求值域的方法大全及习题

求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

例2、求函数221x x x y +-=的值域。

【同步练习4】求函数2x 54x y -++=的值域。

【同步练习5】1、求函数x x y 21-+=的值域.2、求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

3、已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例1、求函数3sin 3sin +-=x x y 的值域。

例2、求函数3cos 21sin 3+-=x x y 的值域。

【同步练习6】求函数11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域.（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例1、 求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．例2、 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域.例3、求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域.例4、求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 【同步练习7】1、求函数13y x x =-+-的值域.2、求函数31y x x =--+的值域.3、求函数224548y x x x x =+++-+的值域. 4、求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值.（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一正二定三相等”；利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例1、求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 例3、 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.（7）、根判别式法：对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例1、求函数2211x x y x++=+的值域．例2、求函数)x 2(x x y -+=的值域.【同步练习8】1、求函数225851x x y x ++=+的值域.2、求函数2212+++=x x x y 的值域.3、函数22813()log ax x bx f x +++=的定义域为(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,a b 的值.4、设函数 ()22ax b y f x x +==+的值域为 []51,-，求a ,b .5、已知函数y =f (x)=()01222<+++b x c bx x 的值域为[1,3],求实数b ,c 的值.（8）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．例1、求函数221xx y =+的值域．例2、求21+-=x x y 的值域.（9）、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数3y x =+的值域.多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

【例题综合分析】例1、求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos xy x-=-解：（1）法一：公式法（略）法二：（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 【拓展】求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（4）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =+（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈，∴)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥， ∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥-当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，∴)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==），∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤∴2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2、若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．（综合） 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<， 故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3、 求函数3x 2x y ++=的值域。