线段和角的模型-初中数学常见的模型方法专题

点在 的延长线上时，根据 、 分别为 、 的中点，即可求出 的长度；
根据前面的结果解答即可．
【详解】解： 分别是 的中点，
分别是 的中点
又
∵ ，
∴ 在点 的右边，
如图示：
分别是 的中点，
又
只要满足点 在线段 所在直线上，点 分别是 的中点．那么 就等于 的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
【点睛】考查了两点间的距离，利用了等分点等分线段的性质，线段的和差．
变式8
9.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图示知AM＝ AC，AC＝AB﹣BC；
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；
（2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案；
（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧．
（4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案．
【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．
③由题意及中点的性质可知正确；
④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合．
【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；
变式2
3.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（ ）
A. AB=2AC
B. AC+CD+DB=AB
C.CD=AD- AB
D.AD= （CD+AB）
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意；B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意；C、由点C是线段AB的中点，则AC= AB，CD=AD-AC=AD- AB，正确，不符合题意；D、AD=AC+CD= AB+CD，不正确，符合题意．故选D．
【详解】（1） ， 同向运动
由题意得 ，
∴ 和 两条线段的中点相距
（2） ， 反向运动
由题意得 ，
∴ 和 两条线段的中点相距
故答案为： 和 两条线段的中点相距2或6个单位．
【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键．
例题2
12.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ；第三次操作：分别取线段 和 的中点 ；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出 的长度，找到 的规律即可求出 的值.
【详解】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
(4)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折 次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)2；(2) ； (3)2或10；(4) .
【解析】
【分析】（1）找出5表示的点与﹣1表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案；
线段和角的模型
模型一 线段分点模型
1、单中点模型：
如图，P是线段AB的中点，则：
2、双中点模型
（1）线段上 双中点
如图，点C为线段AB上任意一点，P1，P2分别为AC，BC中点，则
（2）线段延长线上的双中点模型
线段双中点模型总结：一点把线段分成三条线段，任意两线段中点之间长度等于第三条线段长度的一半．
变式3
4.如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置（）
A.线段BC的任意一点处
B.只能是A或D处
C.只能是线段BC的中点E处
D.线段AB或CD内的任意一点处
【答案】A
【解析】
【详解】要想4个人到工具箱的距离之和最短，据图可知：位置在A与B之间时，距离之和 位置在B与C之间时，距离之和 位置在C与D之间时，距离之和 则工具箱在B与C之间时，距离之和最短．
【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；
（2）先利用含 的代数式 再利用中点的含义，用含 的代数式 再利用线段的差可得答案；
（3）先利用含 的代数式 再利用中点的含义，用含 的代数式 再利用线段的差可得答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.
【详解】解：（1） ， 分别是 的中点，
故选A．
变式4
5.C为线段 上任意一点， 分别是 的中点，若 ，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先画好符合题意的图形，再证明 再利用线段的和可得答案.
【详解】解：如图，
分别是 的中点，
故选：
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的和差与中点的定义是解题的关键.
∴AE= AC= cm，
∴DE=AE-AD= -12=4.5cm，
∴DE=4.5cm．
【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式7
8.如图M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CM=6cm,则AB=_____cm.
【答案】12
【解析】
【答案】4.5cm
【解析】
【分析】根据中点的定义求出AD，根据已知可求BC=9，进一步由AC=AB+BC求得AC，再根据中点的定义求得AE，再根据DE=AE-AD即可求解．
【详解】∵AB=24cm，D是AB中点，
∴AD= AB=12cm，
∵BC= AB，
∴BC=9，AC=AB+BC=33cm，
∵E是AC中点，
（2） ， 分别是 的中点，
（3） ， 分别是 的中点，
（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段 的长度等于线段 的一半，与 点的位置无关.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.
变式1
2.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）
【解析】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为 ×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（ ）2×4，找到跳动n次的规律即可．
【详解】由于OA＝4，所以第一次跳动到OA的中点A1处时，1＝ OA＝ ×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（ ）2×4处，
模型二 线段的折叠与动点问题
例题1
11.已知 ， 为数轴上从原点 出发的两个动点，点 每秒1个单位，点 的速度为点 的2倍，则当运动时间为4秒时， 和 两条线段的中点相距________个单位．
【答案】2或6
【解析】
【分析】分两种情况：（1） ， 同向运动；（2） ， 反向运动，根据中点平分线段长度进行求解即可．
同理跳动n次后，离原点的长度为（ ）n×4＝ ，
则2020次跳动后的点与 点的距离是
故选：A．
【点睛】本题是一道找规律的题目，考查了两点间的距离，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题关键．
变式2
14.如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
【详解】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．
又∵点M是AC的中点．
∴AM＝ AC＝ ×5＝ ，即线段AM的长度是 ．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，
∴CN＝ BC＝ ×15＝6．
又∵点M是AC的中点，AC＝5，
变式5
6.已知点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，那么线段 的比值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意易得 ， ，然后直接进行比值即可．
【详解】解：由题意得
， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查比值及化简比，熟练掌握求比值和化简比的方法是解题的关键．
变式6
7.如图，已知 、 、 三点在同一直线上， cm， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的长______．
∴MC＝ AC＝ ，
∴MN＝MC+NC＝ ，即MN的长度是 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．