函数值域的求法及例题
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
函数值域求法(例题)
函数值域的求法1、〔察见解〕求以下函数的值域〔1〕求函数 y1=11的值域0,12x1〔2〕求函数 y1=2－x的值域。
- ，22、〔配方法〕求以下函数的值域〔1〕求函数y x2 2 x 5, x [ 1,2] 的值域4，8〔2〕求函数 y x26x 5 的值域：0，2〔3〕 x, y 是关于m的方程222的根那么m2am a 6 0, x 1y 1 的最小值是〔〕 CA.-12 1D.3 443、〔换元法〕求以下函数的值域〔1〕y2x 1x 13，〔2〕y x 49 x21,4 3 2〔3〕求函数 y=x 2的值域0,1 x 32〔4〕求函数y x 1 x 的值域1,2〔5〕求函数 y=x3x的值域11 42x21-, x444、〔分别常数法〕 求以下函数的值域〔1〕求值域〔 1〕 yx 1( x 4)x 2〔2〕求函数 yx 2x 的值域。
x 2x 15、〔鉴识式法〕 求以下函数的值域2 x 2 x 2〔1〕求函数的值域 yx 1x 2- ，1 5，2- 1，1 31，5〔2〕求函数 y2x 24x7的值域。
- 9 ，2x 2 2x 322ax b的值域是 [1， 3 ]，求实数 a ，〔3〕函数f ( x)2 xb 的值 .a=2或-2，b=2x 216、(单调性法 )求以下函数的值域〔1〕求函数 f (x)2x 3 4x 2 40x ， x [ 3,3] 的最小值。
f (2)-483 1〔2〕设函数 f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－4，4上的最大值和最小值．f ( x)max f ( 1)= ln 7+ 1 f (x)min f (- 1)= ln 2+ 14216247、 (数形结合法 )求以下函数的值域26x 13 6-2〔1〕求函数 y=6 x x 4x 5的值域-5，262x 1 7-2〔2〕求函数 y=7 x x - x 1的值域-1,1〔2〕假设 ( x1 y2 )( y 1 x2 ) 0 ,求 x y 的最大、最小值-2，1cos x〔3〕求函数y - 2 ， 2sin x 3 的值域。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
函数的值域典型例题及答案
函数的值域题型一：求函数值，特别是分段函数求值例题1.已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R).(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值.【答案：f (2)＝13，g (2)＝6；∴f [g (3)]＝112】 练习1.1.已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)].【答案：f (2)＝34；f [f (1)]＝58】 练习1.2.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值.【答案：f (2)＝5，f (1x )＝1＋x －x 2x 2；x ＝2，或x ＝－3.】 练习1.3.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________.【答案：6】 题型二：值域是函数y=f(x)中y 的取值范围例题2.1.（图像法）求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x ≤1) 【答案：[-1，5]】 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f 【答案：]92,32[--】 ③ xx y 1+=（记住图像） 【答案： ]2,(--∞[2，+∞)】 练习2.1.求下列函数的值域：①142+-=x x y ； 【答案：{y|y ≥-3 }.】②；]4,3[,142∈+-=x x x y 【答案：[-2，1].】③]1,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-2，1].】④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-3，6].】例题2.2.（代数换元法）求函数x x y -+=12 的值域 。
【答案：]2，（∞-】 练习2.2.求函数y=x x --1的值域。
【答案：｛y|y ≤－3/4｝】例题2.3.（三角换元法）求函数21x x y -+=的值域【答案：[-1,2]】练习2.3.例题2.4.（反函数法）求函数21+-=x x y 的值域【答案：{}1≠y y 】（此类题目也可用分离常数法） 练习2.4.1.求函数6412+-=x x y 的值域【答案：{y|y ≠21}】 练习2.4.2.求函数133+=x xy 的值域【答案：y ∈(0，1)】 练习2.4.3.求函数 y =1212+-x x 的值域；【答案：y ∈(-1，1)】例题2.5.（判别式法）函数1122+-=x x y 的值域（也可用分离常数法，反函数法） 练习2.5.1.求函数34252+-=x x y 的值域 【答案：}50|{≤<y y 】 练习2.5.2.求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 【答案：[)∞+,2】（也可用分离常数法） 例题2.6.（分离常数法）详细过程见其他例题例题2.7.（单调性法）求函数y=4x －x 31-的值域。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
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函数值域的求法
在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.
[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜
(5)y ＝2x －3＋134-x
(6)y ＝2
224)1(5
+++x x x
(7)y ＝5
21+-x x
(8)y ＝1223222++--x x x x
(9)y ＝3－2x －x 2
x ∈[－3，1]
(10)y ＝2
1322+-x x
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.
对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.
对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.
解：(1)y ∈R
(2)y ∈{1，0，－1}
(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]
时，得y ∈[－1，8]
(4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入
手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3
－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3]
(5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.
∵4x －13≥0 ∴x ∈[4
13
，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t
∴y ＝
21t 2＋t ＋27
∴y ＝2
1（t ＋1）2＋3
∵x ≥4
13
∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)
(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：
y ＝2
2222224)1(5
)1()1(5+++=+++x x x x x x
＝2
222222222)
1(1
1)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝
111)1(5222++-+x x 令t ＝1
1
2+x
∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝10
1
时
y min ＝
20
19
当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019
，5]
(7)∵y ＝－21
＋5227+x
∵5
227
+x ≠0 ∴y ≠－2
1
∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－
21）∪（－2
1
，＋∞） (8)由y ＝1
223
222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：
（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠
2
1
时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠2
1 又当y ＝
21时，2（1＋21）x ＋（21
＋3）＝0 得：x ＝－6
7
，满足条件
∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2
∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4
∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4]
(10)由y ＝2
1
322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1
即（3－y ）x 2＝2y ＋1
若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝
y y -+312 ∵x 2≥0 ∴y
y -+31
2≥0 解得：－
2
1
≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－
2
1
，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.
（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.
（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.
二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(122
2
∈-++=x a ax x y
（2）]1,[1
42+∈++=t t x x x y
三、含参数的其他值域问题
［例3］已知函数f (x )=x
a
x x ++22,x ∈［1,+∞)
(1)当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值.
(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a =
21时，f (x )=x +x
21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，
∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=
2
7.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=x
a
x x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.
设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
解法二：f (x )=x +
x
a
+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
练习
一、选择题
1.函数y =x 2+x
1
(x ≤－21)的值域是( )
A.(－∞,－
4
7
]
B.［－
4
7
,+∞)C.［2
233,+∞)
D.(－∞,－
3
22
3］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.R
D.［1,+∞)
一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x
1
在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+
x
1
在x ∈(－∞,－21)上为减函数,
∴y =x 2+x
1
(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).
答案：B
2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =2
12
t -.
∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1].。