分离常数法
常数分离法
常数分离法常数分离法概念:分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
还有一种常见的应用方式是在分式型函数中，当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，也称之分离常数法。
【题目】：什么是分离常数法。
【答案解析】：分离常数法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,这时通过多项式的除法,分离出常数,使问题简化。
在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）,从而求出变量的取值范围.这种方法可称为分离常数法。
用这种方法可使解答问题简单化。
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数。
例:y=x/(2x+1).求函数值域。
分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项。
Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)=1/2-1/[2(2X+1)].即有,-1/[2(2X+1)]≠0,Y≠1/2.则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}。
分离常数法：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,公式推倒应该用Y=（ax+b）/（cx+d)（c≠0）而不是Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）.所以这一句话应该改成：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数,分离常数,变形过程为（ax+b)/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。
a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。
适用情况举例：（1）分离常数法适用于解析式为分式形式的函数，如求的值域，则可分离常数为，进而求值域，[3] 当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，称之分离常数法。
分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用
分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
2.分离常数法的常考题型：（1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域；3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。
解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。
4.分离变量法的常考题型：（1）函数零点问题；（2）函数单调性问题；（3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题；（5）求定点、定直线问题； 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）：（1）相同函数，不同变量（分别考虑）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-⇔min max )()(；（2）不同函数，相同变量（构造函数）：(I)对任意D x ∈，)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-⇔≤-⇔x g x f x g x f ； (II)存在D x ∈，使)()(x g x f ≤成立⇔存在D x ∈，0)]()([0)()(in ≤-⇔≤-m x g x f x g x f ；（3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）：(I)存在D x ∈，使)()(x g x f =成立⇔存在D x ∈，)()(0)()(x g x f x g x f -⇔=-有零点； (II)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g ⊆值域； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g 值域φ≠；（4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤⇔；(II)存在11D x ∈，使得任意22D x ∈时，)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤⇔； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤⇔；(IV)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤⇔； 总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较；（2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；例1.若函数ax b x x f --=)(在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（ ） A.a ＞b≥4 B .a≥4＞b C .4≤a ＜b D .a≤4＜b例2.求函数21273)(22+---=x x x x x f 的值域。
恒成立之分离常数法
１
（ １ ） 当 ： ０ 时， 不等式一 １ ≤０ ｘ ０ ≤１ 显然成立 ，
‘
、 ／
≥ ＿： ｙ 、 ／ （ 当且仅 当 ： ｙ 时取等号 ） ， 、 ／
Ｉ ａ － ２ … … ≥。
、 …
４
＜Ｏ
解： （ １ ） 分离不等式 ＋ （ １ － ｔ ） ＋ ４ ＞ ０ 中的参数ｔ ， 得 ￡ ＋ ＋ １ ， 对任意 ∈［ ２ ， ＋ ∞） ，
ｙ ＋ ＋ １ 在 ［ ２ ， ＋ ） 上 单 调递 增 ， 故ｙ ＋
＋ １ ≥５ ， 所 以￡ ＜ ５ 。
’
． ．
ａ≤ ０
叉 ． ・ 一 １
—
１ （
ｘ
１） ２ ＋１ ＜－ ２ ， （ 一 １
一
￣
） ：
ｘ—
一
二
２ ． ０≥ 一２ ． 一２≤ ０≤ ０
综上得 ， 。 的取值 范围为一 ２ ≤。 ≤０ 。 例３ ： 已知 当 ∈Ｒ时 ， 不 等式 Ⅱ ＋ ｃ ０ ｓ ２ ｘ ＜ ５ — ４ ｓ ｉ 似 Ｖ３ ５ ７ － ￣ ４恒成立 ， 求实数口 的取值范 围。 分析： 在 不等式 中含有两个变 量ｎ 及 ， 其 中 的 范 围已知（ Ｒ） ， 另一变量ａ 的范 围即为所求 ， 故 可 考虑将ｎ 及 分离。
＋３≤ ３。
・ ．
．
ｖ ３７ ５￣ － ４ 一 一 ｎ ＋ ５ ＞ ３ ， 即、 ／ ！
＞
￣
＞ 叶２
上 式 等 价 于 Ｉ ａ ５ － ２
５
０
上式等价于 ｛ ａ － ４ ￣０
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离常数知识点总结
分离常数知识点总结一、分离常数型：1、分析问题 a、形式：一元二次不完全平方（一个平方项和一个不含x的项）（ x^2+px+q）,化为完全平方的功能。
b、目的要求：a>0.2、基本思路：一、通过配方法配成平方完全平方。
二、将x^2+px+q化成x^2+2ax的形势。
（其中x^2+px取出相同项a）三、化简x^2+px+q四、用(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 即得(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.We usually get a+x=a+/-√a^2-q=a±√a^2-q3、具体做法：一、切除x^2+px到(x+a)^2=x^2+2ax+〖(x+a)〗^2=x^2+px ,得出a=1/2p二、将x^2+px+q此后疏通三、转换后为(x+a)^2-q+a^2四、解此公式x+a1=x1+a a+x2=-a2=x2-a。
(x+a)^2=q+a^2 〖(x+a)〗^2=-q+a^24、用法（用配方法解一元二次方程）一、解单变数一次二次方程知识要领：一元二次方程的形式优化与变型，用配方法解一元二次方程。
二、推广至多元一次二次方程知识要领：多变数一次二次方程的解法，将一元二次方程套进多元一次二次方程。
三、同一元二次不等式知识要领：一元二次不等式的解法，用分离常数与中学公式解不等式特定范围。
四、指数与根号中的分离常数知识要领：同样用分离常数来解决指数与根号中的易变性。
5、配方型发扬如何使用配方法解决一元二次方程，而非给出线索，道出配方字面定义。
6、配方型应用和解方型辨析：弥补配方法与求根公式的积累好处，题目大讲解、辨析或应用7、配方应用拓展指出其他配方法应用，丰富学生知识点8、整合服务生活：如何用生活例子说明配方方法，构建做题与实际应用结合的桥梁。
分离常数解利用整数解：-1,200与19。
由于方程的解为常数，所以可设y=x+1，解得（x+1）^2=x^2+2x+1=200x^2+2x=199（x+1）^2=(x+1)^2=200x^2+x=19x^2+2x<200x^2+x<19x^2＝200-xy^2＋x^2＋y＝200y^2＋19＋y＝200y^2＝200-19-yy^2＝181-2y这种方法称为分离n常数解。
分离常数法
分离常数法分离常数法是微分方程的一种常用解法之一，适用于一阶线性常微分方程。
它的核心思想是将方程中的变量和常数项分成两部分，从而使原方程转化成两个可分离变量的方程，进而求解出方程的解析解。
分离常数法的基本步骤如下：1. 将所给的一阶线性常微分方程写成标准形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)为函数。
2. 将方程两端同时乘以g(y)，并且将变量y的所有项移到方程的一边，变成dy/g(y) = f(x)dx。
3. 对上述等式两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
4. 对所得的积分进行求解，得到一个含有常数C的方程。
5. 根据初始条件，将常数C确定下来，得到原方程的特解。
下面通过一个具体的例子来说明分离常数法的应用。
例题：求解一阶线性常微分方程dy/dx = x^2 - y^2。
解法：首先将方程整理为标准形式：dy/dx = (x^2 - y^2)将方程两端同时乘以1/(x^2 - y^2)，并将变量y的项移到方程的一边，得到：dy/(x^2 - y^2) = dx对上述等式两边同时积分，得到：∫dy/(x^2 - y^2) = ∫dx对左侧的积分进行处理，可以通过部分分式分解的方法将其分解为：1/2 [∫(1/(x - y) + 1/(x + y))dy]对分解后的两个分式进行分别求积分，得到：1/2 [ln|x - y| - ln|x + y|] + C1 = x + C2其中C1和C2为常数。
整理上述方程，得到：ln|x - y| - ln|x + y| = 2(x + C2)再利用对数性质，将上述方程进一步简化为：ln(|(x - y)/(x + y)|) = 2(x + C2)再利用指数函数的性质，得到：|(x - y)/(x + y)| = e^(2(x + C2))考虑到e^(2C2)为一个正常数，上述方程可以再次简化为：(x - y)/(x + y) = Ce^(2x)其中C = e^(2C2)为常数。
分离常数法在数学解题中的应用
分离常数法在数学解题中的应用分离常数就是把分子分母中都有的未知数的数学式子变成只有分子或者只有分母有的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
通过这样的变形可以使式子简化并解决实际问题。
下面通过举例介绍分离常数法在数学解题中的应用。
1求函数值域例1：求函数y=■的值域解：y=■=■=1-■∵x■+1≥0∴-2≤■＜0从而-1≤y＜1所以函数y=■的值域是y∈[-1,1)例2：求函数y=■的值域解：y=■=■-1+■∵-1＜sinx≤1∴y≥0∴函数 y=■的值域是y∈[0,+∞)2讨论函数的单调性例3：讨论函数 y=x-■在区间[1,+∞)y=x-■在区间[1,+∞)上的单调性解： y=x-■=■在区间[1,+∞)上，由于x与■是单调增加所以x+■在区间[1,+∞)也是单调增加，从而y=x-■=■在区间[1,+∞)是单调减少的。
例4：讨论函数y=■的单调性解：y=■=■=■=1+■设0＜x1＜x，则1＜10■＜10■，从而0＜10■-1＜10■-1，所以■＞■即f(x1)＜f(x2)∴y=■在(0,+∞)上是单调减少；同理可证y=■在(-∞,0)上也是单调减少。
3求最值例5：求函数y=■(x■＞-1)的最小值解：y=■=■=■=(x+1)+■+5≥２■+5=9当且仅当(x+1)=■，即x=1时取等号所以函数y=■(x■＞-1)的最小值是9。
4数列中的应用例6：求和sn=■+■+■+…+■解：因为■=■=1+■=1+■(■-■)所以sn=[1+■(1-■)]+[1+■(■-■)]+[1+■(■-■)]+…+[1+■(■-■)]=1+1+…+1+■[(1-■)+(■-■)+(■-■)+…+(■-■)]=n+■(1-■)=■。
以上通过6个例子介绍了分离常数法在解数学题中的应用，可以看出，利用分离常数法，可以使复杂问题简单化，繁琐问题简洁化，从而更好更快地解决实际问题。
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、 设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、 设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、 奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、 函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。