第二章析取范式与合取范式

11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
6题（2)
作业问题: • 整体较好,都交了. • 个别书写不认真,应付私事。 • 注意“” 的书写 P14 14题
第二章析取范式与合 取范式
2. 定理2.1
➢ 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它 的否定式。 如：p∨┐p，p∨┐p∨r都是重言式； ┐p∨q，┐p∨┐q∨r都不是重言 式。 ➢ 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及 它的否定式。 如：p∧ ┐p，p∧ ┐p∧ r都是矛盾式； p∧ ┐ q，┐p∧ q∧ ┐ r都不是矛盾 式。
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r）
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
（∨对∧分配律）

(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
7. 极小项与极大项的定义
➢极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式为极小 项。 例：p ∧ r ∧ q; p ∧ ┐ p ∧ r; p ∧ ┐ q ∧ p;
p ∨ q ∨ r; p ∨ ┐q ∨ r; ┐ p ∨ ┐q ∨ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极大项? 2n (2)每个极大项有多少个成假赋值? 一个
规定:成假赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极大项记作Mi
p, q, r 形成的极小项与极大项 极小项 解释 记法 极大项
的析取范式与合取范式。
• 研究范式的目的是将给定公式化成与之等值的析取范式或合 取范式，进而将公式化成与之等值的主析取范式或主合取范式。
思考：怎样将公式转化为范式？
➢例2.7 求下面公式的析取范式与合取范式： (p→q) r
先求合取范式
(p→q) r
(┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
例如A=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
• 思考：┐p∧q∧r 与p∨┐q∨r属于什么范式？
4. 定理2.2
➢ 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛 盾式。 ➢ 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重 言式。
5. 定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在着与之等值
结论: 公式的所有成假赋值对应主合取范式的所有极大项.
例2： 求A=(p→q) r的主析取范式
(p→q) r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) (p∧┐q∧┐r) ∨ (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) (p∧┐q∧┐r) ∨ (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧r) m4 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m7 求A=(p→q) r的主合取范式
3. 范式的定义
➢ 由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 ➢ 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 ➢ 析取范式与合取范式统称为范式。 • 设 Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式,则析取范式的形式:
A=A1∨A2∨…∨As 例如A=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
• 设 Ai(i=1,2,…,s)为简单析取式,则合取范式的形式: A=A1∧A2∧…∧As
例1： 求A=(rp)(q(pr))的主析取范式 解： (rp)(q(pr))
(rp)(qp)(qr) (pr)(qp)(qr) [(pr)(qq)][(qp)(rr)][(qr)(pp)] (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1 m3m6m7
A A ∧ (P ∨ ┐P) （A ∧ P） ∨ （ A ∧ ┐P ）
(10)除非天下大雨，否则他不乘车上班。 p:天下大雨 q:他乘车上班
q→p
(14) 2和4是素数，这是不对的。 (15) p: 2是素数 q: 4是素数
(16) (p q)
P38 4题(4) (p q) (pq) (p q) (p q)
(p q) (pq) [(p q) p] [(p q) q] (p p) (q p) (p q) (q q) (q p) (p q) (p q) (p q)
┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B ③ 利用分配率，转化为析取（合取）范式
A∧(B∨C) A∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C) (A∨B)∧(A∨C)
➢例2.7 求下面公式的析取范式与合取范式：
(p→q) r
求析取范式
(p→q) r
(┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
p q p p→q q qp (p→q)→ (qp)
0 01 0
11
1
0 11 1
00
0
1 00 1
11
1
1 10 1
01
1
A m1∨m2∨…∨ms (1)A为重言式当且仅当其主析取范式包含2n个极小项
(2) A为矛盾式当且仅当其主析取范式包不含极小项
(3) A为可满足式当且仅当其主析取范式包至少含一个极小项
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （∨对∧分配律）
6. 将公式转化为范式的步骤
① 消除联结词，
A→B ┐A∨B A B (A B) ∧(B A) ② 缩小┐的作用范围
(┐A∨B)∧(A∨┐B
pqr 000 m0
pqr
pqr 001 m1 p q r
pqr 010 m2 p q r
pqr 011 m3 p q r
pqr 100 m4 p q r
pqr 101 m5 p q r
pqr 110 m6 p q r
pqr 111 m7 p q r
解释 000 001 010 011 100 101 110 111
pq r
000 001 010 011 100 101 110 111
结论: 公式的所有成真赋值对应主析取范式的所有极小项.
(rp)(q(pr))的主合取范式 (rp)(qp)(qr) (p r)(qp)(qr) [(pr) q] [(pr) p] (qr) [(p q) (q r) (p p) (p r) ](qr) (p q q) (q r q) (p r q)
(p→q) r (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∨q ∨ r)∧ (p∨ ┐ q ∨ r) ∧(┐ p ∨ ┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) M0 M2 M6 M5
如何求一个公式的主析取范式？ （1）利用等值转化法 （2）利用真值表 （3）通过主合取范式求逆
例3： 求命题公式p→q的主析取范式和主合取范式。
真值表法：
( p →q) (q r) m3 m7
pq 00 00 01 01 10 10 11 11
r p p →q 01 0 11 0 01 1 11 1 00 1 10 1 00 1 10 1
q r ( p →q) (q r) 00 00 00 11 00 00 00 11
练习: 求 ( p →q) (q r) 的主析取范式
➢ 如何求主析取范式（主合取范式）？ • 首先求等价的析取范式（合取范式） • 然后对非极小项（或者非极大项）进行扩展。
A A ∨(P∧┐P) （A ∨ P）∧（ A ∨ ┐P ）
A A ∧ (P ∨ ┐P) （A ∧ P） ∨ （ A ∧ ┐P ）
• 最后，求出某公式的主析取范式（主合取范式）后，将极小 项（极大项）都用名称写出，并且按极小项（极大项）名称的 角标由小到大顺序排列。
记法 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7