高中数学分离常数法仔细讲解(很实用)
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数法与分离参数法的应用娄底二中康惠如一）:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22s i n;;;s i nxxa xb a x b xc m a n m x ny y y yp a qc xd p x qm x n x p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2xf xx+=-(1)x≤的值域解：由已知有()()32213277()3.222x xf xx x x⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x≤，得21x-≤-。
所以1102x-≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x-≤<.2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)= (),x a a bx b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a bx bx b x b++--=+≠++.所以，当a b->时，函数f(x)在(,)b-∞-和(,)b-+∞上是减函数；当a-b<0时，函数f(x)在(,)b-∞-和(,)b-+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)=27101x xx+++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ ()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.4 分离(常数)参数法(讲)理
方法四 分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =-+，故函数为增函数，再由211x+>，可得211121x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得()()212221xx xm +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立，令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，根据函数21y t t=-+的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值范围（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数，∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，第21题图1第21题图22MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3....例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切则a的最小值为( )A. 0B. －2C. －3【答案】C2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）__________．【解析】由题可知：t=n+1M的最小值是例6.（1（2）围．【答案】（1（2【解析】（1（22.2 求定点的坐标例7. .【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。
分离常数法三个公式
分离常数法是一种求解常微分方程的方法，常用于线性常微分方程组的解析解。
以下是分离常数法常用的三个公式：
变量分离公式：适用于可分离变量的一阶常微分方程，形式为dy/dx = f(x)g(y)。
可以将方程分离为f(y)dy = g(x)dx，然后进行积分求解。
积分因子公式：适用于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过求解积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx) ，将方程乘以积分因子，然后进行积分求解。
初值条件公式：对于一阶常微分方程的初值问题，形如dy/dx = f(x, y) ，y(x0) = y0。
可以将x0 和y0 代入方程中，得到f(x0, y0) = dy/dx 在初始条件下的值。
这个条件可以用来确定常数C，从而得到特定的解析解。
这些公式是分离常数法的基本工具，可以帮助我们将常微分方程转化为可进行积分的形式，从而求解方程的解析解。
但需要注意的是，不是所有的常微分方程都可以使用分离常数法求解，而且有时候可能需要额外的技巧和方法来解决更复杂的问题。
分离常数法例题
分离常数法例题
分离常数法是数学中用来解决方程的一种常用方法，它可以有效地解决许多复杂的方程。
分离常数法通常用来解决一元二次方程的解法。
本文将通过一个例题来详细讲解如何使用分离常数法来求解一元二次方程。
首先，我们来看一个例子：
6x - 5x - 6 = 0
我们可以将这个方程分解成两部分：
6x - 5x = 6
我们可以使用分离常数法来解决这个方程。
首先，我们要把项数中的常数项 6到右边，将方程化为零：
6x - 5x - 6 = 0
↓
6x - 5x = 6
接下来，我们需要把方程分解成两个部分：
6x - 5x = 6
↓
6x = 5x + 6
最后，我们可以使用公式求解这个方程：
x = (5(25 - 4*6))/12
x = (519)/12
因此，x解为：
x = -0.5833 x = 0.9167
本文介绍了如何使用分离常数法来解决一元二次方程的例题。
我们可以先将方程分解成两部分，然后把方程中的常数项移到右边，最后使用公式求解。
分离常数法是一种有效的解决方法，可以解决许多复杂的方程。
在分离常数法的推理过程中，我们需要注意以下几个方面：
1.原方程分解成两部分，使其易于分析和求解
2.常数项从右边移到左边
3. 使用正确的公式求解
4.保答案是正确的
因此，在使用分离常数法解决方程时，要注意以上几点，以确保答案准确。
分离常数法是一种非常有效的方法，它能够有效解决许多复杂的方程。
但是，要正确使用它，必须先掌握其原理和步骤，并确保每一步都正确无误。
这样才能得出正确的答案。
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用资料讲解
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数2X有y axb ，y ax 2 bxc ，y max n，ymSinx n 等.解题的关键是通过cx d mx 2~nx ~pp a qp sinx q恒等变形从分式函数中分离出常数•1•用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数 f(x)3x 1 (x 1)的值域.x 2解 由已知有f(x)3[(x 2) 2] 13(x 2) 7 37x 2x 2x 2由x 1，得x 2 1 . •110.x 2•••函数f(x)的值域为{y R| 4 y 3}.2•用分离常数法判断分式函数的单调性例2已知函数f(x) 「(a b)，判断函数f(x)的单调性. x b 解由已知有y (x b) a b 1 口，x b .x bx b所以，当a b 0时，函数f (x)在(，b)和(b,)上是减函数；当a b 0时，函数f (x)在(,b)和(b,)上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值2x 7x 10的最小值.x 11，二 x 10.由已知有分离参数法1，求函数f(x) 2f(x)1)2 5(x 1) 41x 19 .当且仅当x 1 —，即x 1时，等号成立.x 17[(x 1) 1] 10 (x x 2j(x 1)丄 5X x 14 [(x 1)] 5x 1•••当x 1时, f (x)取得最小值9.分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1•用分离参数法解决函数有零点问题例4已知函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，求a的取值范围•解•••函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，.••方程x2 ax 4 0在［2,4］上有实根，即方程a x 4在［2,4］上有实根•x令f(x) x 4，则a的取值范围等于函数f(x)在［2,4］上的值域•x又f(X)1 $ (x 2)2x 2)0在x ［2,4］上恒成立，••• f(x)在［2,4］上是x x增函数•••• f (2) f (x) f ⑷，即4 f (x) 5. ••• 4 a 5.2•用分离参数法解决函数单调性问题2例5已知f(x)空竺仝在［1,)上是单调递增函数，求a的取值范围•2xf (x)又f(x)在［1,)上是单调递增函数，• f (x) 0・于是可得不等式a x2对于x 1恒成立• • a ( x2)max •由x 1，得x2「• a 1 •3・用分离参数法解决不等式恒成立问题例6已知不等式mx2 2x m 1 0对满足2 m 2的所有m都成立, 求x的取值范围•解原不等式可化为(x2 1)m 2x 1 0，此不等式对2 m 2恒成立•构造函数f(m) (x2 1)m 2x 1 , 2 m 2，其图像是一条线段•根据题意有f( 2) 2(/ 1) 2x 1 0，即2x2 2x 3解得2 72f (2) 2(x 1) 2x 1 0 2x 2x 1 0-1 7 x 1 3.2 24•用分离参数法解决不等式有解问题例7如果关于x的不等式|x 3 |x 4 2a 1 0的解集不是空集，求参数a的取值范围.解原不等式可化为x 3 |x 4 2a 1.•••原不等式的解集不是空集，••• (x 3 x 4)min 2a 1.又x 3 x 4 (x 3) (x 4) 1,当且仅当(x 3)(x 4) 0时，等号成立,••• 2a 11，即a 1 .5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线I : (2 m 1)x (m 1)y 7m 4 0，m R，求证：直线I恒过定点.解直线I的方程可化为x y 4 m(2x y 7) 0.设直线I恒过定点M(x,y).由m R，得x y 4 0M(3,1).2x y 7 0•••直线I恒过定点(3,1).。
代数式变形在高中数学中的应用(一)分式函数应对策略之分离常数法
代数式变形在高中数学中的应用（一）分式函数应对策略之分离常数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
其中的分离常数法是研究分式函数的变形的常用方法。
分式型函数解题的关键是采用拆项使分式的分子为常数，或拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式。
通过这种变形，转变成一次函数，二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等我们熟悉的基本函数，然后根据它们的性质求解。
主要的分式函数有：ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+，等几种形式，下面分别加以讨论。
1、一次分式函数： 形如(),(0,)ax b f x c ad bc cx d+=≠≠+ 函数叫一次分式函数。
利用分离常数法变形如下：(),ad ad ad ax b b ax b a c c c f x cx d cx d c cx d++--+===++++ 设ad b m c -=， 则： ()ax b f x cx d +=+，不难看出()f x 像可由反比例函数 m y cx=图像经过平移取得。
从而很轻易解答如下问题：对于函数 ()(),()ax b a m ad f x f x m b cx d c cx d c+=⇔=+=-++ （1.）定义域是：(,)(,)d d c c -∞--+∞； （2.）值域是：(,)(,)a a cc -∞+∞；（3.）对称点为：(,)d a c c -，对称轴为：(()a d y x c c-=±+； （4.）单调性为： 当0m >时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是增函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈-∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈+∞； 当 0m <时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是减函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈+∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈-∞；例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例3 已知 ()1a bx f x x a -=-- 的图象对称中心为 (3,1)- ，求 ,ab 的值。
分离常数知识点总结
分离常数知识点总结一、分离常数型：1、分析问题 a、形式：一元二次不完全平方（一个平方项和一个不含x的项）（ x^2+px+q）,化为完全平方的功能。
b、目的要求：a>0.2、基本思路：一、通过配方法配成平方完全平方。
二、将x^2+px+q化成x^2+2ax的形势。
（其中x^2+px取出相同项a）三、化简x^2+px+q四、用(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 即得(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.We usually get a+x=a+/-√a^2-q=a±√a^2-q3、具体做法：一、切除x^2+px到(x+a)^2=x^2+2ax+〖(x+a)〗^2=x^2+px ,得出a=1/2p二、将x^2+px+q此后疏通三、转换后为(x+a)^2-q+a^2四、解此公式x+a1=x1+a a+x2=-a2=x2-a。
(x+a)^2=q+a^2 〖(x+a)〗^2=-q+a^24、用法（用配方法解一元二次方程）一、解单变数一次二次方程知识要领：一元二次方程的形式优化与变型，用配方法解一元二次方程。
二、推广至多元一次二次方程知识要领：多变数一次二次方程的解法，将一元二次方程套进多元一次二次方程。
三、同一元二次不等式知识要领：一元二次不等式的解法，用分离常数与中学公式解不等式特定范围。
四、指数与根号中的分离常数知识要领：同样用分离常数来解决指数与根号中的易变性。
5、配方型发扬如何使用配方法解决一元二次方程，而非给出线索，道出配方字面定义。
6、配方型应用和解方型辨析：弥补配方法与求根公式的积累好处，题目大讲解、辨析或应用7、配方应用拓展指出其他配方法应用，丰富学生知识点8、整合服务生活：如何用生活例子说明配方方法，构建做题与实际应用结合的桥梁。
分离常数解利用整数解：-1,200与19。
由于方程的解为常数，所以可设y=x+1，解得（x+1）^2=x^2+2x+1=200x^2+2x=199（x+1）^2=(x+1)^2=200x^2+x=19x^2+2x<200x^2+x<19x^2＝200-xy^2＋x^2＋y＝200y^2＋19＋y＝200y^2＝200-19-yy^2＝181-2y这种方法称为分离n常数解。
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形如y = (ax+b) / (cx+d) 的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）= t（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x 前面的系数，（ax+b）= （a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b = （a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b = （a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b 4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b = （a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
为了方便下面的叙述，令t = （a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）= （a/c）（cx）+ b
= （a/c）（cx + d - d）+ b
= （a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b
= （a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
= 〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t + （m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）
打的挺辛苦的，希望帮到你~。