分离常数法求值域(人教A版)(含答案)
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 五、判别式法（☆） 二、配方法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 三、分离常数法（☆） 七、函数单调性法（☆） 四、反函数法（☆） 八、图像法（数型结合法）（☆）一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
练习：1、求242-+-=x y 的值域． 2.求函数y =的值域．二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档
高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。
∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。
233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.4 分离(常数)参数法(讲)理
方法四 分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =-+，故函数为增函数，再由211x+>，可得211121x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得()()212221xx xm +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立，令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，根据函数21y t t=-+的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值范围（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数，∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，第21题图1第21题图22MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3....例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切则a的最小值为( )A. 0B. －2C. －3【答案】C2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）__________．【解析】由题可知：t=n+1M的最小值是例6.（1（2）围．【答案】（1（2【解析】（1（22.2 求定点的坐标例7. .【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。
分离常数法、判别式法求值域(含答案)
分离常数法、判别式法求值域一、单选题(共9道，每道11分)
1.函数的值域为( )
.
.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.若函数的定义域是，则其值域为( )
.
.
…
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域3.函数的值域是( )
.
.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域4.函数的值域是( )
.
.
'
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数的值域为，则实数的值为( )
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域6.函数的值域是( )
.
.
'
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域7.函数的值域是( )
.
.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域8.函数的值域是( )
.
.
、
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域9.函数的值域是( )
.
.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域。
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离常数法求值域(人教a版)(含答案)
分离常数法求值域(人教A版)一、单选题(共10道，每道10分)1.函的值域为( )A.(-o,1)B.(1,+00)C.答案：C解题思路：由分离常数法，整理得，原函数图象可看作将函数的图象向左平移2个单位长度再向上平移1个单位，如下图：yy=12X则函数的值域为(故选C.试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域2.函的定义域是(2.1)U[0,2],则其值域为()A.(-w,4)B.(-c0,-2)U(2,4)c.(-co,-2)U(1,4)o.(-c0,-2)U[2,4]答案：D解题思路：由分离常数法，整理得，原函数图象可看作将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，如下图：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域3.已知√∈R , 则函的值域是( )A.(1,+00)8.(1,+00)c.(-o,- 1)U(1,+w)o.[- 1,1)U(1,+0)答案：C解题思路：由题意由分离原函数再向上, √x∈R,则x≥0.常数法，整理得，,x≥0.图象可看作将函数的图象向右平移1 个单位长度平移1个单位长度，如下图：则函数故选C的值域为(- α, - 1)U(试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域4.函的值域为( )A.(- 1,+0)B.(-co,0)U(0,+07)c.(-c,4)U(4,+67)o.(-co,- 1)U(- 1,+67)答案：D解题思路：由分离常数法，整原函数图象可看作再向下平移1个单理得，,将函数的图象向右平移4个单位长度，位长度，如下图：则函数的值域为(-故选D.x,-1)U(-1,+x)试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域5.若函数的值域是( c,0)U[4,+00) , 则此函数的定义域为( )答案：C解题思路：由分离常数法，整理得， 的图象向右平移3个单位长度 再向上平移2个单位长度，如下图：yl x=34y=20 X· 函数的值域是(- α,0)U[4,+α),..根据图中信息，可知蓝线部分满足题意当y=0时，可求得当y=4时，可求得'.函数的定义域为[故选C试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域6.函数 的值域是( )A.(-,1)U(1,+c)8.(-4,1)c.(-0o,-4)U(-4,1)U(1,+w)p.R答案：C解题思路：由分离常数法，整理原函数图象可看作将再向上平移1 个单位得，函数的图象向左平移2个单位长度，长度，同时去掉则函数的值域为(-x,故选C-4)U(-4,1)U(1,+x), 试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域7.函数的值域是( )A.(-c,- 1)U(- 1.0)U(0,+c)g.(-co,- 1)U(- 1,+00)c.(-,0)U(0,+05)p.R答案：A解题思路：由分离常数法，整理得，原函数图象可看作将函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，同时去掉点(-1,0),如下图：yx=-20|Xy=-1函数的值域为(-x,- 1)U(- 1,0)U(0,+w).故选A .试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域8.函的值域是( )2]C答案：D解题思路：由分离常数法，整理得，··-1≤x≤2.1≤|x+1≤3,,即故选D.试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域9.函的值域是( )A.c.R p答案：D解题思路：由分离常数法，整理得，原函数图象可看作将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，如下图：yOX1y= 212则函数的值域为故选D.试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域10.若函数的值域为(-w,-1)U(-1,+0),则实数α的值为()A.0B.1C.2D.3答案：C解题思路由题意，(1) 当a=0时，原函数图象可看作将函数的图象向右平香个单位长度，则其值域为(-x,0)U(0,+c),不符合题意，舍去.(2)当a≠0时，由分离常数法，整理得，αx+3AY= ·1-2x 2原函数图象可看作将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度由反比例函数的性质得，函数的值域是■, 解得a = 2 .故选C试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域。
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分离常数法求值域（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)
1.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.函数的定义域是，则其值域为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
3.已知，则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
4.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数的值域是，则此函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
6.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
7.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
8.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
9.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
10.若函数的值域为，则实数的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域。