【师说】2021年高中数学新课标必修3习题：课时作业13《用样本的数字特征估计总体的数字特征》 Word版含答案
高中数学人教A版必修3课后练习13 用样本的数字特征估计总体的数字特征
高中数学人教A版必修3课后练习13用样本的数字特征估计总体的数字特征题组1：夯实基础1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是() A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．平均数＝中位数＝众数解析：∵平均数为18×(20+30+40+50+50+60+70+80)＝50，中位数为12×(50×50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数.答案：D2.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x+y＝()A．12 B．13 C．14 D．15解析：因为中位数为85，所以4+x＝2×5，解得x＝6.又平均数为85.5，所以73+79+3×84+86+87+88+93+90+y＝855，所以y＝7.故x+y＝13.答案：B3.已知某组数据的方差s2＝16[(x1－3)2+(x2－3)2+(x3－3)2+…+(x6－3)2]，则x1+x2+x3+…+x6＝()A．3 B．6 C．18 D．36解析：由方差公式可知，6个数据的平均数是3，∴x1+x2+x3+…+x6＝6×3＝18.答案：C4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2+(5－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(9－6)2]＝125，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错.答案：C5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是()A．12.5，12.5 B．13.5，13C．13.5，12.5 D．13，13解析：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为10+(15－10)×35＝13.故选D．答案：D6.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为2和5，若y i＝x i+a(a为非零实数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．2，5B．2+a，5C．2+a，5+aD．2，5+a解析：由题意知x＝110(x1+x2+…+x10)＝2，x x2＝110[(x1－2)2+(x2－2)2+…+(x10－2)2]＝5，对于y i＝x i+a，则有x＝110(x1+a+x2+a+…+x10+a)＝110(x1+x2+…+x10+10a)＝2+a，x x2＝110[(y1－2－a)2+(y2－2－a)2+…+(y10－2－a)2]＝5.答案：B7.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下:7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则:(1)平均命中环数为__________；(2)命中环数的标准差为__________.解析：(1)x＝7+8+7+9+5+4+9+10+7+410＝7.(2)∵s2＝110[(7－7)2+(8－7)2+(7－7)2+(9－7)2+(5－7)2+(4－7)2+(9－7)2+(10－7)2+(7－7)2+(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)28.:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是__________.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.答案：丙9.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为√2，则xy＝__________.解析：由平均数得9+10+11+x+y＝50，所以x+y＝20.又由(9－10)2+(10－10)2+(11－10)2+(x－10)2+(y－10)2＝(√2)2×5＝10，得x2+y2－20(x+y)＝－192，(x+y)2－2xy－20(x+y)＝－192，所以xy＝96.答案：9610.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万民居，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.解(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.11.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.(1)从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩好些)；(2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；(3)从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).解则(1)∵平均数相同，且x 甲2<x 乙2，∴甲稳定些. ∴甲的成绩比乙好.(2)∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好.(3)∵平均数相同，且乙命中9环及9环以上次数比甲多，∴乙的成绩比甲好.(4)∵甲的成绩在平均线上下波动；而乙处于上升趋势，从第四次以后就没有比甲少的情况发生， ∴乙更有潜力.题组2：难点突破1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( ) A ．甲地:总体平均数为3，中位数为4 B ．乙地:总体平均数为1，总体方差大于0 C ．丙地:中位数为2，众数为3D ．丁地:总体平均数为2，总体方差为3解析：根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C 中也有可能存在大于7的数；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x 1，x 2，x 3，…，x 10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s 2＝110[(8－2)2+(x 2－2)2+…+(x 10－2)2]>3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人. 答案：D2.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．367C ．36D ．6√77解析：由题中茎叶图可知，去掉的两个数是87，99，所以87+90×2+91×2+94+90+x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17×[(87－91)2+(90－91)2×2+(91－91)2×2+(94－91)2×2]＝367. 答案：B3.若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.2，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差为________.解析：s 2＝121×[(a 1－x )2+(a 2－x )2+…+(a 20－x )2+(x −x )2]＝121×20×0.2＝421. 答案：4214.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中x是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是__________.解析：x＝(40+41+43+43+44+46+47+48)×18＝44，该程序框图是计算这8个数据的方差，经计算得S＝7，则输出7.答案：75.某工厂36(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年龄在x－s与x+s之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)样本均值x＝19×(44+40+36+43+36+37+44+43+37)＝40.样本方差s2＝19×[(44－40)2+(40－40)2+(36－40)2+(43－40)2+(36－40)2+(37－40)2+(44－40)2+(43－40)2+(37－40)2]＝19×[42+02+(－4)2+32+(－4)2+(－3)2+42+32+(－3)2]＝1009.(3)由于x＝40，s＝√x2＝103≈3.33，36名工人中年龄在x－s≈36.67与x+s≈43.33之间有23人，所占比例为2336≈63.89%.6.某班有四个学习小组，各小组人数分别为10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.解该组数据的平均数为14(10+10+x +8)＝14(28+x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x ，8，10，10，中位数是9，由14(28+x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8<x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x ，10，10，中位数是12(x +10)，由14(28+x )＝12(10+x )，得x ＝8，与8<x ≤10矛盾，舍去；(3)当x>10时，原数据从小到大排序为8，10，10，x ，中位数是10，由14(28+x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.。
2020-2021学年数学人教A版必修3课件：课时作业 用样本的数字特征估计总体的数字特征
D．2
解
析：
x
甲＝
7，s2甲
＝
1 5
[
(6－
7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2
＋(7－7)2]＝25，
x 乙＝7，s2乙＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]
＝65，
两组数据的方差中较小的一个为 s2甲，即 s2＝25.故选 A.
6．已知一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 5，方差为 4，
13．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗， 测得苗高如下：
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 哪种小麦长得比较整齐？
解：由题中条件可得： x 甲＝12＋13＋14＋15＋101＋016＋13＋11＋15＋11＝13， x 乙＝11＋16＋17＋14＋131＋0 19＋6＋8＋10＋16＝13， s2甲＝12－132＋13－11302＋…＋11－132＝3.6， s2乙＝11－132＋16－11302＋…＋16－132＝15.8. ∵ x 甲＝ x 乙，s甲2 <s2乙. ∴甲种小麦长得比较整齐．
9．某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则(1)平均命中环数为 7 ； (2)命中环数的标准差为 2 .
解析：(1)由公式知，平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋ 10＋7＋4)＝7.
(2)由公式知，s2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4， 解得 s＝2.
4．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩
人教版高中数学必修三 课时作业：12 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
乙：10,7,7,7,9.
则两人的射击成绩较稳定的是________．
解析：由题意求平均数可得
x甲＝x乙＝8，s ＝1.2，s ＝1.6，
s <s ，所以甲稳定．
答案：甲
8．(江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
解析：样本数据的平均数为5.1，所以方差为
(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
解析：(1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．
所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为：5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
解析：(1) ＝3×25%＋5×40%＋6×35%＝4.85(厘米)．
s2＝(3－4.85)2×0.25＋(5－4.85)2×0.4＋(6－4.85)2×0.35＝1.327 5(平方厘米)．
由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米，方差为1.327 5平方厘米．
(2)因为4.90－4.85＝0.05<0.10，
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B.
C．3 D.
解析：因为 ＝ ＝3，
所以s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]＝ (20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝ ＝ ，
新课标人教A版数学必修3全部课件：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征习题
用样本的数字特征估计总体的数字特征
怎样将各个样本数据 汇总为一个数值,并使 它成为样本数据的中 心点? 能否用一个数值来描 写样本数据的离散程 度?
例题:
某班12名学生体育考试跳高成绩如 下（单位：米）： 1.58 1.59 1.57 1.61 1.58 1.65
直方图,说明它们的异同点
(1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5;
(2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6; (3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7;
(4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8.
±½ ¼ Ö ·Í 1
频1.0 率0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
x 5 s 1 . 49
3
4
5
6
7
8
±½ ¼ Ö ·Í 4
频 1.0 率 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
x 5 s 2 . 83
1
2
3
4
5
6
7
8
例2
甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件。 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件 中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm)
甲
乙
25.46 25.34 25.39 25.40 25.40 25.47 25.33 25.31
25.32 25.42 25.43 25.42 25.43 25.49 25.43 25.32
25.45 25.45 25.39 25.35 25.44 25.49 25.43 25.32
25.39 25.38 25.40 25.41 25.48 25.36 25.32 25.32
《课时讲练通》2018-2019学年高中数学(人教A版)必修三课时提升作业：(十三) 2.2.2 用样本的数字特征估
课时提升作业(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8，12，10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( )A.8分钟B.9分钟C.11分钟D.10分钟【解析】选D.依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为=10(分钟).2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，53【解析】选A.从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即=46，众数为45，极差为68-12=56.3.(2015·安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.【解析】选C.样本数据x1，x2，…，x10的标准差=8，则DX=64，而样本数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差D(2X-1)=22DX=22×64，所以其标准差为=16.4.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.N==M，所以M∶N=1.【补偿训练】(2015·乐清高一检测)某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数、平均数依次为( )A.0，1.1B.0，1C.4，1D.0.5，2【解析】选A.数据x i出现的频率为p i(i=1，2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1+x2p2+…+x n p n.5.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.由甲班学生成绩的众数是85知x=5，由乙班学生成绩中位数是83，得y=3.所以x+y=8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·江苏高考)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为.【解题指南】利用平均数的概念计算即可.【解析】=，所以这组数据的平均数为=6.答案：6【补偿训练】有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A.6B.C.66D.6.5【解析】选A.因为=(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=(61+x)=6，所以x=5.方差数为：s2===6.7.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则：(1)平均命中环数为.(2)命中环数的标准差为.【解析】(1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.(2)s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=(0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4，所以s=2.答案：(1)7(2)2【补偿训练】抛硬币20次，正面12次，反面8次.如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是，得分的方差是.【解析】总得分为12×3+8×1=44，则平均分是=2.2，方差s2=[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.答案：2.20.968.甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则两人的射击成绩较稳定的是.【解析】==8，=1.2，=1.6，因为<，所以甲稳定.答案：甲三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表.(2)作出频率分布直方图. 【解析】(1)填表如下：(2)画频率分布直方图如下：10.(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数.(2)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.【解题指南】(1)将数字按从小到大排列，得到中位数.(2)数出两部门小于90的市民数，求得概率.(3)从中位数、标准差等角度进行评价.【解析】(1)两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25，26两个数.由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为=75，对乙部门评分的中位数为=67，所以市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75，67.(2)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( ) A.2，5 B.5，5 C.5，8 D.8，8【解析】选C.因为甲组数据的中位数为15，所以易知x=5，又乙组数据的平均数为16.8，所以=16.8，解得y=8.2.(2014·陕西高考)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a(a为非零常数，i=1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【解析】选A.样本数据x1，x2，…，x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1，方差s'2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的均值=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则a1与a2的大小关系是.【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2>a1.答案：a2>a14.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为. 【解析】设甲、乙两位射击运动员的平均成绩分别为，，方差分别为，.==90，==90，故==4，==2.因为>，所以乙射击运动员成绩较为稳定.答案：2【拓展延伸】极差、方差与标准差的区别与联系数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离.三、解答题(每小题10分，共20分)5.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 【解题指南】(1)根据题意直接作图.(2)利用频率分布直方图计算平均数及方差.(3)运用样本估计总体.【解析】(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为：s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+ (110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.6.(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据.(2)计算(1)中样本的平均值和方差.(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?【解析】(1)由题条件知所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)(1)中样本的平均值为==40，方差为：s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2 +(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]==.(3)由(2)知s=，所以-s=，+s=，所以年龄在-s与+s之间的共有23人，所占的百分比为：×100%≈63.89%.。
人教版高中数学必修三用样本的数字特征估计总体的特征
1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是( )A ．众数B ．平均数C ．标准差D ．中位数答案：C2．已知一组数据为－5,3,5，x,9,6且这组数据的众数为3，那么数据的中位数为( )A ．7B ．5C ．4D ．11 解析：∵众数为3.∴x ＝3.从小到大排列－5,3,3,5,6,9.∴中位数为3＋52＝4. 答案：C3．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( )A ．因为他们的平均分相等，所以学习水平一样B ．成绩虽然一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实C ．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D ．平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低解析：方差小说明成绩稳定，方差大成绩不稳定，忽高忽低．答案：C4．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：甲 乙 丙 丁 x8.5 8.8 8.8 8 s3.5 3.5 2.1 8.7则参加奥运会的最佳人选为________．解析：由表可知乙、丙平均成绩最好，但丙方差比乙方差小，故成绩稳定，∴选丙． 答案：丙5.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况的茎叶图如图所示，若甲运动员得分的中位数为a ，乙运动员得分的众数为b ，则a －b ＝________.解析：由茎叶图可知a ＝19，b ＝11.∴a －b ＝8.答案：86．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分．全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%.(1)若全班共10人，则平均分是多少？(2)若全班共20人，则平均分是多少？解：(1)若全班共10人，则得3分的学生有3人，得2分的有5人，得1分的有1人，得0分的有1人，故平均分＝3×3＋2×5＋1×1＋0×110＝2(分)； (2)若全班共20人，则得3分、2分、1分和0分的学生分别有6人、10人、2人、2人．故平均分＝3×6＋2×10＋1×2＋0×220＝2(分)．。
2021人教版数学必修3配套训练：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
第二章统计2．2用样本估计总体2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征[A组学业达标]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是() A．85、85、85B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90解析：从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.答案：C2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．答案：C3．已知数据x1，x2，x3，…，x n是我省普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是() A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．答案：B4．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为() A．①③B．①④C．②③D．②④解析：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.答案：B5．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁解析：根据所给的信息可知，在区间[25，30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×57≈33.6(岁)．答案：C6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝__________．解析：由平均数是10，得x＋y＝20，由标准差是2，得12＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2] 5[（9－10）＝2，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.答案：967．甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下： 甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9. 则两人的射击成绩较稳定的是__________．解析：由题意求平均数可得x 甲＝x 乙＝8，s 2甲＝1.2，s 2乙＝1.6，s 2甲<s 2乙，所以甲稳定． 答案：甲8．若a 1，a 2，…，a 20，这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则数据a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差约为__________．解析：这21个数的平均数仍为x ，从而方差为121×[20×0.2＋(x －x )2]≈0.19. 答案：0.199．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？解析：(1)周平均收入x －＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x 2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，这能代表打工人员的周收入水平．10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85) [85，95)[95，105) [105，115)[115，125)频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解析：(1)(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．[B 组 能力提升]11．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x－B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s B D.x －A <x －B ，s A <s B解析：样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x －A <x －B . 又样本B 波动范围较小，故s A >s B . 答案：B12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为 ( )A ．s ＝s 1B ．s ＜s 1C ．s ＞s 1D ．不能确定解析：由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ， 则s ＝115[（15－x －）2＋（23－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]， s 1＝115[（20－x －）2＋（18－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2] . 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x －)2＋(23－x －)2与(20－x －)2＋(18－x －)2的大小即可．而(15－x －)2＋(23－x －)2＝754－76 x －＋2 x －2，(20－x －)2＋(18－x －)2＝724－76 x －＋2 x －2，所以(15－x －)2＋(23－x －)2＞(20－x －)2＋(18－x －)2.从而s ＞s 1. 答案：C13．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是__________，标准差是__________．解析：设这40个数据为x i (i ＝1，2，…，40)，平均数为x －.则s 2＝140×[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 40－x －)2]＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40 x －2－2 x － (x 1＋x 2＋…＋x 40)]＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12 ＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010.答案：0.93101014．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．解析：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.答案：1015．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解析：(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．s2＝1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.故标准差为 2 128.60≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．。
(新课标)_学年高中数学13用样本的数字特征估计总体的数字特征习题新人教A版必修3【含答案】.docx
课时作业( 十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征A组基础巩固1 ．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A．9.4,0.484 B ．9.4,0.016C．9.5,0.04 D ．9.5,0.016答案：D2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B ．0.9 hC．1.0 h D ．1.5 h答案：B3．某学校对100 间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60,70) 为D等级，有15 间；分数在[70,80) 为C等级，有40 间；分数在[80,90)为B 等级，有20 间；分数在[90,100] 为A等级，有25 间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100 间学生公寓评估得分的中位数是( )A．78.65 B ．78.75C．78.80 D ．78.85答案：B4．样本中共有五个个体，其值分别为a, 0,1,2,3. 若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D ．2答案：D5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：1甲乙丙丁平均环数x 8.4 8.7 8.7 8.32 3.6 3.6 2.2 5.4方差s从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )A．甲 B ．乙C．丙 D ．丁解析：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，∴丙是最佳人选，故选 C.答案：C6．某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法( 每个分厂的产品为一层) 从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h ，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为________ h.答案：1 0137．用一组样本数据8，x, 10,11,9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________.解析：∵该组样本数据的平均数为10，∴(8 ＋x＋10＋11＋9) ÷5＝10，∴x＝12，2∴s＝15(4 ＋4＋0＋1＋1) ＝2，∴s＝ 2.答案：28．已知某班 4 个小组的人数分别为10,10 ，x, 8，这组数据中的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数是________．解析：(1) 当x≤8 时，原数据按从小到大的顺序为x, 8,10,10 ，中位数为12(10 ＋8) ＝9.1若( x＋28) ＝9，则x＝8，此时中位数为9.4(2) 当8<x≤10 时，原数据按从小到大顺序排列为8，x, 10,10 ，中位数为12( x＋10) ，若1 1( x＋28) ＝( x＋10) ，则x＝8，而8 不在8<x≤10 的范围内，所以舍去．4 2(3) 当x>10 时，原数据为8,10,10 ，x，中位数为12(10＋10) ＝10.若14( x＋28) ＝10，则x＝12，所以此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9 或10.答案：9 或109．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩情况如图．2(1) 分别求出两人得分的平均数与方差．(2) 根据图中数据算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1) 甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲10 分13 分12 分14 分16 分乙13 分14 分12 分12 分14 分甲的平均得分为10＋13＋12＋14＋16＝13，5乙的平均得分为13＋14＋12＋12＋14＝13.52s甲＝15[(10 －13)2＋(13 －13) 2＋(12 －13) 2＋(14 －13) 2＋(16 －13) 2] ＝4，2s乙＝乙＝15[(13 －13)2＋(14 －13)2＋(12 －13)2＋(12 －13)2＋(14 －13)2] ＝0.8.2 2(2) 由s甲>s乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．B组能力提升10．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40 ，0.15 ，0.10,0.05 ，则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是( )A．65,65 B ．70,65C．65,50 D ．70,50解析：众数为第二组中间值65. 设中位数为x，则0.03 ×10＋( x－60)×0.04 ＝0.5 ，解得x＝65. 故选 A.答案：A11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )3甲乙A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差－4＋5＋6＋7＋8解析：由条形图易知甲的平均数为x ＝6，甲＝52方差为s甲＝－2＋－52 2 2 2＋0 ＋1 ＋2＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x乙＝3×5＋6＋92＝6，方差为s乙＝乙＝5－52 2＋0＋3 12＝，中位数为5，极差为4，故5x 甲＝x 2 2乙，s乙＞s甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．答案：C12．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：(1) 求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(2) 比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．解析：x甲＝1(65 ＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113) ＝89. 102s甲＝1[(65 －89)102 ＋(70 －89) 2＋(80 －89) 2＋(86 －89) 2＋(89 －89)2 ＋(95 －89)2 ＋(91－89)2＋(94 －89)2＋(107 －89)2＋(113 －89)2] ＝119.2 ，∴s 甲≈14.1x乙＝1(79 ＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114) ＝94.1042s乙＝1[(79 －94)102 ＋(86 －94) 2＋(83 －94) 2＋(88 －94) 2＋(93 －94)2 ＋(99 －94)2 ＋(98－94)2＋(98 －94)2＋(102 －94)2＋(114 －94)2] ＝96.8.∴s 乙≈9.8.∴x 甲＜x 乙且s 甲＞s乙．∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．5。
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甲
乙
A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：由条形图易知甲的平均数为x －
甲＝4＋5＋6＋7＋8
5
＝6，
方差为
s 2甲
＝
(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22
5
＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x
乙
＝3×5＋6＋95＝6，方差为s 2乙＝3×(－1)2＋0＋325＝125
，中位数为5，极差为4，故x 甲＝x 乙，
s 2乙＞s 2
甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．
答案：C
12．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； (2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．
解析：x 甲＝1
10(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s 2甲＝
1
10
[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝119.2，
∴s 甲≈14.1
x 乙＝1
10(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s 2乙＝
1
10
[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2。