函数值域求法大全定稿版

函数值域求法大全

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函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数

x 1

y =的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：

4)1x (y 2+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

22

x 1x x 1y +++=的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程

（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 2

1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：

0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈

∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：

0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤

21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]

2,0[22

222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。 解：由原函数式可得：

3y 5y

64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝

⎛∞-53, 5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数

1e 1e y x x +-=的值域。 解：由原函数式可得：

1y 1

y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数

3x sin x

cos y -=的值域。 解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为： 即

1y y

3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即

11y y

312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数)10x 2(1x log 2

y 35x ≤≤-+=-的值域。 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-

则21y ,y 在[2，10]上都是增函数

所以21y y y +=在[2，10]上是增函数

当x=2时，

81

12log 2y 33min =-+=- 当x=10时，339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣

⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。 解：原函数可化为：

1x 1x 2

y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数

所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2

2

2=

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2+= ∵

43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y min =

当0t →时，+∞→y

故函数的值域为),1[+∞

例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12≥+-

即

1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0 故所求函数的值域为]21,0[+

例13. 求函数

1x 2x x x y 243++-=的值域。 解：原函数可变形为：

22

2x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=