函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法及例题
函数值域的求法在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜(5)y ＝2x －3＋134-x(6)y ＝2224)1(5+++x x x(7)y ＝521+-x x(8)y ＝1223222++--x x x x(9)y ＝3－2x －x 2x ∈[－3，1](10)y ＝21322+-x x分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8](4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3](5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.∵4x －13≥0 ∴x ∈[413，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t∴y ＝21t 2＋t ＋27∴y ＝21（t ＋1）2＋3∵x ≥413∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：y ＝22222224)1(5)1()1(5+++=+++x x x x x x＝2222222222)1(11)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝111)1(5222++-+x x 令t ＝112+x∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝101时y min ＝2019当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019，5](7)∵y ＝－21＋5227+x∵5227+x ≠0 ∴y ≠－21∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－21）∪（－21，＋∞） (8)由y ＝1223222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠21时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠21 又当y ＝21时，2（1＋21）x ＋（21＋3）＝0 得：x ＝－67，满足条件∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4](10)由y ＝21322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1即（3－y ）x 2＝2y ＋1若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝y y -+312 ∵x 2≥0 ∴yy -+312≥0 解得：－21≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－21，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(1222∈-++=x a ax x y（2）]1,[142+∈++=t t x x x y三、含参数的其他值域问题［例3］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.练习一、选择题1.函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47]B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).答案：B2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种
高中数学：求函数值域的十三种方法
一、观察法（☆
）二、配方法（☆）
三、分离常数法（☆）
四、反函数法（☆）
五、判别式法（☆）
六、换元法（☆☆☆）
七、函数有界性
八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y
f x 的取值范围。
【例1】求函数1y
x 的值域。
【解析】∵0x ，∴
11x ，∴函数1y x 的值域为[1,)。
【例2】求函数x 1
y
的值域。
【解析】∵0x
∴0x 1显然函数的值域是：),0()0,(【例3】已知函数
112x y ，2,1,0,1x ，求函数的值域。
【解析】因为2,1,0,1x ，而331f f ，02
0f f ，11f 所以：3,0,1y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ，则函数的值域为
1|y y 。
二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】求函数225,[1,2]y x x x 的值域。
【解析】将函数配方得：∵
由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，
故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。
求函数值域典型例题
求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1. 求函数1y x=的值域。
解：∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 练习1：求函数， 故。
∴函数的值域为[ 3 ,＋∞) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 练习3：① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数xx y 1+=的图像为：例3 求函数y =+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y m in = 32-+log 312-=81， 当x = 10 时，m ax y = 52+log 39=33。
函数值域的求法常考题型含详解
（2） y | x 1 | | x 3 |
【解析】（1）函数的定义域为 R ，当 x ≤ 2 时， y 1 2x 5 ；
当 2 x 3 时， y 2 x 3 x 5 ，当 x 3 时， y 2x 1 5 ，综上，函数的值域为
5, .
（2） y | x 1 | | x 3 | ，当 x 1时， y 2x 2 4 ，
（3） f (x) 2x 4 1 x
【解析】（1）令 t x 1 0 ，则 x t2 1，
所以 y 2x
x 1 2
t2 1
t
2 t
1 4
2
15, t 0 ，
8
所以当 t 1 时，函数取最小值 15 ，
4
8
所以函数 y 2x
x
1
的值域为
15 8
,
；
（2）设 t＝ 2x 1 ，则 t 0 且 x＝ t 2 1 ， 2
∴y＝ t2 1 ＋t＝ 1 t 12 1 ，在 0, 上为单调递增函数，
2
2
所以
y
1 2
，所以函数的值域为
1 2
,
.
（3）令 t＝ 1 x ( t 0 ),则 x 1 t 2 ；则 y 2 2t2 4t 2 t 12 4
，因为 t 0 ，所以 y 4 ，则值域为 , 4 ．
的定义域和值域.
题型九：已知值域求参数
1、若一次函数 f (x) 的定义域为[3, 2] ，值域为[2, 7] ，则 f (x) ________．
2、若函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
m
，值域为
25 4
,
4
，则
函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法(精选例题)函数值域的求法1.观察法1) 求函数 $y_1=\dfrac{1}{x^2+1}$ 的值域为 $(0,1]$。
2) 求函数 $y_1=2-x$ 的值域为 $(-\infty,2]$。
2.配方法1) 求函数 $y=x^2-2x+5$，其中 $x\in[-1,2]$ 的值域为$[4,8]$。
2) 求函数 $y=-x^2-6x-5$ 的值域为 $[-\dfrac{23}{4},2]$。
3) 已知 $x,y$ 是关于 $m$ 的方程 $m^2-2am+a+6=0$ 的根，则 $(x-1)^2+(y-1)^2$ 的最小值为 $-\dfrac{12}{4}$。
3.换元法1) 求函数 $y=2x+1+\dfrac{1}{x-1}$ 的值域为 $[3,+\infty)$。
2) 求函数 $y=\dfrac{x+2}{x+3}$ 的值域为 $[1,2)$。
3) 求函数 $y=x^3-x$ 的值域为 $[0,+\infty)$。
4) 求函数 $y=x+1-x$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$。
5) 求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域为$[0,1]$。
4.分离常数法1) 求函数 $y=\dfrac{x-1}{x+2}$，其中 $x\geq -4$，的值域为 $(-\infty,1]\cup[\dfrac{5}{2},+\infty)$。
2) 求函数 $y=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$ 的值域为 $[-\dfrac{1}{3},1]$。
5.判别式法1) 求函数 $y=\dfrac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}$ 的值域为$[1,5]$。
2) 求函数 $y=\dfrac{2x^2+4x-7}{x^2+2x-9}$ 的值域为 $[-\dfrac{9}{32},2)$。
3) 已知函数$f(x)=\dfrac{x+a}{x^2+1}$ 的值域为$[1,3]$，求实数 $a,b$ 的值，其中 $a=2$ 或 $a=-2$，$b=6$。
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函数值域的求法
1、（观察法）求下列函数的值域
（1）求函数y 1=121
1x +的值域 (]1,0
（2）求函数y 1=2－x 的值域。
(]2-，∞
2、（配方法）求下列函数的值域
（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84，
（2）求函数y =的值域： ][20，
（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（
）
C A.-1241
B.18
C.8
D.43
3、（换元法）求下列函数的值域
（1）21y x =++[)∞+，3 （2）4y x =+ ]
[234,1+
（3）求函数y=32
++x x 的值域
⎢⎣⎡⎥⎦⎤21,0
（4）求函数y = ][2,1
（5）求函数 y=12243++-x x x
x 的值域
⎢⎣⎡⎥⎦⎤41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域
（1）求值域（1）1
(4)2x y x x -=≥-+ ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∞，，25
1-
（2）求函数122+--=x x x x y 的值域。
⎪⎭⎫⎢⎣⎡
131
-，
5、（判别式法）求下列函数的值域
（1）求函数的值域2222
1x x y x x -+=++ ][51，
（2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。
⎪⎭⎫⎢⎣⎡
229
-，
（3）已知函数12)(22
+++=x b
ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ，
b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域
（1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。
(2)-48f =
（2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．
max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x =
7、(数形结合法)求下列函数的值域
（1）求函数y=4
1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-，
（2）求函数y=4
12++x x 4-1 - 2
+x x 的值域 ()1,1-
（2
）若(0x y =,求x y -的最大、最小值 ][
12-，
（3）求函数的值域。
⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤4242-， 3x sin x
cos y -=。