求函数值域典型例题
求函数值域典型例题
一、函数点调性法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1. 求函数
1
y x
=
的值域。解：∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是：
),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域。解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 练习1：求函数
， 故
。 ∴函数的值域为[ 3 ,＋∞) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 练习3：① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=
x x y ④x
x y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]
②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1111111+-=+-+=+=
x x x x x y ∵01
1
≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1
+
==2)1(2+-
x
x 2≥， 当x<0时，)1
(x x y -+
--==－2)1(2----x
x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数
x
x y 1
+=的图像为：
例3 求函数y =
+-2
5
x log 3
1-x （2≤x ≤10）的值域
解：令y 1=
2
5
-x ，2y =
log
3
1-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y min = 3
2-+log 3
12-=8
1
， 当x = 10 时，max y = 52+log 39=33。
故所求函数的值域为：[
8
1
，33]。 例4 求函数y= 1+x -1-x 的值域。
解：原函数可化为： y=
1
12-++x x 当x = 1时，y=1y +2y 有最小值2，原函数有最大值
2
2= 2。
显然y>0，故原函数的值域为( 0 , 2]。
例5求函数y x = y ∈1,2
??-∞ ??
?
练习：求函数 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
二、反比例函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数3x 4
y 5x 6
+=
+值域。
则其反函数为：46x y 5x 3-=-，其定义域为：3
x 5
≠ 故所求函数的值域为：3y 5??
≠
???
?
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例7 求函数x+1
y =
的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数x+1y x+2=
的反函数为:12y
x -=,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y ∈R ｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，
是数学解题的重要方法之一。
练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝）
三、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例8. 求函数
1e 1
e y x
x +-=的值域。 解：由原函数式可得：
1
y 1
y e x -+=
∵0e
x
>
∴01y 1
y >-+
解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-
例9. 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。
解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：
x+y （）=3β
即sin x+3（）β∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+
即
1
1
y y 312
≤+≤
-
解得：42y 4
2≤≤- 故函数的值域为????????-42,42 形如02
≥x 可解出y 的范围,从而求出其值域或最值。
例10．求函数121
2--=x x y 的值域
[解析]：由1
212--=x x y 得112--=y y x
四、配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。
例8. 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ；②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ；④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，min y =-2，max y =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，max y =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，max y =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b
x 2-
=时，其最小值a
b a
c y 4)4(2
min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a
b a
c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b].
①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.
②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.
练习1．求函数562---=x x y 的值域 由562---=x x y 44)3(2≤---=x ]4,(-∞∈∴y
练习2. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。解：将函数配方得：4)1x (y 2
+-= ∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例5：求函数
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由2-x x 2++≥0,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。此时2
-x x 2++=－（x －1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x －5.(答案:值域为{y ∣y≤3}) 1101
1
,022
-<>?>--∴
>y y y y 或 五、换元法
利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如
)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且。
例3．求函数x x y -+=12 的值域
解：设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y (]4,∞-值域为 例11. 求函数1x x y -+=的值域。
解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2
+=
∵
43
)21t (1t t y 22+
+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞ 例2求函数
的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设
（t≥0）,则x=1/2(2t -1)。
于是 y=1/2(2t -1)-3+t=1/2
2
t+1（）-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数
y=–x 的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
例12. 求函数2
)1x (12x y +-++=的值域。
解：因0)1x (12
≥+- 即1)1x (2≤+
故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+
∴1cos sin cos 11cos y 2
+β+β=β-++β=1)4sin(2+π
+β=
∵
π≤π+
β≤π≤β≤45
40,0
2
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴ 故所求函数的值域为]21,0[+ 例13. 求函数
1x 2x x
x y 24
3++-=的值域。
解：原函数可变形为：
222
x 1x 1x 1x 221y +-?+?= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+22
22cos x 1x 1,2sin x 1x 2
β
-=β?β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y
当
82k π-π=
β时，
41y max = 当82k π+π=β时，41y min -
= 而此时βtan 有意义。 故所求函数的值域为???
???-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，
?
?????ππ-∈2,12x 的值域。 解：)1x )(cos 1x (sin y ++= 1x cos x sin x cos x sin +++=
令t x cos x sin =+，则)
1t (21
x cos x sin 2-= 2
2)1t (21
1t )1t (21y +=++-=
由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=
且??????ππ-∈2,12x 可得：2
t 2
2≤≤ ∴当2t =时，
2
23y max +=
，当
22t =时，22
43y += 故所求函数的值域为???????
?++
223
,2243。 例15. 求函数2
x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52
≥-，可得5|x |≤
故可令],0[,cos 5x π∈ββ=
4
)4s i n (10sin 54cos 5y +π
+β=β++β=
∵π≤β≤0 4544
π
≤
π+β≤π∴
当4/π=β时，104y max += π=β时，54y min -= 故所求函数的值域为：]104,54[+-
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
六、判别式法
把函数转化成关于x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥?，从而求得原函数的值域，
形如2
22
21
121c x b x a c x b x a y ----= 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例4．求函数1
1
22+-=x x y 的值域
原函数可化为 010)1(2=++?+-y x x y
1） 1=y 时 不成立
2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1）、2）值域}11|{<≤-y y
例4. 求函数
22
x 1x x 1y +++=
的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2
=-+-
（1）当y=1时，0x =，
（2）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2
≥----=?
解得：23y 2
1≤≤ 当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????
??23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22
2=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42
≥-+=?
解得：21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
由0≥?，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 22
2=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在
区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此
函数的值域为?
????
?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤
0)x 2(x x y ≥-+=∴
21y ,0y min +==∴代入方程（1）
解得：
]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
即当22
222x 41-+=
时， 原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的
部分剔除。
例3．求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域
方法一：去分母得 (y -1)2
x +(y+5)x -6y -6=0 ①
当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2
≥0
检验 51-=y 时 2)
5
6
(2551=-?+--=x （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5
1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
综上所述，函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}
方法二：把已知函数化为函数3
6
133)3)(2()3)(2(--
=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1
∵ x=2时 51-
=y 即 5
1-≠y ∴函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(22
x －2x+3)/(2
x －x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y －2）2
x －(y －2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=2
y-2（）
－4（y －2）x+(y －3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(a 2
x +bx+c)/(d 2
x +ex+f)及
练习：求函数y=1/(22
x －3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
七、均值不等式法：
利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是
和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=的值域。
解：原函数变形为：
5
2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x
cos 1
x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+
++=
当且仅当x cot x tan =
即当
4k x π
±
π=时)z k (∈，等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞
例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。
解：x cos x sin x sin 4y =
x cos x sin 42=
例3、求函数y=4sinx ·cos 2x 的最值
分析：利用sin 2x+cos 2
x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值
解：∵y 2=16sin 2x ·cos 2x ·cos 2x=8（2sin 2x · cos 2x ·cos 2
x ）
≤8（3x cos x cos x 2sin 222++）3=8*278=27
64
∴y 2≤
27
64，当且仅当2sin 2x=cos 2
x 即tgx=±22时，取“=”号
∴y 大=
398 y 小=-39
8
27
64
]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==
当且仅当x sin 22x sin 2
2-=，即当
32
x sin 2=
时，等号成立。
由
2764y 2≤
可得：
93
8y 938≤≤- 故原函数的值域为：???????
?-938,938 八、 数形结合：
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：21(1)
3(12)21(2)x x y x x x -+<-??
=-≤
，画出它的图象（下图），由图象可知，函
数的值域是{y|y ≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数2
2)8x ()2
x (y ++-=的值域。
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞
例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++++-=的值域。
解：原函数可变形为：
2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=
上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 2
2min =+++==，
故所求函数的值域为],43[+∞
例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++-+-=的值域。
解：将函数变形为：2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。 即：|BP ||AP |y -=
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ?，根据三角
形两边之差小于第三边，有
26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<- 即：26y 26<<-
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==-
综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点
在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数
的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数
(a,b,c 均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性
质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习9：求函数
（答案：｛y|y≥5√2｝）
求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。
九、 多种方法综合运用
例22. 求函数
3x 2
x y ++=
的值域。
解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2
+=+
（1）当0t >时，
2
1
t 1t 11t t y 2≤
+=+=
，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以
21y 0≤
< （2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：?
????
?21,0 注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数424
32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=
的值域。
解：
423
4
242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=
22
22x 1x x 1x 1++???
? ?
?+-= 令2tan x β=，则β=???? ??+-22
22
cos x 1x 1
β=+s i n 21x 1x 2
1sin 2
1
sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2
+
??? ??-β-= ∴当
41
sin =
β时，
1617y max =
当1sin -=β时，2y min -= 此时
2tan β都存在，故函数的值域为??????-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。
对数函数典型例题
对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0
(完整版)函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A
求值域经典例题
四、经典例题 例1、求下列函数的值域： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解： （1） ∵ ∴， 即所求函数的值域为. （2）由
∴ ∴ 注意到这里x∈R，， ∴ ∴所求函数的值域为[－1，1]. （3）这里 令sinx＋cosx＝t 则有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函数的值域为. （4）注意到这里y>0，且 ∵
∴ 即所求函数的值域为. （5）注意到所给函数为偶函数， 又当 ∴此时 同理，当亦有. ∴所求函数的值域为. （6）令 则易见f（x）为偶函数，且 ∴是f（x）的一个正周期.① 只需求出f（x）在一个周期上的取值范围. 当x∈[0，]时， 又注意到， ∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值. 而在[0，]上，递增.③ 亦递增④∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.
∴ 即⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为. 点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致. 例2、求下列函数的周期： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 解： （1） ＝ ＝ ∴所求最小正周期. （2）
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
高中数学二次函数分类讨论经典例题
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
综合题：高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =
6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
值域经典题型
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；
（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
高中数学函数经典复习题含答案
《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
高一指数函数与对数函数经典基础练习题,
指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数；
高中数学经典例题错题详解
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）
高中数学_经典函数试题及答案
经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为［0，1］，则函数f (x 2)的定义域为_ _ _；函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为［-2，3］，则函数 f (2x -1)的定义域是 ；函 数 f (1 + 2)的定义域为 。 x 4、 已知函数f (x )的定义域为［-1, 1］，且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在， 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f (x -1) = x - 4x ，求函数 f (x )， f (2x +1) 的解析式。 2、 已知 f (x )是二次函数，且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ，求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2 3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4，则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数，且当x[0,+)时，f(x)=x(1+3x)，则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是｛x|x R,且x1｝，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=1，求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数，则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是；函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5)，y2=x-5；⑵y1= x+1 x-1 ，y2= (x+1)(x-1) ； x+3 ⑶f (x) = x，g(x) = x2 ；⑷f (x) = x，g(x)= 3x3 ；⑸f1(x) = ( 2x-5)2 ， f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(－∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。函数定义域、值域经典习题及答案88322
高一数学对数函数经典题及详细答案
高中函数值域的经典例题12种求法