新北师大版七年级数学上册第二章复习
(5) 互为相反数的绝对值相等.即 a a . (6) a b a b或a b
5.绝对值:
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做 该数的绝对值.
3 2 -3 –2 –1 0 1
4 2 3 4
1）数a的绝对值记作︱a︱;
2) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
正数的绝对值是它本身,负数的绝对 值是它的相反数,0的绝对值是0.即
20、已知|a|=5,|b|=2, ab<0.
求：(1). a-b的值; (2). ab的值.
±5 解：(1) ∵|a|=5,∴a=_______
∵|b|=2,∴b=_______ ±2 ∵ab<0 ∴当a= 5 时，b= -2 , 此时 a-b=___ 7 当a= -5 时，b= 2 ，此时 a-b=___ -7
有 理 数
有 理 数
整数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3…
分数
正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
正有理数 0 负有理数
1、数轴：带箭头直线、原点、单位长度 -3 –2 –1 0 1 2 3 4
1）在数轴上表示的两个数， 右边的数总比左边的数 大 ；
4
1 5
4
4. 2 3
2
1 2007 1 1 0.5 3
1 解.原式 2 9 1 1 6
11 77 7 6 6
=11+(－22) – ( － 33 ) =11+(－22) + 33 =22
注意符号！
3 7 7 （2）（ ） 4 8 8
3 7 7 解. （2）（ ） 4 8 8 3 8 7 8 4 7 8 7 6 1 7 1 7
18.下列说法中，正确的是( D ) (A). 0是最小的有理数 (B). 0 是最小整数 (C) .0的倒数和相反数都是0 (D) .0是最小的非负数
19.下列说法中，正确的是（A ） A. 一个有理数的绝对值不小于它自身; B. 若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等. C. 若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为 相反数; D. －a的绝对值等于a
a a 0 a
a 0 , 即a为正数 a 0 , 即a为0 a 0 . 即a为负数
1 2
a aa0
注意不要丢掉a 0的情况. a a a 0
a
6.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
1 (1) a 的倒数为a
∴a-b=_______ 7或-7
-10 (2) ab=_______
三.a、b、c在数轴的位置如图：
c b
0
a
则 a b—— 0，b c—— 0 b c—— 0， a b） 0 （ ——
化简 c a b c a b c 结果为
。
5
8、把在数轴上表示-2的点移动4个单位长度后，所得到的点 对应的数是 ； 9、最大的负整数与绝对值最小的数的和是 ； 10、一个负数在增大时，它的绝对值在 ，一个正数在增 大时，它的绝对值在 ；
16.在数轴上与表示-1的点相距4个单位
-5或3 长度的点表示的数是＿＿＿＿＿。 17.有理数a,b在数轴上对应位置如图所示， 则a+b的值为（ B.） a-b的值为（ A.） A.大于0 C.等于0 B.小于0 D.大于a
n
1.34表示 2.(-3)2
幂
a
n
指数
-(-3)2
3.(-5)8与 58
4.xm 表示
底数
简单地说：
有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，就先算括号里面的．
计算：（1）11+（－22）－3×(－11) 解：（1）11+(－22)－3×(－11)
先乘除,后加减
2. 2 2 2
2
注意符号！
2
注意符号！
解.原式 4 2 4
2
1 3 3. 1 1 0.5 3 3 3 1 解.原式 1 0.5 3 27 3 1 1 0.5 30 3
2）正数都大于0,负数都小于0； 正数大于一切负数； 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。
4.相反数
-a 1）数a的相反数是_______ （a是任意一个有理数）；
2）0的相反数是0.
0 3）若a、b互为相反数，则a+b=___.
-4
-2 2
4
-4 -3 –2 –1
0
1
2
3
4
(1) 通常用a与 a 表示一对相反数. (2) a与b互为相反数 a b 0. (3) a b的相反数是b a. (4) a b的相反数是 a b.
__，没有最大的正整数，没有最小的负 1
整数.
非负数 （4）绝对值等于它本身的数_______
8、有理数的大小比较 (1) 正数都大于0,负数都小于0,即
负数< 0 <正数. (2) 在数轴上表示的有理数,右边的总比左 边的大.
(3) 两个负数比较大小,绝对值大的反 而小.
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。 即a· · ···· = a aa · a n 个
5 7 1 6
练习题
一、基础知识：
1、所有的有理数都能用数轴上的点表示。（ ） 2、有理数分为正数和负数。（ ） 3、带正号的数是正数，带负号的数是负数。（ ） 4、最小的整数是0。（ ） 5、在一个有理数前面添上负号，就可以得到负数。（ ）
6、a与-a中必有一个是负数 （ ） 7、 3 2 的相反数是 ；
(2)0没有倒数.
(3)若a与b互为倒数，则ab=1. (4)分数 的倒数为 ，带分数求 倒数先化成假分数
n m
m n
7.几个特殊的数
-1、1 （1）倒数等于它本身的数是_______
（2）相反数等于它本身的数只有__， 0
0 __是绝对值最小的有理数.
-1 （3）最大的负整数为__，最小的正整数为
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数学·北师大版·七年级上册第二章 有理数及其运算1 有理数1. [2021成都月考]下列是具有相反意义的量的是 ( )A.身高增加1 cm和体重减少1 kgB.顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C.向右走2米和向西走5米D.增大2岁与减少2元答案1.B2. [2021济宁中考]若盈余2万元记作+2万元,则-2万元表示 ( )A.盈余2万元B.亏损2万元C.亏损-2万元D.不盈余也不亏损答案2.B 因为盈余用“+”表示,所以亏损用“-”表示,所以-2万元表示亏损2万元.3.数学文化[2021兰州中考B卷]《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.大意是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若水位上升2 m记作+2 m,则下降1 m记作 m.答案3.-1 4. [2022吉林省第二实验学校期末]下列四个数中,为负数的是 ( )A.-2 022B.0C.0.8D.2答案4.A 5. [2022淮南月考]在2,-3.5,0,-23,-0.7,11中,负数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案5.C 负数有-3.5,-23,-0.7,共3个.6.下列各组数都是正数或都是负数的是 ( )A.8,4,-2B.1,5.2,12C.-6,0.5,0D.0,6,9答案6.B7. 易错题关于负数有下列4种说法:①在某个数的前面加上符号“-”得到的数;②不大于0的数;③除去正数的其他数;④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是 .(填序号)答案7.④ ①在0的前面加上符号“-”得到的数还是0,不是负数,①错误;②不大于0的数还包括0,②错误;③除去正数的其他数中还有0,③错误;易知④正确.故答案是④.8.易错题[2022西安高新一中期末]在35,-12,+3.5,0,-π2,-0.7中,负分数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案8.B -12和-0.7是负分数.需要注意,-π2不是有理数,所以不是负分数.故负分数有2个.9.某综艺节目有一个环节是竞猜游戏:两人搭档,一人用语言描述,一人回答,要求描述者不能说出答案中的字或数.如果现在给你的数是0,那么你给搭档描述的不可能是下列说法中的 ( )A.既不是正数也不是负数的数B.最小的自然数C.最小的整数D.最小的非负数答案9.C C项,既没有最大的整数也没有最小的整数.10. [2022南阳期末]下列说法正确的是 ( )A.正分数和负分数统称为分数B.正整数和负整数统称为整数C.0既可以是正整数,也可以是负整数D.一个有理数不是正数就是负数答案10.A 选项分析结论A正分数和负分数统称为分数正确B正整数、0和负整数统称为整数错误C0既不是正整数,也不是负整数错误D0是有理数,但0既不是正数,也不是负数错误11. 给出一个数-107.987及下列判断:①这个数不是分数,但是有理数;②这个数是负数,也是分数;③这个数不是有理数;④这个数是负小数,也是负分数.其中判断正确的序号是 .答案11.②④12. 把下列各数填在相应的括号内:-16,26,-12,-0.92, 35,0,314,0.100 8,-4.95·.正数集合:{ …};负数集合:{ …};整数集合:{ …};正分数集合:{ …};负分数集合:{ …}.答案12.解:正数集合:{26,35,314,0.100 8,…};负数集合:{-16,-12,-0.92,-4.95·,…};整数集合:{-16,26,-12, 0,…};正分数集合:{35,314,0.100 8,…};负分数集合:{-0.92,-4.95·,…}.1. [2022北京延庆区期末]2022年北京冬奥会期间,试点使用数字人民币支付成为一大亮点.小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元,记作+100元,那么-40元表示 ( )A.支出40元B.收入40元C.支出60元D.收入60元答案1.A 因为存入记作正数,所以支出记作负数,所以-40元表示支出40元.2.教材P25随堂练习T1变式人的正常体温约是37 ℃,我们把体温超过正常体温的部分记作正数,那么-0.3 ℃表示 ( )A.体温为零下0.3 ℃B.体温为零上0.3 ℃C.体温为37.3 ℃D.体温为36.7 ℃答案2.D -0.3 ℃表示比人的正常体温37 ℃低0.3 ℃,37-0.3=36.7(℃).3.新情境[2022厦门湖里区期末]小明积极配合小区进行垃圾分类,并把可回收物拿到废品收购站回收换钱,这样既保护了环境,又可以为自己积攒一些零花钱.下表是他12月份的部分收支情况(单位:元).表格中“-2.5”表示的是( )A.卖可回收物换回的钱数B.买书的钱数C.买书时妈妈代付的钱数D.买书的钱与妈妈代付的钱数之和答案3.C 日期收入(+)或支出(-)结余备注1日 4.517.5卖可回收物5日-20-2.5买书,不足部分由妈妈代付4.教材P26习题2.1T6变式[2021郑州枫杨外国语学校月考]规定45分钟为1个单位时间,并以每天上午9时记作0,9时以前的时间记作负数,9时以后的时间记作正数.例如:8:15记作-1;9:45记作+1,依此类推,则上午7:30应记作 .答案4.-2 因为从上午7:30到9:00共90分钟,含2个45分钟,且7:30在9时之前,所以7:30应记作-2.5. 新考法[2022龙岩新罗区期末]如图,标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间,根据下表给出的伦敦、悉尼、纽约与北京的时差(“﹢”表示同一时刻比北京早的时间,“-”表示同一时刻比北京晚的时间),表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 .答案5.①④②③ 由题中表格,可得伦敦时间比北京时间晚8小时,悉尼时间比北京时间早2小时,纽约时间比北京时间晚13小时,结合题图,可知这一时刻北京时间是4时(或16时),所以伦敦时间为20时(或8时),悉尼时间为6时(或18时),纽约时间为15时(或3时).故表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是①④②③.6.教材P26习题2.1T3变式在表中符合条件的空格里画上“√”.答案6.解:有理数整数分数正整数负分数自然数-8是-2.25是35是0是有理数整数分数正整数负分数自然数-8是√√-2.25是√ √ √ 35是√ √ 0是√√ √7.如图,在生产图纸上通常用Φ300−0.5+0.2来表示轴的加工要求,这里Φ300表示直径是300 mm,+0.2和-0.5是指直径在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是Φ45−0.04+0.03,请检验直径为44.97 mm和45.04 mm的两根轴是否为合格产品.答案7.解:这批轴的尺寸要求是在(45-0.04)mm到(45+0.03)mm之间,即尺寸在44.96 mm到45.03 mm之间都为合格.所以直径为44.97 mm的轴合格,直径为45.04 mm的轴不合格.2 数轴1.关于数轴,下列说法最准确的是 ( )A.一条直线B.有原点、正方向的一条直线C.有单位长度的一条直线D.规定了原点、正方向、单位长度的一条直线答案1.D2. [2021凉山州中考]下列数轴表示正确的是 ( )答案2.D 选项分析结论A正数应在原点右边,负数应在原点左边,且按从小到大的顺序从左往右排错误B负数的大小顺序标反,应从原点向左依次标-1,-2,-3,…错误C 缺少原点错误D 有原点、正方向和单位长度正确3. [2022金华期末]如图,数轴上一个点被叶子盖住了,这个点表示的数可能是 ( )A.2.3B.-1.3C.3.7D.1.3答案3.A 由题图知,叶子盖住的点位于表示2和3的点之间,选项中只有2.3对应的点符合.4.a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列说法正确的是 ( )A.a,b,c为正数B.a,b,c为负数C.a,b为正数,c为负数D.a,b为负数,c为正数答案4.C 原点表示0,原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数.因为表示a,b的点在原点右边,表示c的点在原点左边,所以a,b为正数,c为负数.5. [2022四平期末]对数轴上表示-3的点的位置的描述,正确的是 ( )A.在表示-4的点的左边B.在表示-2的点和原点之间C.由表示1的点向左移动4个单位长度得到D.和原点的距离是-3答案5.C 表示-3的点在表示-4的点的右边,在表示-2的点的左边,故A项、B项错误;表示-3的点和原点的距离是3,故D项错误.6. [2022广州白云区期末]如图,数轴上的点M表示有理数2,则表示有理数6的点是 ( )A.点AB.点BC.点CD.点D答案6.D 因为点M表示有理数2,所以数轴上每个刻度为2个单位长度.因为点D距离原点3个刻度,且在原点的右侧,所以点D表示的数是6,即表示有理数6的点是点D.7. 给出下列语句:①数轴上的点仅能表示整数;②数轴上表示-2的点有2个;③在数轴上表示0和2的点之间,表示有理数的点只有1个;④数轴上表示-a的点一定在原点的左边;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点表示.其中正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案7.A 根据“任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示”知①错误,⑤正确;数轴上表示-2的点只有1个,故②错误;在数轴上表示0和2的点之间,表示有理数的点有无数个,故③错误;当a=0时,数轴上表示-a的点是原点,故④错误.故正确的有1个.8.易错题[2020乐山中考]数轴上点A表示的数是-3,将点A在数轴上移动7个单位长度得到点B,则点B表示的数是 ( )A.4B.-4或10C.-10D.4或-10答案8.D 点A表示的数是-3,将点A在数轴上向负方向移动7个单位长度后,对应的点B表示的数是-10;将点A在数轴上向正方向移动7个单位长度后,对应的点B表示的数是4.综上,点B表示的数是4或-10.9. [2021河南省实验中学期中]一辆货车从超市出发,向东走了3 km,到达小刚家,继续向东走了4 km到达小红家,又向西走了10 km到达小英家,最后回到超市.(1)请以超市为原点,以向东方向为正方向,用1个单位长度表示1 km,画出数轴,在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置.(2)小英家距小刚家有多远?(3)货车一共行驶了多少千米?答案9.解:(1)如图所示:(2)小英家与小刚家的距离为3+3=6(km).(3)货车一共行驶的里程数为3+4+10+3=20(km).10. [2021贺州期中]有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列关系正确的是 ( )A.c<0<a<bB.a<b<0<cC.b<a<0<cD.a<b<c<0答案10.C 因为在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数,所以b<a<0<c.11. [2021呼和浩特中考]几种气体的液化温度(标准大气压)如表:其中液化温度最低的气体是( )A.氦气B.氮气C.氢气D.氧气答案11.A 在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.将-183,-253,-195.8,-268用数轴上的点表示出来(图略),最左边的点表示的数为-268,所以液化温度最低的气体是氦气.12. 画出数轴,用数轴上的点表示下列各数,并用“<”将它们连接起来: -4,3,-214,0,1,-1.5.答案12.解:如图所示:用“<”将它们连接起来为-4<-214<-1.5<0<1<3.1. [2022张家口宣化区期末]如图,在数轴上有A,B,C,D四个点,分别表示四个不同的数,若从这四个点中选一点为原点,使得其余三个点表示的数中有两个正数和一个负数,则这个点是 ( )A.点AB.点BC.点CD.点D答案1.B 当点B为原点时,点A表示的数为负数,点C和点D表示的数为正数.2. [2021郑州期中]已知小红、小刚、小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上,如果把直线看作数轴,四人所在的位置如图所示,则下列描述错误的是( )A.数轴是以小明所在的位置为原点B.数轴以向北为正方向C.小刚所在的位置对应的数有可能是-53D.小刚在小颖的南边答案2.C 由题图易知小明所在的位置为原点,向北为正方向,小刚在小颖的南边,所以A,B,D项描述正确.因为小刚所在的位置对应的数在-3与-2之间,所以不可能是-53,所以C项描述错误.3.易错题数轴上原点及原点右边的点所表示的数是( )A.负数B.非负数C.正数D.非正数答案3.B 数轴上原点右边的点表示的数是正数,原点表示的数为0,所以原点及原点右边的点所表示的数是非负数.4.若点A从原点开始,先向右移动1个单位长度,再向左移动3个单位长度,这时该点所表示的数是( )A.2B.-2C.8D.-8答案4.B 点A从原点开始,向右移动1个单位长度,此时该点所表示的数是1,再向左移动3个单位长度,此时该点所表示的数是-2.5. [2022衢州衢江区期末]如图,在数轴上,用①②③④注明了四段的范围,若某段上有两个表示整数的点,则这段是( )A.①B.②C.③D.④答案5.C 对于段①,-0.5~0.7中的整数为0;对于段②,0.7~1.9中的整数为1;对于段③,1.9~3.1中的整数为2和3;对于段④, 3.1~4.3中的整数为4.所以有两个表示整数的点的是段③.6. [2022淄博张店区期末]如图,将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm),刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上表示3和0的点,那么刻度尺上“5.4 cm”对应数轴上的点表示的数为 ( )A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6答案6.B 刻度尺上5.4 cm对应数轴上的点与数轴上原点(刻度尺上表示3的点)的距离为2.4个单位长度,且该点在原点的左侧,故刻度尺上“5.4 cm”对应数轴上的点表示的数为-2.4.7. [2022深圳十校期中联考]数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3,点P到A,B两点的距离之和为6,则点P表示的数是 ( )A.-3B.-3或5C.-2D.-2或4答案7.D 由题意可知,A,B两点间的距离为4.①当点P在点A的左边时,因为点P到A,B两点的距离之和为6,所以点P到点A 的距离为1,到点B的距离为5,此时点P表示的数为-2;②当点P在点B的右边时,因为点P到A,B两点的距离之和为6,所以点P到点A的距离为5,到点B的距离为1,此时点P表示的数为4.综上所述,点P表示的数是-2或4.8. [2021西安雁塔区期中]如图,圆的周长为4个单位长度,圆周的四等分点分别为A,B,C,D,先将圆上的A点与数轴上表示1的点重合,如果将圆沿着数轴向左滚动,那么圆上与数轴上表示-2 021的点重合的点是 ( )A.AB.BC.CD.D答案8.C 数轴上表示1的点与表示-2 021的点之间的距离为2 022个单位长度,2 022÷4=505……2,所以圆上的C点与数轴上表示-2 021的点重合.9. [2022连云港期末]点A在数轴上所表示的数是-1,则在数轴上与点A距离4个单位长度的点所表示的数是 .答案9.3或-5 有两种情况,与点A距离4个单位长度的点可能在点A左侧,也可能在点A右侧.所以在数轴上与点A距离4个单位长度的点表示的数是3或-5.10. [2022济宁期中]小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上,如图所示,则被污染的部分内,表示整数的点有 个.答案10.911. 如图,在数轴上有三个点A,B,C,请根据图中信息回答下列问题:(1)A,C两点间的距离是多少?(2)若点D与点B之间的距离是6个单位长度,则点D表示的数是什么?(3)在(2)的前提下,若把数轴的原点取在点B处,其余条件不变,则点A,B,C,D表示的数分别是什么?答案11.解:(1)A,C两点间的距离是7个单位长度.(2)当点D在点B的右边时,点D表示的数是4;当点D在点B的左边时,点D表示的数是-8.所以点D表示的数是4或-8.(3)点A表示的数是-2,点B表示的数是0,点C表示的数是5,点D表示的数是±6.素养提升12. [2022杭州西湖区模拟]如图,已知在纸面上有一条数轴.操作一:(1)折叠纸面,使表示1的点与表示-1的点重合,则表示-2的点与表示 的点重合.操作二:(2)折叠纸面,使表示-1的点与表示3的点重合,回答下列问题:①表示5的点与表示 的点重合;②表示-1.5的点与表示 的点重合;③若数轴上A,B两点之间的距离为2 021个单位长度(A在B的左侧),且折叠后A,B两点重合,求A,B两点表示的数.答案12.解:(1)2因为表示1的点与表示-1的点重合,所以折痕经过数轴上表示0的点,所以表示-2的点与表示2的点重合.(2)①-3;②3.5因为表示-1的点与表示3的点重合,所以折痕经过数轴上表示1的点,所以表示5的点与表示-3的点重合,表示-1.5的点与表示3.5的点重合.③因为A,B两点之间的距离为2 021个单位长度,且折叠后A,B两点重合,所以A,B两点到折痕经过的数轴上的点的距离均为1 010.5个单位长度,由①知折痕经过数轴上表示1的点,且A在B的左侧,所以点A表示的数为-1 009.5,点B表示的数为1 011.5.3 绝对值课时1 相反数1. [2021百色中考]-2 022的相反数是 ( )A.-2 022B.2 022C.±2 022D.2 021答案1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,故-2 022的相反数是2 022.2. [2021三门峡期末]在0和0,34和-34,13和3这三对数中,互为相反数的有( )A.3对B.2对C.1对D.0对答案2.B 0和0互为相反数,34和-34互为相反数,13和3不互为相反数.3. [2022襄阳期末]若一个数的相反数是它本身,则这个数为 ( )A.0B.1C.-1D.不存在答案3.A 正数的相反数是负数,0的相反数是0,负数的相反数是正数,所以相反数是它本身的数为0.。
七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 (知识归纳+考点攻略+方法技巧)复习课件(新版)北师大版
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第二章复习
方法技巧 用正数和负数表示具有相反意义的量，关键是看规定 哪种意义的量为正，则与之相反意义的量为负．
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第二章复习 ►考点五 有理数的大小比较
用“＞”或“＜”填空：
(1)9___＞_____－16； (2)－175___＜_____－125；(3)0___＞_____－7.
[解析] 因为正数大于负数，所以 9＞－16；因为在数轴
7
2
数学5·课标版（BS）
第二章复习
(4) 运 算 律 ： ① 交 换 律 ： a·b ＝ _____ ； ② 结 合 律 ： (a·b)·c ＝
__a_·(_b_8(·1_．c))_法有则；理一③数：乘的两法除数对法相加除法，的同分号配得律_：_b_·a_a(，b＋异c号)＝得_a__b___＋___，_a_c并__把. 绝对
2最0新19北/11师/8大版初中数学精品
数学2·1 课标版（BS）
第二章复习
易错警示
(1)－22 与(－2)2 不同，－22 的底数是 2，(－2)2 的底数
是－2；
(2)在计算 12÷
12―13―14时，要清楚除法没有分配律；
(3)有理数的混合运算一定要按照顺序进行，同时要注
意每一步运算的符号．
幂
底数
指数
2019/11/8
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6数学·课标版（BS）
第二章 有理数及其运算 复习课 课件 2024-—2025学年北师大版数学七年级上册
解:(1)100×3+10-6-8=296(个), 所以前三天共生产296个. (2)18-(-12)=18+12=30(个), 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个. (3)这一周多生产的总个数是10-6-8+15-12+18-9=8(个), 10×700+12×8=7096(元). 答:该厂工人这一周的工资总额是7096元.
解:若在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,则这两个 数到原点的距离分别是3和6,所以这两个数是-3, 6或6,3.若在数轴上表示这两数的点位于原点的同侧,则这两 个数到原点的距离分别是9和18,所以这两个数是-18,-9或 18,9.
·导学建议· 本章所涉及的概念较多,相互之间联系紧密,所以要特别注 意概念的巩固.像第3题这种答案有两种情况的题目学生易出错, 尽量让学生用画图的方法反复体会,形象直观地理解、记忆.
解:(1)正整数;正分数. (2)如图所示:
正确理解有理数有关的概念
例2 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=2,求a4+mb+m-3cd 的值.
解:因为a、b互为相反数, 所以a+b=0. 因为c、d互为倒数, 所以cd=1. 因为|m|=2, 所以m=±2. 所以,原式=0+2-3=-1或原式=0-2-3=-5.
变式训练
去年10月初,由于受台风影响,某地区的水位发生了变化,该 区10月6日的水位是2.83米,由于各种原因,水位一度超过警戒线, 下表是该区10月7日至12日的水位变化情况(单位:米).
日期 7 8 9 10 11
12
水位 +0.41 +0.09 -0.04 +0.06 -0.45
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习教案
（2）有理数的性质，如相反数、绝对值的概念和理解。
（3）有理数的加减乘除运算规则，包括同号相加、异号相加、乘法法则等。
（4）混合运算的顺序和法则，以及在实际问题中的应用。
举例：
-重点讲解正负数的加减法运算，如3 + (-2)的计算方法和规则。
最后，通过这节课的教学，我认识到要关注每一个学生的个体差异。对于学习有困难的学生，我需要给予更多的关心和指导，帮助他们克服困难，提高学习效果。同时，对于学习优秀的学生，我也要适当提高要求，让他们在掌握基础知识的同时，拓展思维，提高解决问题的能力。
3.培养学生具备良好的逻辑思维能力，通过有理数运算掌握数学推理方法。
4.培养学生养成数学运算的准确性和规范性，提高运算速度和效率。
5.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，激发学习数学的兴趣和积极性。
6.培养学生面对数学问题敢于探究、勇于创新的精神，发展数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容包括：
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习教案
一、教学内容
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习教案，主要包括以下内容：
1.有理数的概念：正数、负数、整数、分数、有理数的定义及其分类。
2.有理数的性质：相反数、绝对值、有理数的加减乘除运算性质。
3.有理数的运算：
（1）有理数的加减法运算：同号相加、异号相加、加减混合运算。
-难点巩固：通过复杂混合运算的题目，训练学生识别运算顺序，正确运用括号，解决实际问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《有理数及其运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算相反意义的量，比如温度上升和下降？”这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾有理数的奥秘。
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）. l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。
最新北师大版七年级数学上册第二章测试卷
最新北师大版七年级数学上册第二章测试卷1、在数轴上，与原点等距离的两点所表示的数的关系是（）A、相等B、互为相反数C、互为倒数D、不能确定正确答案：B解析：与原点等距离的两点所表示的数互为相反数。
2、一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，则两数和一定是（）A、正数B、负数C、零D、不能确定和的符号正确答案：B解析：一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，说明这个正数比那个负数更小，两数和一定是负数。
3、一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（）A、24.70千克B、25.30千克C、25.51千克D、24.80千克正确答案：B解析：25±0.25千克表示这种面粉的质量在25千克左右，误差范围在0.25千克以内，因此25.30千克是合格的。
4、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（）A、7B、—7C、0D、5正确答案：0解析：绝对值大于2且小于5的所有整数有—4，—3，—2，2，3，4，它们的和为0.5、下列说法中正确的是（）A、最小的整数是B、有理数分为正数和负数C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D、互为相反数的两个数的绝对值相等正确答案：B解析：最小的整数不存在，有理数包括正数、负数和零，如果两个数的绝对值相等，它们不一定相等，而互为相反数的两个数的绝对值相等。
6、下列各式运算正确的是（）A、（—7）+（—7）=B、（+1）+（—1）=—1C、+（—101）=101D、（—1/10）+（+1/10）=正确答案：D解析：（—1/10）+（+1/10）=0.7、若a、b为有理数，a>0，b<0，且│a│<│b│，那么a，b，—a，—b的大小关系是（）A、b<—a<—b<aB、b<—b<—a<aC、b<—a<a<—bD、—a<—b<b<a正确答案：b<—a<—b<a解析：由于a>0，ba>0，又因为│a│a>0，即b<—a<—b<a。
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习题含答案解析 (1)
一、选择题1. 对于任意非零实数 a ，b ，定义运算“⊕”，使下列式子成立；1⊕2=−32，2⊕1=32，(−2)⊕5=2110，5⊕(−2)=−2110，⋯，则 (−3)⊕(−4)= ( ) A ．712B ． −712C ．2512D ． −25122. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点 A ，B ，C ，D 对应的数分别是数 a ，b ，c ，d ，且 d −2a =11，那么数轴上原点的位置应在 ( )A ．点 AB ．点 BC ．点 CD ．点 D3. 若 √x −1+(y +2)2=0，则 (x +y )2020 等于 ( ) A ． −1 B ． 1C ． 32020D ． −320204. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为 ( ) 1429 26320 38435⋯⋯⋯a18b xA ． 135B ． 153C ． 170D ． 1895. 如图，数轴上 A ，B ，C 三点所表示的数分别为 a ，b ，c ，且 AB =BC ．如果有 a +b <0，b +c >0，a +c <0，那么该数轴原点 O 的位置应该在 ( )A ．点 A 的左边B ．点 A 与 B 之间C ．点 B 与 C 之间D ．点 C 的右边6. 定义一种新运算：a ⋇b ={a −b,a ≥b3b,a <b ，则 2⋇3−4⋇3 的值 ( )A ． 5B ． 8C ． 7D ． 67. 已知 4−∣5−b∣−∣a +2∣=∣4+a∣+∣b −3∣，则 ab 的最大值是 ( ) A ． −12 B ． 20 C ． −20 D ． −68. 如图所示，数轴上点 A ，B 对应的有理数分别为 a ，b ，下列说法正确的是 ( )A ． ab >0B ． a +b >0C ． ∣a∣−∣b∣<0D ． a −b <09. 王老师有一个实际容量为 1.8 GB (1 GB =220 KB ) 的 U 盘，内有三个文件夹．已知课件文件夹占用了 0.8 GB 的内存，照片文件夹内有 32 张大小都是 211 KB 的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是 215 KB 的音乐．若该 U 盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐 ( ) 首． A ． 28 B ． 30 C ． 32 D ． 3410. 一串数字的排列规律是：第一个数是 2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为 1，则第 2020 个数是 ( ) A ． 2B ． −2C ． −1D ． 12二、填空题11. 对于正整数 n ，定义 F (n )={n 2,n <10f (n ),n ≥10，其中 f (n ) 表示 n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)=62=36，F (123)=12+32=10．规定 F 1(n )=F (n )，F k+1(n )=F(F (n ))（k 为正整数），例如，F 1(123)=F (123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F (10)=1．按此定义，则由 F 1(4)= ，F 2019(4)= ．12. 有理数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：−∣c −a ∣−∣b −a ∣+∣c ∣= ．13. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的，绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到野果 个．14. 定义新运算：对任意有理数 a ，b ，c ，都有 a ∗b ∗c =∣a−b−c∣+a+b+c2．例如：(−1)∗2∗3=∣−1−2−3∣+(−1)+2+32=5．将 −716，−616，−516，−416，−316，−216，−116，816，916，1016，1116，1216，1316，1416，1516 这 15 个数分成 5 组，每组 3 个数，进行 a ∗b ∗c 运算，得到 5 个不同的结果，那么 5 个结果之和的最大值是．15.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．×1×22，16.已知：13=1=14×22×32，13+23=9=14×32×42，13+23+33=36=14×42×52，13+23+33+43=100=14⋯根据上述规律计算：13+23+33+⋯+193+203=．17.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．三、解答题18.计算：÷(−3)2]；(1) −3−[−5+15×35(2) −12022+(−2)×(−3)2−(−2)3÷4．19.已知抛物线G:y=x2−2tx+3( t为常数）的顶点为P．(1) 求点P的坐标；(用含t的式子表示)(2) 在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称．①当t=1时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围．20.阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系，在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为AB=∣a−b∣，反之，可以理解式子∣x−3∣的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离．根据上述材料，利用数轴解决下列问题：(1) 若∣x−3∣=2，则x的值为；若∣x−5∣=∣x+1∣，则x的值为‘(2) 当x在什么范围时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值？并求出它的最小值．(3) 若a<2<b，在数轴上是否存在数x，使得∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由．21.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．(1) 直接写出：最小的“和平数”是；最大的“和平数”是．(2) 一个“和平数”，十位数字为方程5x−13=3的解，千位数字与个位数字的比为2:3，百位数字比千位数字小1，求这个“和平数”．(3) 将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．请直接写出：和是3333的所有“相关和平数”．22.某校初2021届1到4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，下表是实际购书情况：班级1班2班3班4班实际购数量(本)3321实际购数量与计划购数量的差值(本)+12−8−9(1) 完成表格；(2) 根据记录的数据可知4个班实际一共购书本？(3) 书店给出两种优惠方案，方案甲：一次购买不少于15本，其中2本书免费；乙方案：如果一次性购书不少于20本，总价9折优惠，假设每本书售价为30元，请你计算初2021届1班实际购书最少花费多少元？23.观察下列两个等式：2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1成立的一对有理数对“a，b”为“共生有理数对”，记为(a,b)．”是不是“共生有理数对”；(1) 通过计算判断数对“−4，2”，“7，34(2) 若(3,x)是“共生有理数对”，求x的值；(3) 若(m,n)是“共生有理数对”，则“−n，−m” 共生有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由．24.计算：已知∣m∣=1，∣n∣=4．(1) 当mn<0时，求m+n的值；(2) 求m−n的最大值．25.如图，圆的半径为2个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分π点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示−1的点重合．(1) 圆的周长为多少？(2) 若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？(3) 若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上（如数轴上表示−2的点与点B重合，数轴上表示−3的点与点C重合⋯），那么数轴上表示−2018的点与圆周上哪个点重合？答案一、选择题1. 【答案】B【解析】1⊕2=−32=12−221×2，2⊕1=32=22−121×2，(−2)⊕5=2110=(−2)2−52(−2)×5，5⊕(−2)=−2110=52−(−2)25×(−2)，⋯，a⊕b=a2−b2ab，∴(−3)⊕(−4)=(−3)2−(−4)2(−3)×(−4)=−712．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算2. 【答案】C【解析】若原点是A，则a=0，d=7，此时d−2a=7，和已知不符，排除；若原点是点B，则a=−3，d=4，此时d−2a=10，已知不符，排除，若原点是点C，则a=−4，d=3，此时d−2a=11，和已知相符，正确．故数轴的原点应是C点．【知识点】绝对值的几何意义3. 【答案】B【解析】∵√x−1+(y+2)2=0，∴x−1=0，y+2=0，∴x=1，y=−2，∴(x+y)2020=(1−2)2020=1．【知识点】有理数的乘方、算术平方根的性质4. 【答案】C【知识点】有理数的乘法5. 【答案】C【解析】因为AB=BC，a+b<0，b+c>0，a+c<0，所以a<0，b<0，c>0，所以数轴原点O的位置应该在点B与点C之间．故选：C．【知识点】有理数的加法法则及计算、数轴的概念6. 【答案】B【解析】2⋇3−4⋇3 =3×3−(4−3) =9−1=8.【知识点】有理数的乘法7. 【答案】D【解析】4−∣5−b∣−∣a+2∣=∣4+a∣+∣b−3∣即为4=∣5−b∣+∣a+2∣+∣4+a∣+∣b−3∣，由绝对值不等式的性质可得：∣a+2∣+∣a+4∣≥2，∣5−b∣+∣b−3∣≥2，∴−4≤a≤−2，3≤b≤5，∴ab的最大值为−6．【知识点】绝对值的几何意义8. 【答案】D【解析】根据图示，可得a<0<b，而且∣a∣>∣b∣，∵a<0<b，∴ab<0，∴选项A不正确；∵a<0<b，而且∣a∣>∣b∣，∴a+b<0，∴选项B不正确，选项D正确；∵∣a∣>∣b∣，∴∣a∣−∣b∣>0，∴选项C不正确．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小9. 【答案】B【知识点】有理数的乘方10. 【答案】A【解析】第一个数是2，倒数是12，第二个数是12，倒数是2，第三个数是−1，倒数是−1．第四个数是2．由规律可知，这串数由2，12，−1循环出现2020÷3=673⋯1，∴ 第 2020 个数是 2． 【知识点】倒数二、填空题11. 【答案】 16 ； 58【解析】 F 1(4)=16，F 2(4)=F (16)=12+62=37，F 3(4)=F (37)=32+72=58，F 4(4)=F (58)=52+82=89， F 5(4)=F (89)=82+92=145，F 6(4)=F (145)=12+52=26， F 7(4)=F (26)=22+62=40，F 8(4)=F (40)=42+0=16，⋯ 通过计算发现，F 1(4)=F 8(4)， ∵2019÷7=288⋯3， ∴F 2019(4)=F 3(4)=58． 【知识点】有理数的乘方12. 【答案】 −b【解析】由数轴可知 c <0<a <b ， ∴c −a <0，b −a >0， ∴−∣c −a ∣−∣b −a ∣+∣c ∣=c −a −(b −a )+(−c )=c −a −b +a −c =−b.【知识点】绝对值的几何意义13. 【答案】 1838【解析】由题意可知，题图中从右到左依次排列的绳子分别代表绳结数乘 1，6 的 1 次幂，6 的 2 次幂，6 的 3 次幂，6 的 4 次幂，则她一共采集到野果 2×1+3×62+2×63+1×64=1838（个）．【知识点】有理数的乘方14. 【答案】158【解析】令 b ，c 取最大的正数 1416，1516，a 取最小的负数 −716， ∴a ∗b ∗c =∣∣−716−1416−1516∣∣−716+1416+15162=158．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算15. 【答案】 1838【解析】 2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838． 【知识点】有理数的乘方16. 【答案】44100【解析】∵13=14×12×22，13+23=14×22×32，13+23+33=14×32×42，∴13+23+33+⋯+193+203=14×202×212=44100．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1838【解析】2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838．【知识点】有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1)−3−[−5+15×35÷(−3)2]=−3−(−5+15×35÷9)=−3−(−5+9÷9)=−3−(−5+1)=−3−(−4)=−3+4= 1.(2)−12022+(−2)×(−3)2−(−2)3÷4 =−1+(−2)×9−(−8)÷4=−1+(−18)+2=−17.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算19. 【答案】(1) y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3.∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)．(2) ①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3，∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1．∴(m2−2m+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；②关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3，由G:y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3．∴图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.配方，得y H=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1．情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132．分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、二次函数与不等式、y=ax^2+bx+c的图象20. 【答案】(1) 5或1；2(2) 当2≤x≤5时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值，最小值是3，当x>5时，x−2+x−5=2x−7>3，当2≤x≤5时，x−2+5−x=3，当x<2时，2−x+5−x=7−2x>3，故当2≤x≤5时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值，最小值是3．(3) ∵∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣表示数x分别与a，2，b的距离之和，∴x=2时，∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小，∵a<2<b，∴∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的最小值是2−a+b−2=b−a．故x=2时，∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小，最小值是b−a．【解析】(1) ∵∣x−3∣=2，∴x−3=±2，∴x=5或1，∵∣x−5∣=∣x+1∣，∴x=2，故为5或1；2．【知识点】绝对值的几何意义21. 【答案】(1) 1001；9999．(2) x=2；6529．(3) 1212与2121；1221与2112；1203与2130；1230与2103．【知识点】一元一次方程的解、有理数的加法法则及计算22. 【答案】(1) 由于4班实际购入21本书，实际购入数量与计划购入数量的差值=−9,可得计划购入数量=30（本），所以一班实际购入30+12=42本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值=33−30=3本，3班实际购入数量=30−8=22本．故答案依次为42，+3，22．(2) 118(3) 如果按甲方案购书，花费=30×38=1140（元）（购买两次），如果按乙方案购书，则共花费=30×42×90%=1134（元）．故按乙方案购入书花费最少为1134元．【解析】(2) 4个班一共购入数量=42+33+22+21=118本，另解：4个班一共购入数量=30×4+12+3−8−9=118．故答案为118．【知识点】有理数减法的应用、有理数乘法的应用、有理数加法的应用23. 【答案】(1) −4−2=−6，−4×2+1=−7，∴−4−2≠−4×2+1，∴“−4，2”不是“共生有理数对”；∵7−34=614，7×34+1=614，∴7−34=7×34+1，∴(7,34)是共生有理数对．(2) 由题意得：3−x=3x+1，解得x=12．(3) 是理由：−n−(−m)=−n+m，−n⋅(−m)+1=mn+1，∵(m,n)是“共生有理数对”，∴m−n=mn+1，∴−n+m=mn+1，∴(−n,−m)是“共生有理数对”．【知识点】有理数的乘法、有理数的减法法则及计算、解常规一元一次方程24. 【答案】(1) 因为∣m∣=1，∣n∣=4，所以m=±1，n=±4，因为mn<0，所以m=1，n=−4或m=−1，n=4，所以m+n=±3．(2) m=1，n=4时，m−n=−3；m=−1，n=−4时，m−n=3；m=1，n=−4时，m−n=5；m=−1，n=4时，m−n=−5；所以m−n的最大值是5．【知识点】有理数的减法法则及计算、有理数的加法法则及计算25. 【答案】(1) 圆的周长=2π⋅2π=4个单位长度．(2) 若该圆在数轴上向右滚动2周后，点A需要滚动8个单位长度，此时与点A重合的点表示的数为：8−1=7．(3) 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2018÷4=504⋯2，∴表示−2018的点是第505个循环组的第2个数B重合．【知识点】数轴的概念、圆的周长。
新北师大版七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解
新北师大版七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解类型一 0+0型例：已知|m-3|+|n+2|=0,求m 、n 的值。
练习：1、已知|x+2|+|y+32|=0,试比较x ，y 的大小。
2、|a-21|+|b+31|+|c+52|=0 (1)试比较a 、b 、c 的大小。
（2）计算|a|+|(-b)|+|c|的值。
3、若|x+1|+|y-2|+|z+3|=0,求|x|+|y|+|z|的值。
4、试讨论：x 为有理数，|x-1|+|x-3|有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。
类型二 化简计算型例：计算|9911001-|+|10011011-| - |9911011-|练习1、 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|b|-|a+b|2、若a 、b 、c 三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|3、若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|-|-b|4、a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子： cc b b a a ||||||++5、|2131-|++-+-|4151||3141|…|2011120121-|类型三 比较大小（数轴上可特值法）例：有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a+b ＞a ＞b ＞a-bB 、a ＞a+b ＞b ＞a-bC 、a-b ＞a ＞b ＞a+bD 、a-b ＞a ＞a+b ＞b练习 1、如果a 、b 均为有理数，且b ＜0，则a 、a-b 、a+b 的大小关系。
( )A 、a ＜a+b ＜a-bB 、a ＜a-b ＜a+bC 、a+b ＜a ＜a-bD 、a-b ＜a+b ＜b2、有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，用不等号把a 、b 、-a 、-b 连接起来：________________________类型四 探索规律型 例：观察下列等式：311⨯=)311(21-，)4121(21421-=⨯，)5131(21531-=⨯ （1）猜想：=+)2(1n n ____________________ （2）试写出：)3(1+n n =__________________________练习1 、一只跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位，…，按这样的规律跳100次，跳蚤到圆原点的距离是____________个单位。
第二 章 有理数及其运算 单元复习 22—23学年北师大版数学七年级上册
加法的交换律： a+b=b+a.
加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c
).
探究新知
方法点拨
使用运算律通常有下列情形：
（1）互为相反数的加数放在一起相加（相反数结合法）；
（2）能凑整的加数放在一起相加（凑整法）；
（3）同号的加数放在一起相加（同号结合法） ；
（4）同分母或易于通分的分数放在一起相加（同分母结合法）.
负数的奇数次幂是负数.
当指数不断增加时,底数大于1 的幂的增长速度相当快 .
底数为10的幂的特点：10的n次幂
等于1的后面有n个0.
把一个大于10的数，写成 a×10n 的形式，其中1≤a＜10，n是__正整数
_____，这种方法叫做科学记数法.
方法点拨：用科学记数法表示大于10的数的“三步法”
1.定a:确定a,a必须满足1≤a＜10；
注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就
是81，通常指数为1时省略不写.
当底数是负数或分数时一定要用括号把底数括起来.
探究新知
结论：正数的任何次幂都是正数.
负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数.
0的任意正整数次幂都是0.
利用有理数的乘方解决实际问题时，关键是找到
每次变化后所得的结果与变化次数之间的关系.
-8 + 10 - 6 - 4 ，看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的
和”，按运算意义可读作“负8加10减6减4”.
有同分母、有相反数、有整数进行有理数的加减
混合运算时,可以考虑加法的交换律、结合律使
运算简便,在利用运算律时要注意:1.相加得整的
可先相加;2.同分母的可先相加;3.互为相反数的可
新北师大版七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解
七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解类型一 0+0型例：已知|m-3|+|n+2|=0,求m 、n 的值。
练习：1、已知|x+2|+|y+32|=0,试比较x ，y 的大小。
2、|a-21|+|b+31|+|c+52|=0 (1)试比较a 、b 、c 的大小。
（2）计算|a|+|(-b)|+|c|的值。
3、若|x+1|+|y-2|+|z+3|=0,求|x|+|y|+|z|的值。
4、试讨论：x 为有理数，|x-1|+|x-3|有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。
类型二 化简计算型例：计算|9911001-|+|10011011-| - |9911011-|练习1、 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|b|-|a+b|2、若a 、b 、c 三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|3、若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|-|-b|4、a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子： cc b b a a ||||||++5、|2131-|++-+-|4151||3141|…|2011120121-|类型三 比较大小（数轴上可特值法）例：有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a+b ＞a ＞b ＞a-bB 、a ＞a+b ＞b ＞a-bC 、a-b ＞a ＞b ＞a+bD 、a-b ＞a ＞a+b ＞b练习 1、如果a 、b 均为有理数，且b ＜0，则a 、a-b 、a+b 的大小关系。
( )A 、a ＜a+b ＜a-bB 、a ＜a-b ＜a+bC 、a+b ＜a ＜a-bD 、a-b ＜a+b ＜b2、有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，用不等号把a 、b 、-a 、-b 连接起来：________________________类型四 探索规律型 例：观察下列等式：311⨯=)311(21-，)4121(21421-=⨯，)5131(21531-=⨯ （1）猜想：=+)2(1n n ____________________ （2）试写出：)3(1+n n =__________________________练习1 、一只跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位，…，按这样的规律跳100次，跳蚤到圆原点的距离是____________个单位。