高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
函数的值域在函数的应用中占有非常重要的地位.因此,准确选择恰当的方法显得十分重要.本文结合具体的经典例题说明了求函数值域和最值方法.
洪老师的高考必备资料库平台针对高中数学整理了63个考点的解题方法和万能模板，对于高中生的提分学习非常的有帮助的，而今天下面的这个高中数学求函数值域最值的几种经典例题和方法均在里面。
如有需要完整的一套高中数学万能解题方法大全，可以向洪老师申请资料服务（付费），本资料编号是：063
高中数学求函数值域最值的几种经典例题和方法
方法一观察法
方法二分离常数法
方法三配方法
方法四反函数法
方法五换元法
方法六判别式法
方法七基本不等式法
方法八单调性法
方法九数形结合法
方法十导数法。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（ ） A ．1y x =-B ．1y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 【答案】BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意. 故选：BC【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________（用区间表示） 【答案】[0,4]【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解21x 时和13x ≤≤时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当21x 时，2()(1)f x x =+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，所以()[0,4)f x ∈，当13x ≤≤时，()5f x x =-+，为单调递减函数， 所以()[2,4]f x ∈，综上：()[0,4]f x ∈，即()f x 的值域为[0,4]. 故答案为：[0,4]方法二 分离常数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数2)(-=x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】函数212x y x -=+； ①[]5,10x ∈的值域是__________； ②()()3,22,1x ∈---的值域是__________．【答案】 919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】215222x y x x -==-++，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】()2252152222x x y x x x +--===-+++， 其图像可由反比例函数5y x-=的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： ()f x ()ax bf x cx d +=+()f x ()a ef x c cx d=++ey cx d=+()f x ()f x ()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x当5x =时97y =，当10x =时1912y =，所以[]5,10x ∈的值域是919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为当3x =-时7y =，当1x =时13y =，所以()()3,22,1x ∈---的值域是()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭方法三 配方法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）函数212y x x =-++的值域为________.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞【分析】先求出x 的取值范围，再求出2924x x -++≤，且220x x -++≠，即得解. 【详解】解：由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤, 且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞.故答案为：4(,0)[,)9-∞+∞方法四 反函数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=--∴()()32222-•-=x x x f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x x x y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+， 即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6 求函数12y x x =+-.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令21120,2t t x x -=-=，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x(sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】（2022·全国·高一专题练习）求函数231xy x x =-+的值域.【答案】(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将函数式转化为方程()2310yx y x y ++=-，即该方程在x ∈R 上有解，讨论0y =、0y ≠，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为231xy x x =-+，所以当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为()2310yx y x y ++=-，22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y所以22(31)40y y ∆=+-≥，整理得25610y y ++≥， 解得即1y ≤-或15y ≥-，∴综上，函数231xy x x =-+的值域为(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 方法七 基本不等式法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()2212222425422-+-=-+=-+-=x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
函数的值域求法练习题（含答案）
函数的值域求法练习题（一）基本知识点1、直接观察法：2、配方法3、换元法。
4、反函数法（或反表示法）。
5、反比例函数法。
6、数形结合法。
7、判别式法。
8、不等式法。
9、单调性法（二）经典例题1、（配方法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）当(0,2]x Î时，函数2()4(1)3f x ax a x =++-在2x =时取得最大值，则a 的取值范围是___（2）设函数2()2()g x x x R =-Î,()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<ì=í-³î则()f x 值域是（ ）A.9,0(1,)4éù-+¥êúëûB.[)0,+¥C.9,4éö-+¥÷êëøD.9,0(2,)4éù-+¥êúëû（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根的根,,则()()2211x y -+-的最小值是（小值是（）A.-1241 B.18 C.8 D.432、（换元法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）211y x x =++- （2）249y x x =++-（3）21y x x =-- （4）11y x x =+--（5）24y x x =-+-3、(反函数法或反反解函数法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）313xxy =+ （2）2sin 11cos y q q-=+4、(数形结合法)求下列函数的值域求下列函数的值域 （1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2y x +及2y x -的取值范围的取值范围（2）|1||4|y x x =-++ （3）2261345y x x x x =-++++（4）求4242()36131f x x x x x x =--+--+的最大值。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
求值域的方法,带例题
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}.练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0，即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x x y x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
高中函数求值域的九种方法和例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数专题之值域与最值问题一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。
（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。
六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为－2x+1 (x≤1)y= 3 (-1<x≤2)2x-1(x>2)它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。
(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。
（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。
（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y ∈R ，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y 的值域。
（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y ≠3。
∴函数y 的值域为y ≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x ≠1)的值域。
（答案：y ≠2） 十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x ≠0 解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。
不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y ≤3｝） 2． Y=2x/(2x －1)。
（y>1或y<0）训练例题例1．求下列函数的值域（1）222y x =+（2）31(1)2x y x x +=≤-（3）2y x =+4） 4y x =+例2．已知,0,26x y x y ≥+=，求224363Z x xy y x y =++--的最值。
例3．求下列函数的值域（1）221425x x y +=--+（2）221x x y x x -=-+（3）sin 2cos xy x=-例4.如何求函数23(1)1x y x x +=>-+的最值？21(1)3x y x x +=>-+呢？例5．求下列函数的值域（1）21()(2)x f x x x +=≥（2）2y x =-3）|1||4|y x x =-++（4）1sin 2cos xy x-=-课后练习题 一、选择题1. 已知函数()f x =⎩⎨⎧≤>)0(3)0(log 2x x x x，则f ［f （41）］的值是 A.9B.91C. -9D. -91 2. 若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫⎝⎛==R x y y S x,121|,{}2|log (1),1T y y x x ==+>-，则T S 等于A ．{0}B ．{|0}y y ≥C ．SD ．T 3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是A.125xy -= B.11()2xy -= C.y D. y =4. 定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ，b ］,则(1)f x +的值域为A.［a ,b ］B.［a +1,b +1］C.［a －1,b －1］D.无法确定5. 函数y =12-x 的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是 A.(-∞,0) [21,2] B.(-∞,2) C.(-∞,21) [2,+∞] D.(0,+∞)6. 函数]4)3(lg[2+++=x k x y 的值域为R ，则实数k 的取值范围是A ．17≤≤-kB ．7-≤k 或1≥kC ．71≤≤-kD ．7-<k 或1>k 7. 已知函数)(,||1)1()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是A ．2B ．22C ．32 D ．322 8. 函数|3||1|y x x =--+A.最小值为0，最大值为4B.最小值为-4，最大值为0C.最小值为-4，最大值为4D.没有最大值，也没有最小值 9. 已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是A ．2<aB ．2>aC ．2=aD ．以上三种均有可能 10.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++=+=则且,1,1,21bb a a 的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．611. 已知()12g x x =-,221[()](0)x f g x x x -=≠,则f ()21= A ．15 B ．1C ．3D ．3012. 设函数f x x x ()()()=-><⎧⎨⎩1010，则()()()()a b a b f a b a b ++-⋅-≠2的值为A.aB. bC.a 、b 中较小的数D.a 、b 中较大的数13．函数191()n f x x n==-∑的最小值为A ．190B ．171C ．90D ．45二、填空题：14. 定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)21()21(=-++x f x f ,则+)81(f )82(f)87(f ++ 的值等于________15. 已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =．则(2)(3)(4)(2007)(1)(2)(3)(2006)f f f f f f f f ++++=16. 设1)(2++=x bax x f （a >0）的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为_________ 17． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=15103032x x x x x x y 的最大值是 18．已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= 三、解答题：19. 求下列函数的值域 （1）5442--=x x y ；（2）x x y 21-+-=；（3）xx y 12-=20． 已知函数222()(0)1x bx cf x b x ++=<+的值域为［1，3］，求实数b 、c 的值。