1.1-1.2矢量概念、矢量加法
矢量的加法与减法
矢量的加法与减法矢量是描述物体运动或力的重要工具。
在物理学和工程学中，我们经常需要进行矢量的运算，其中包括矢量的加法和减法。
矢量的加法和减法的概念和规则在解决各种问题时都至关重要。
本文将介绍矢量的加法和减法的基本原理和应用。
一、矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新矢量的操作。
在几何上，矢量的加法也可以理解为将两个矢量的有向线段首尾相连形成一个三角形，并求出这个三角形的对角线所代表的矢量。
矢量的加法满足交换律和结合律，即不管矢量的顺序如何，它们相加的结果是相同的。
在平面直角坐标系中，可以通过坐标表示矢量，并利用坐标的加法规则进行计算。
假设有两个矢量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的和矢量C的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx = Ax + Bx，Cy =Ay + By。
这就是平面直角坐标系下矢量的加法规则。
除了直角坐标系的矢量加法外，还有极坐标系下的矢量加法。
在极坐标系中，矢量的加法可以通过在极坐标系下的矢量长度和方向的运算得到。
二、矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去得到一个新矢量的操作。
在几何上，矢量的减法可以理解为将两个矢量的有向线段的起点相连，并求出这个线段的另一端点所代表的矢量。
矢量的减法可以看作是矢量加法的逆运算。
与矢量加法类似，矢量的减法也可以利用坐标的减法规则进行计算。
假设有两个矢量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的差矢量C的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。
注意，在矢量减法中，减去的矢量的坐标需要取相反数后再相加。
三、矢量的加法与减法的应用矢量的加法与减法在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 力的合成与分解：在力学中，我们常常需要将多个力的作用效果合成为一个总力或将一个力分解为多个分力。
通过矢量的加法和减法可以方便地进行力的合成与分解。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
矢量的加减运算法则
矢量的加减运算法则
摘要：
一、矢量加减法简介
1.矢量加减法的基本概念
2.矢量加减法在物理中的应用
二、矢量加法法则
1.平行四边形法则
2.三角形法则
3.叉乘法
三、矢量减法法则
1.矢量减法的定义
2.矢量减法的几何意义
四、矢量加减法的应用实例
1.力的合成与分解
2.运动轨迹的计算
3.速度与加速度的计算
正文：
矢量加减法是物理学中矢量运算的基本方法，它涉及到矢量加法和矢量减法两个方面。
矢量加减法广泛应用于物理学的各个领域，如力学、电磁学等。
矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的过程。
矢量加法有三种基本法则：平行四边形法则、三角形法则和叉乘法。
其中，平行四边形法则是
矢量加法的基本法则，它是指将两个矢量的起点连接起来，形成一个平行四边形，新矢量的长度和方向分别等于平行四边形的对角线长度和方向。
三角形法则是将两个矢量的起点连接起来，形成一个三角形，新矢量的大小和方向分别等于三角形的第三边长度和方向。
叉乘法是将两个矢量进行向量积运算，得到一个垂直于原来两个矢量所在平面的新的矢量。
矢量减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去得到一个新的矢量的过程。
矢量减法的定义是：将减法中的被减矢量取相反数，然后与减矢量相加。
矢量减法的几何意义是将减矢量沿着被减矢量的方向平移，使得两者相接。
矢量加减法在物理学的应用非常广泛。
例如，力的合成与分解中，我们可以通过矢量加法将多个力的矢量相加得到总力，也可以将总力分解为多个分力的矢量之和。
在运动轨迹的计算中，我们可以通过矢量加法计算物体在某一时间段内的位移和速度。
第1章 矢量简介
二、矢量在直角坐标系中的正交分解
1. 直角坐标系 i 、j 、k 是一组分别沿着x
轴，y轴和z轴的单位矢量，称
为直角坐标系O-xyz的基矢。
i 、j 、k i 、j 、k
三个单位矢量之间 两两垂直（正交） 三个单位矢量满足右手螺旋关系
2.矢量在直角坐标系中的正交分解
A B A (B)
所以两个矢量相减和两个矢量相加一样，也可以 用平行四边形法则和三角形法则。
两个矢量相减的平行四边形法则： 以 A 及 B 为邻边作平行四边形，则对角线所表示 的矢量即为 A B 矢量。 B A B 以 A 及 B 为邻边的平 行四边形，一条对角线 是两个矢量的和，而另 A 一条对角线则是矢量之 B 差。 A B
0
正交特性可表示为：
i j j k k i 0 er e 0
2
2.矢量 A 与某单位矢量的标积即为矢量 A 沿该单位 矢量方向的投影。
A Ax i Ay j Az k A i Axi Ay j Az k i Ax 同理： A j Ax i Ay j Az k j Ay 同理： A k A i A j A k k A x y z z
2.矢量： 有些物理量除了知道他们的大小及单位外，还必须 指明其方向。这种除了大小和单位外，还具有方向， 并且加法遵从平行四边形法则的量称为矢量。 如位移、速度、加速度等都是矢量。 3.矢量的表示法： 书本中用黑体字来表示矢量，如 A、B、C
书写是用
A、B、C
来表示矢量
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形？〔1〕把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；〔2〕把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；〔3〕把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；〔4〕把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使以下各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ 〔1=+ 〔2+=+ 〔3-=+ 〔4+=- 〔5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解以下各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH〔参看第一节第4题图〕中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，〔1〕设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解〔2〕设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
高一必修二物理笔记手写完整
高一必修二物理笔记手写完整第一章：力力的概念和力的性质1.1 力的概念力是物体之间相互作用的结果，是导致物体运动状态发生改变的原因。
力的计量单位是牛顿(N)，1 N表示作用在物体上的力使其产生1 m/s²的加速度。
1.2 力的性质1) 力有大小和方向，是一个矢量量。
2) 力可以使物体产生加速度，改变物体的运动状态。
3) 力有起点和终点，通过力的作用线来表示。
力的作用效果2.1 力的合成如果多个力作用在同一个物体上，则合成力是这些力的矢量和。
2.2 力的分解如果一个力可由两个或多个力合成，则可将该力分解为这些力的合力。
力的运算3.1 力的合力力的合力是若干个力的矢量和，计算方法为沿着力的方向对力的大小进行矢量相加。
3.2 力的分解将一个力分解为多个分力的和，要求分力之间相互垂直。
3.3 牛顿第二定律的应用F = ma，力等于物体质量和加速度的乘积。
利用该定律可以计算物体所受的合力。
第二章：运动的描述均匀运动和变速运动1.1 均匀运动当物体在单位时间内相等的时间间隔内走过的距离是相等的，称之为均匀运动。
1.2 变速运动当物体在单位时间内相等的时间间隔内走过的距离是不相等的，称之为变速运动。
平抛运动2.1 平抛运动的特点物体沿水平方向做匀速直线运动，竖直方向受重力作用下落的运动。
2.2 平抛运动的规律水平速度保持不变，竖直速度随时间的推移而改变。
竖直方向上的位移呈现抛物线的形状。
自由落体运动3.1 自由落体运动的特点物体只受重力作用，而不受其他力的影响下自由运动的运动。
3.2 自由落体运动的规律落体运动过程中，物体的位移随时间的增加而增加，加速度为重力加速度。
曲线运动4.1 曲线运动的特点物体在运动过程中遵循曲线轨迹，包括水平抛体运动和竖直抛体运动。
4.2 曲线运动的规律曲线运动中，物体在水平和竖直方向上的速度彼此独立，但受到相同的加速度影响。
第三章：矢量矢量的概念和表示1.1 矢量的概念具有大小和方向的量称为矢量。
矢量和标量的区别(一)
矢量和标量的区别（一）引言概述：矢量和标量是物理学和数学中两个重要的概念。
它们在描述物理量时有着不同的特点和应用。
本文将详细探讨矢量和标量的区别，通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，旨在帮助读者更好地理解这两个概念。
正文：一、定义1.1 矢量的定义：矢量是具有大小和方向的物理量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向。
1.2 标量的定义：标量是只有大小而没有方向的物理量。
它可以用一个实数或者一个数字来表示，而没有其他附加信息。
二、表示2.1 矢量的表示：矢量可以使用加粗的字母（如a、b）表示，或者使用小写字母上方有箭头（→）的符号（如→a、→b）表示。
2.2 标量的表示：标量可以使用普通的字母（如c、d）表示，或者使用斜体字母（如、）表示。
三、运算规则3.1 矢量的运算规则：矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法。
在矢量的加法和减法中，矢量的大小和方向都会参与运算。
3.2 标量的运算规则：标量之间可以进行加法、减法、乘法和除法。
在标量的运算中，只有数值才会参与运算，而没有方向。
四、应用示例4.1 矢量的应用示例：矢量在物理学中有广泛的应用，如描述物体的位移、速度、加速度等。
而且，在工程学、航空航天等领域也有着重要的应用。
4.2 标量的应用示例：标量在数学中有广泛的应用，如描述温度、时间、质量等。
此外，标量也在计量学、经济学等领域中起着重要的作用。
总结：通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，我们可以看出矢量和标量在物理学和数学中的不同之处。
矢量具有大小和方向，可以进行矢量的加法、减法和数量乘法运算，适用于描述物体的位移、速度等；而标量只有大小，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，适用于描述温度、时间等。
通过深入理解和应用这两个概念，我们能够更好地解决实际问题和推进科学发展。
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c与a的差，记做b c a
b ca c b 或 a c b a 移项 a b c a c b 特别地b ( b) 0 c b c (b),
如图
差向量作图歌
求差并起点， 连接两终点；
欲问何方向？ 箭头指前者。
重要不等式(三角不等式)
ab a b
a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 a2 a1 a3
解析几何
一门利用坐标和向量代数研究空间 图形的学科
几何简介
• 一、欧几里德（Euclid)几何 • 几何原本及内容 • 1、概念
• • • • • 1）点没有部分 2）线只有长度没有宽度 3）线的界限是点 4）直线是同其中各点看齐的线 （这个定义据信是从泥水匠的水准器或从一只 眼睛沿着线往前看的结果得到启发而作出的）
b
B C
构成一个三角形. 作 AB a, BC b,
那么由图可知, AC a b, 所以 AC c 即 CA c
例题
只需要证明 事实上
abc 0
c
A
a
c
b
AB BC CA a b c
AA 0
a
b
B
C
必要性得证.
再证充分性, 即已知
a b c 0, 证明它们可以
5）面只有长度和宽度
6）面的界限是线 7）平面是与其上直线看齐的那种面 ……
公设
1 从每点到每个别的点必定可以引直线
2 每条直线都可以无限延长
3 以任意点为心，可以用任意半径做圆
4 所有直角都相等
5 （在一平面上）若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线 无限延长后必定相交于该侧的一点
非欧几何
1 罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）：过一
直线外一点能做两条以上直线与其共面不相交
模型
2 黎曼几何 ：过一直线外一点所做直线总是与
其共面相交
模型？
黎曼几何模型
解析几何：笛卡儿坐标思想，空间，向量代数
微分几何：数学分析思想，空间，张量代数 射影几何（高等几何）：变换群思想 几何基础
当代几何发展
• 矢量（定义1.1.1),(向量) • 矢量的表示:有向线段. • 字母表示: AB , a （黑体）
A
矢量的模及表示
AB , a
a 1
a
B
（注意箭头）
单位矢量及平行矢量
Байду номын сангаас
a // b
零矢量
0
0
与直线和平面平行的向量
矢量相等（定义1.1.2), a b
规定零向量与任何向量都-------自由矢量 反矢量(定义1.1.3):模相等、方向相反
a
共线向量（定义1.1.4)
共面矢量(定义1.1.5) 共线矢量一定是共面矢量
练习题(pp3, 1-5)
• 背景 • 三角形法则(定义1.2.1)
1.2 矢量的加法
b
O
ab
a
a
b
ab
a
b
a4
a1 a2 a3 a4
• 例1 设互不共线的三个矢量 a、 b与c ，试证明
顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形 的充要条件是它们的和为零矢量.
证明: 先证必要性. 即已知三个矢量可以构成三 角形 ABC .(如图), 即有 AB a, BC b, CA c
证完
以后多个矢量相加可以不加括号
a1 a2 a3 an
折线法则（多边形法则）
a2
a1
a3
a4
a1 a 2 a 3 a 4
矢量的减法（定义1.2.2)
若有 a b c , 则称 b 是
第一章 矢量与坐标
• • • • • • • • • • 1.1 矢量的概念 1.2 矢量的加法 1.3 数量乘矢量 1.4矢量的线性关系与矢量的分解 1.5标架与坐标 1.6矢量在轴上的射影 1.7两矢量的数性积 1.8两矢量的矢性积 1.9三矢量的混合积 *1.10 三矢量的双重矢性积
1.1 矢量的概念
A
B
平行四边形法则(定理1.2.1)
B ab b
C
特别地, a 0 a
O
a (a) 0
a
A
定理1.2.2 矢量的加法满足下面的运算律
结合律 (a b) c a (b c) 交换律简单证明: 由右图可得 a
这条公设就是著名的第五公设
公理
1 等于同量的量相等 2 等量加等量，总量仍相等 3等量减等量，余量仍相等 4 能重合的量相等 5 整体大于部分
逻辑 排中律，同一律等形式逻辑
欧几里德的公理体系有什么问题?
问题：
1在一定线上做等边三角形（直尺、圆规）
2 试证第五公设及质疑
第五公设的等价命题
过一直线外一点只能做一条 直线与其共面不相交
a b OA AC OC b a OB BC OC
交换律得证.
交换律:
ab ba
b
O
B
ab
C
a
b
A
再证结合律
a
O
A
b
B
c
C
(a b) c (OA AB) BC OB BC OC a (b c) OA ( AB BC ) OA AC OC