分离常数法
分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用
分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
2.分离常数法的常考题型：（1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域；3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。
解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。
4.分离变量法的常考题型：（1）函数零点问题；（2）函数单调性问题；（3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题；（5）求定点、定直线问题； 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）：（1）相同函数，不同变量（分别考虑）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-⇔min max )()(；（2）不同函数，相同变量（构造函数）：(I)对任意D x ∈，)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-⇔≤-⇔x g x f x g x f ； (II)存在D x ∈，使)()(x g x f ≤成立⇔存在D x ∈，0)]()([0)()(in ≤-⇔≤-m x g x f x g x f ；（3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）：(I)存在D x ∈，使)()(x g x f =成立⇔存在D x ∈，)()(0)()(x g x f x g x f -⇔=-有零点； (II)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g ⊆值域； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g 值域φ≠；（4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤⇔；(II)存在11D x ∈，使得任意22D x ∈时，)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤⇔； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤⇔；(IV)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤⇔； 总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较；（2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；例1.若函数ax b x x f --=)(在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（ ） A.a ＞b≥4 B .a≥4＞b C .4≤a ＜b D .a≤4＜b例2.求函数21273)(22+---=x x x x x f 的值域。
恒成立之分离常数法
１
（ １ ） 当 ： ０ 时， 不等式一 １ ≤０ ｘ ０ ≤１ 显然成立 ，
‘
、 ／
≥ ＿： ｙ 、 ／ （ 当且仅 当 ： ｙ 时取等号 ） ， 、 ／
Ｉ ａ － ２ … … ≥。
、 …
４
＜Ｏ
解： （ １ ） 分离不等式 ＋ （ １ － ｔ ） ＋ ４ ＞ ０ 中的参数ｔ ， 得 ￡ ＋ ＋ １ ， 对任意 ∈［ ２ ， ＋ ∞） ，
ｙ ＋ ＋ １ 在 ［ ２ ， ＋ ） 上 单 调递 增 ， 故ｙ ＋
＋ １ ≥５ ， 所 以￡ ＜ ５ 。
’
． ．
ａ≤ ０
叉 ． ・ 一 １
—
１ （
ｘ
１） ２ ＋１ ＜－ ２ ， （ 一 １
一
￣
） ：
ｘ—
一
二
２ ． ０≥ 一２ ． 一２≤ ０≤ ０
综上得 ， 。 的取值 范围为一 ２ ≤。 ≤０ 。 例３ ： 已知 当 ∈Ｒ时 ， 不 等式 Ⅱ ＋ ｃ ０ ｓ ２ ｘ ＜ ５ — ４ ｓ ｉ 似 Ｖ３ ５ ７ － ￣ ４恒成立 ， 求实数口 的取值范 围。 分析： 在 不等式 中含有两个变 量ｎ 及 ， 其 中 的 范 围已知（ Ｒ） ， 另一变量ａ 的范 围即为所求 ， 故 可 考虑将ｎ 及 分离。
＋３≤ ３。
・ ．
．
ｖ ３７ ５￣ － ４ 一 一 ｎ ＋ ５ ＞ ３ ， 即、 ／ ！
＞
￣
＞ 叶２
上 式 等 价 于 Ｉ ａ ５ － ２
５
０
上式等价于 ｛ ａ － ４ ￣０
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
代数式变形在高中数学中的应用(一)分式函数应对策略之分离常数法
代数式变形在高中数学中的应用（一）分式函数应对策略之分离常数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
其中的分离常数法是研究分式函数的变形的常用方法。
分式型函数解题的关键是采用拆项使分式的分子为常数，或拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式。
通过这种变形，转变成一次函数，二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等我们熟悉的基本函数，然后根据它们的性质求解。
主要的分式函数有：ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+，等几种形式，下面分别加以讨论。
1、一次分式函数： 形如(),(0,)ax b f x c ad bc cx d+=≠≠+ 函数叫一次分式函数。
利用分离常数法变形如下：(),ad ad ad ax b b ax b a c c c f x cx d cx d c cx d++--+===++++ 设ad b m c -=， 则： ()ax b f x cx d +=+，不难看出()f x 像可由反比例函数 m y cx=图像经过平移取得。
从而很轻易解答如下问题：对于函数 ()(),()ax b a m ad f x f x m b cx d c cx d c+=⇔=+=-++ （1.）定义域是：(,)(,)d d c c -∞--+∞； （2.）值域是：(,)(,)a a cc -∞+∞；（3.）对称点为：(,)d a c c -，对称轴为：(()a d y x c c-=±+； （4.）单调性为： 当0m >时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是增函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈-∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈+∞； 当 0m <时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是减函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈+∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈-∞；例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例3 已知 ()1a bx f x x a -=-- 的图象对称中心为 (3,1)- ，求 ,ab 的值。
分离常数法
分离常数法分离常数法是微分方程的一种常用解法之一，适用于一阶线性常微分方程。
它的核心思想是将方程中的变量和常数项分成两部分，从而使原方程转化成两个可分离变量的方程，进而求解出方程的解析解。
分离常数法的基本步骤如下：1. 将所给的一阶线性常微分方程写成标准形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)为函数。
2. 将方程两端同时乘以g(y)，并且将变量y的所有项移到方程的一边，变成dy/g(y) = f(x)dx。
3. 对上述等式两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
4. 对所得的积分进行求解，得到一个含有常数C的方程。
5. 根据初始条件，将常数C确定下来，得到原方程的特解。
下面通过一个具体的例子来说明分离常数法的应用。
例题：求解一阶线性常微分方程dy/dx = x^2 - y^2。
解法：首先将方程整理为标准形式：dy/dx = (x^2 - y^2)将方程两端同时乘以1/(x^2 - y^2)，并将变量y的项移到方程的一边，得到：dy/(x^2 - y^2) = dx对上述等式两边同时积分，得到：∫dy/(x^2 - y^2) = ∫dx对左侧的积分进行处理，可以通过部分分式分解的方法将其分解为：1/2 [∫(1/(x - y) + 1/(x + y))dy]对分解后的两个分式进行分别求积分，得到：1/2 [ln|x - y| - ln|x + y|] + C1 = x + C2其中C1和C2为常数。
整理上述方程，得到：ln|x - y| - ln|x + y| = 2(x + C2)再利用对数性质，将上述方程进一步简化为：ln(|(x - y)/(x + y)|) = 2(x + C2)再利用指数函数的性质，得到：|(x - y)/(x + y)| = e^(2(x + C2))考虑到e^(2C2)为一个正常数，上述方程可以再次简化为：(x - y)/(x + y) = Ce^(2x)其中C = e^(2C2)为常数。
分离常数法在数学解题中的应用
分离常数法在数学解题中的应用分离常数就是把分子分母中都有的未知数的数学式子变成只有分子或者只有分母有的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
通过这样的变形可以使式子简化并解决实际问题。
下面通过举例介绍分离常数法在数学解题中的应用。
1求函数值域例1：求函数y=■的值域解：y=■=■=1-■∵x■+1≥0∴-2≤■＜0从而-1≤y＜1所以函数y=■的值域是y∈[-1,1)例2：求函数y=■的值域解：y=■=■-1+■∵-1＜sinx≤1∴y≥0∴函数 y=■的值域是y∈[0,+∞)2讨论函数的单调性例3：讨论函数 y=x-■在区间[1,+∞)y=x-■在区间[1,+∞)上的单调性解： y=x-■=■在区间[1,+∞)上，由于x与■是单调增加所以x+■在区间[1,+∞)也是单调增加，从而y=x-■=■在区间[1,+∞)是单调减少的。
例4：讨论函数y=■的单调性解：y=■=■=■=1+■设0＜x1＜x，则1＜10■＜10■，从而0＜10■-1＜10■-1，所以■＞■即f(x1)＜f(x2)∴y=■在(0,+∞)上是单调减少；同理可证y=■在(-∞,0)上也是单调减少。
3求最值例5：求函数y=■(x■＞-1)的最小值解：y=■=■=■=(x+1)+■+5≥２■+5=9当且仅当(x+1)=■，即x=1时取等号所以函数y=■(x■＞-1)的最小值是9。
4数列中的应用例6：求和sn=■+■+■+…+■解：因为■=■=1+■=1+■(■-■)所以sn=[1+■(1-■)]+[1+■(■-■)]+[1+■(■-■)]+…+[1+■(■-■)]=1+1+…+1+■[(1-■)+(■-■)+(■-■)+…+(■-■)]=n+■(1-■)=■。
以上通过6个例子介绍了分离常数法在解数学题中的应用，可以看出，利用分离常数法，可以使复杂问题简单化，繁琐问题简洁化，从而更好更快地解决实际问题。
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、 设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、 设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、 奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、 函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。
高中数学分离常数法仔细讲解(很实用)
形如y = (ax+b) / (cx+d)的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）=t
（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x前面的系数，（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b =（a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b =（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b =（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b为了方便下面的叙述，令t =（a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
=（a/c）（cx + d - d）+ b
=（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b=（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
=〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t +（m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）打的挺辛苦的，希望帮到你~。
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则不等式4 sin x cos2 x sin2 x a 5恒成立 ymax a 5
y 4sin x cos2 x sin2 x 2sin2 x 4sin x 1
令sin x t,则t 1,1
y 2t2 4t 1t 1,1
Q h x x2 4x 3 x 1,4
hmin x 7
7 2a 1 a 3
3.若f x x2 3x 3在1,4上有f x x 2a2 5a 1恒成立，
求实数a的取值范围.
例析：f x x 2a2 5a 1恒成立 f x x 2a2 5a 1恒成立 令h x f x x 则f x x 2a2 5a 1恒成立 hmax x 2a2 5a 1
分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变 形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等 式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围 的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键：
分离变量后，将问题转化为求函数的最值或值域的问题，
定理1 不等式f x ga恒成立 fmin x ga 不等式f x ga恒成立 fmax x ga
3
4.设f x定义在R上的增函数，若不等式f 1 ax x2 f 2 a 对于任意x 0,1恒成立，
求实数a的取值范围.
定理2 不等式f x ga存在解 fmax x ga 不等式f x ga存在解 fmin x g a
定理3 方程f x =g a有解 g a y y f x
1.已知当x R时，不等式4sin x cos2 x sin2 x a 5恒成立， 求实数a的取值范围.
分离变量法
分离变量法：
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试 题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本 思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分 类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的 正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都 需要使用该思想方法.
Q h x x2 4x 3 x 1,4
hmax x h1 2
2 2a2 5a 1 2a2 5a 3 0
a 1或a 3
4.若函数f x 4x 2a 2x 1有零点，求实数a的取值范围.
例析：4x
2a
2x
1
0
2a
4x 2x
1
令f
x
4x 2x
Hale Waihona Puke 1方程4x 2a 2x 1 0有解 函数f x的图象
ymax 3
3 a 5 a 2
2.若f x x2 3x 3在1,4上有f x x 2a 1恒成立，
求实数a的取值范围.
例析：f x x 2a 1恒成立 f x x 2a 1恒成立 令h x f x x则f x x 2a 1恒成立 hmin x 2a 1
x2 ax 1 3
x2
ax 1
3
令g x x2 4 , h x x2 2
x
x
x2 4
a a
x x2
x
2
a
a
gmax hmin
x x
g
x
x
4 x
5
hx x 2 1
x
a 5
a
1
例2.已知f x 2ax2 2x a 3, x 1,1,若函数y f x有零点，
与直线y 2a有交点
令2x t,则y t 1 t 0
t 1 2a ymin t t 2
a 1
y
2
o1
t
例1.已知f x x2 ax 1, x 0,1,且 f x 3,求实数a的取值范围.
例析：f x 3 3 f x 3
即
f x 3 f x 3
求实数a的取值范围.
1.已知f
x
lg
x
a x
2
,
若对任意x
2，
恒有f
x
0，
求实数a的取值范围.
2.已知x ,1时,不等式1 2x a a2 4x 0恒成立，
求实数a的取值范围.
3.设f x lg 1 2x a 4x ，若x ,1时，f x 恒有意义，求实数a的取值范围.