．【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题11．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．12．如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC的长再求出ΔABC 的周长【详解】∵点DE 分别是ABBC 的中点∴DE 是ΔABC 的中位线∴DE=AC ∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C △ABC=A解析：30【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC 的长，再求出ΔABC 的周长．【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，∴DE 是ΔABC 的中位线，∴ DE=12AC ， ∵ DE=2.5 ，∴ AC=5 ， ∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30．故答案为：30.【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm 故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半解析：9【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm ．故答案为9．【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．14．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【 解析：183【分析】由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得160,2BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =，在Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，160,2BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥ 30ABO ∴∠=︒63BD =33BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，222(33)(2)x x ∴+=22274x x +=解得3x =3AO ∴=6AC ∴=∴菱形的面积6362183S =÷=故答案为：183【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．16．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2120cm，正方形AECF的面积为250cm，则菱形的边长为___cm．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO∵正方形AECF的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2，∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ，∴22AB AO BO =+=25144+=13cm ， 故答案为13．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 17．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒． 65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE ，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 18．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 17【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =++．综上可知PB DB ''+17．故答案为：17． 【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF 进而得出FG 是△DCP 的中位线得出DG=GP=PE=再利用勾股定理得出BG 的长进而得出FG 即可【详解】解：如图过点C 作CP ∥BG 交DE 于点P ∵B解析：53【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF ，进而得出FG 是△DCP 的中位线，得出DG=GP=PE=12233DE =，再利用勾股定理得出BG 的长，进而得出FG 即可． 【详解】解：如图，过点C 作CP ∥BG ，交DE 于点P ．∵BC=CE=2，∴CP 是△BEG 的中位线，∴P 为EG 的中点．又∵AD=CE=2，AD ∥CE ，在△ADF 和△ECF 中，AFD EFC ADC FCE AD CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴CF=DF ，又CP ∥FG ，∴FG 是△DCP 的中位线，∴G 为DP 的中点．∵CD=CE=2，∴，因此DG=GP=PE=133DE =． 连接BD ，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．又∵BD =∴3BG ===．∴1124FG CP BG ===【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．20．如图，在正方形ABCD 中，，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD 于点M ，当满足四边形AGDF面积BCE =△时，线段AM 的长度是_______．【分析】根据正方形ABCD 得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且 解析：33【分析】根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，6AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12ACD S =正方形ABCD 面积，结合四边形AGDF 面积2BCE S =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABM NBM BCE NME EDM SS S S S ++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．【详解】∵正方形ABCD∴90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD ，6AB BC CD AD ====∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠=∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF ADG △≌△∴CDF ADG S S =△△∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S S +=+==△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=16632⨯⨯= ∵11622BCE S BC CE CE =⨯=⨯△，且满足四边形AGDF 面积2BCE S =△ ∴12632CE ⨯⨯= ∴3CE = ∴22633BE BC CE =+=+=如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME∵∠ABE 的平分线交AD 于点M∴ABM NBM ∠=∠∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠= ∴ABM NBM △≌△∴6BN AB ==，MN AM =设AM x = 162ABM NBM S S AB x ==⨯=△△ 113632222BCE S BC CE =⨯==△ ()(11136222NME S NE MN BE BN MN x =⨯=-⨯=-△ ()())111636222EDM S ED DM CD CE AD AM x =⨯=-⨯-=△ ∵ABM NBM BCE NME EDM S S S S S ++++=正方形ABCD∴()63112236636662222x x x ⨯+=∴63333x ==-+ 故答案为：33-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．三、解答题21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝22，AB ＝23，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．（1）求证：∠ACB ＝90°；（2）求线段BE 的长度．解析：（1）见解析；（211【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝90°；（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．∵D 是AB 的中点，AB ＝3CE ＝CD ，∴CE ＝CD ＝12AB 3 ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE 22BC EC +22(22)(3)+11【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．22．已知：在Rt△ABC中，90BAC∠=，DE是直角边AB的垂直平分线，DBA ABC∠=∠，连接AD．求证：（1）四边形ADBC是梯形；（2）12AD BC=．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB，进而可以证明AD∥BC，可以证出四边形ADBC是梯形；（2）延长DE交BC于F，证明△BDE≌△BFE，从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DBA=∠DAB，∵∠DBA=∠ABC，∴∠ABC=DAB，∴AD∥BC，∵AC与BD不平行，∴四边形ADBC是梯形，（2）如图，延长DE交BC于F，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC =． 【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．23．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A D ∠=∠=︒，点E 是AD 的中点，连接BE ，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在四边形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ，连接EF ．（1）求证：EGF EDF △△≌；（2）求证：BG CD =；（3）若点F 是CD 的中点，8BC =，求CD 的长．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）42【分析】（1）根据HL 证明Rt △EGF ≌Rt △EOF 即可；（2）证明四边形ABCD 为矩形，可得BG=CD ；（3）设CD=x ，分别表示出BE 2，EF 2，BF 2，证明∠BEF=90°，利用勾股定理得到方程，解之即可．【详解】解：（1）∵E 是AD 中点，∴AE=DE ，由折叠可知：AE=EG ，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED ，又EF=EF ，∴Rt △EGF ≌Rt △EOF （HL ）；（2）△ABE 折叠得到△GBE ，∴AB=BG ，∵AD ∥BC ，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC ，∴BG=CD ；（3）∵点E 是AD 中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F 是CD 中点，∴设CD=x ，则DF=12x ， 则BE 2=BG 2+EG 2，即BE 2=CD 2+AE 2， 即BE 2=x 2+42，且EF 2=DE 2+DF 2，即EF 2=42+（12x ）2， 且BF 2=BC 2+CF 2，即BF 2=82+（12x ）2， ∵∠AEB=∠GEB ，∠DEF=∠GEF ，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF 2=BE 2+EF 2，∴82+（12x ）2= x 2+42+42+（12x ）2， 解得：x=42，即CD=42．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟记性质，找出三角形全等的条件，合理利用勾股定理得到方程是解题的关键．24．如图，点E 在ABCD 内部，//,//AF BE DF CE ．（1）求证：BCE ADF ≅∆；（2）求证：AEDF 1S 2ABCD S =四边形解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明CBE DAF ∠=∠，BCE ADF ∠=∠，然后利用ASA 证明：△BCE ≌△ADF ；（2）根据点E 在ABCD 内部，可知：S △BEC +S △AED =12S ▱ABCD ，可得结论． 【详解】解：()1四边形ABCD 是平行四边形， ,//AD BC AD BC =，180,ABC BAD ∴∠+∠=//,AF BE180,EAB BAF ∴∠+∠=︒,CBE DAF ∴∠=∠同理得,BCE ADF ∠=∠()BCE ADF ASA ∴∆≅∆()2点E 在ABCD 内部，∴12BEC AED ABCD S S S ∆∆+=，由()1知： ,BCE ADF ∆≅∆BCE ADF S S ∆∆∴=∴AEDF 1S 2ADF AED BEC AED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+=+=四边形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．25．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =， OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在边AB 上，点 G 是线段AD 的中点．（1）求ABD ∠的度数；（2）求证：OG 平分AOB ∠．解析：（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．【分析】（1）只需要证明△BOD ≌△AOC ，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得ABD ∠的度数；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，可证明△OBE ≌△OBA ，得出OA=OE ，从而得出OG 为△ADE 的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，OA OB =，∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC （SAS ），∴∠OBD=∠OAB=45°，∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°，又∵OB=OB ，∠OBD=∠OBA=45°，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA ，又∵G 为AD 的中点，∴OG 为△ADE 的中位线，即OG//ED ，∴∠AOG=∠E=45°，即12AOG AOB ∠=∠ ， ∴OG 平分AOB ∠．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．27．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，且90EDF ∠=︒．求证：DE DF =．解析：见解析【分析】利用ASA 证明△ADE ≌△CDF 即可得到结论．【详解】 证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90A DCF ADC ∠=∠=∠=︒，又90EDF ∠=︒，ADC EDC EDF EDC ∴∠-∠=∠-∠．ADE CDF ．在ADE 与CDF 中，ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴△≌△．DE DF ∴=．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 28．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．解析：（1）是；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为长方形的四个角都是直角，所以长方形是美妙四边形；（2）连接BD ，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，根据勾股定理可以解决；（3）连接AD ，利用等腰直角三角形的性质证明90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，于是可证ADF BDE ∠=∠，继而证明用ASA 证明BED AFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得BE AF =，据此可得AE AF AB +=．【详解】解：（1）∵长方形的四个角都是直角，∴长方形是美妙四边形；故答案是：是；（2）如图1，连接BD ，在Rt △ABD 中，222BD AB AD =+，在Rt △CBD 中，222BD BC CD =+，∴2222CD CB AD AB +=+，∴2222CD AB AD BC -=-；（3）如图2，连接AD ，∵四边形AEDF 是美妙四边形，90A ∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∵,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，∴90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴ADF BDE ∠=∠，在Rt △ADF 和Rt △BDE 中，DAF DBE AD BDADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BED AFD ASA ∆≅∆BE AF ∴=，AE AF AE BE AB ∴+=+=【点睛】本题考查了四边形综合问题，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．。
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人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。