大象群落的稳定发展数模
建模选拔赛试题
2004年度中国科学技术大学数学建模选拔赛.htm赛题A题：学校浴室的优化设计（by zizi@）我校同学的洗浴问题一直是令同学们和学校后勤部门很烦恼的一件事情，浴室规模及开放时间的不合理设计，既造成了同学们的不便，同时也带来了资源的浪费。
本问题要求为学校浴室的使用建立数学模型。
1．根据我校的现状，建立同学洗浴的数学模型。
你的模型至少应该给出以下结论：1）如果要满足同学洗浴要求，不使同学等待过长时间，东西区的浴室各应该有多大的规模？2）根据学校浴室的现状，请给出各个时间段，每个同学平均需要等待多长时间。
3)如果学校不增大现有浴室的规模，请给出学校浴室开放时间的建议，并且给出同学洗澡时间的建议。
2．如果学校欲在东区和西区再各建一个浴室，请为学校选择修建浴室的地点以及建议浴室的规模。
3．新浴室建好后，请为学校设计新旧浴室开放时间的方案，使之既能满足同学的洗浴要求，又能做到尽量地节约。
4．根据你的模型以及所得到的结果，请为学校后勤部门写一个意见书，以解决同学洗澡难的问题。
B题: WWW建模（by shelley@）本题要考虑World Wide Web的结构。
主要考虑WWW的超链接结构。
你的任务是：1. 建立一个通用的衡量网站重要性的指标，它应当不依赖与网站的具体内容。
2. 根据给定的文档和超链接结构合理地标定给定网站的重要性。
比如，你应当明确地给出，sina和hotmail两者之间的相对重要性。
可以假定你拥有所有关于网站的合理的统计数据（如访问量，链接结构等）。
3. 根据给定的重要性定位，在你的重要性指标下，应当如何合理地设计网站的内部链接结构来最大程度地迎合其重要性定位。
例如，你将建立一个网站，这个网站的定位是按照你的重要性指标给出的（比如预设为90分的网站），那么应当如何组织内部链接结构以期最有效地实现这个预设分值？4. 实际上WWW是个不断变化（增加，删除）的结构体，网站的重要性也势必是动态地变化和彼此依赖的。
数学建模A题：动物群落的稳定发展
A题：动物群落的稳定发展摘要：本文通过对某公园近两年内被运出的某种动物的年龄和性别的数据进行统计分析，并针对题目的四个问题分别建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中，应用C语言进行编程调试，通过统计学软件SAS数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。
问题一：我们假设新生幼仔的数量为x o，然后通过对各年龄阶段的存活率、被运走的动物数量B j以及该动物的总体数量的分析来建立该群落的动态变化模卄（k）t 60 60型"）=送塔）-送煜，利用该群落近两年内被运走的各年龄阶段的个体数dt i4 i 吕量分布，用C语言编程计算，推测出当前该动物的年龄结构（具体结果见7页表一）o并利用MATLAB软件对得出的数据用图形表示，利用对比分析法，得到该动物群落的基本分布轨迹，最后用统计软件SAS对模型进行相关性的分析检验，求得相关系数R与P的值，验正了模型的稳定性。
问题二：由于现在采用注射避孕药的方法来维持该种群的稳定，而且已经没有个体被运走或被偷猎的情况，为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数；1・'l X o -［（1」2心C3］（该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数60 60量的差值）；另外从t X i（k）-瓦x（0）（即年头的数量与该年年底的数量的差值）i =1 i =1当；趋于0时，即认为该群落的个体数量是稳定的，从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题建立模型；利用MATLAB寸模型进行求得，得出当不考虑不确定性因素影响时要注射药物的雌性动物数量为276头，而当考虑了双胞胎和被重复注射这两个不确定性因素影响后，得到要注射药物的雌性动物数量为352头，其中有110头是被重复注射的。
问题三：其大致模型与问题二相近，不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量（b），即目标函数名应考虑上被运走的数量，即只是对问题二的模型进行扩60 60充建立新的目标模型；可=丫低0-［（1—笃心七］-b和"迟X i（k）—E X i（0）—b;利im iT用MATLAB寸不同b值进行求解，从而得出相应的避孕措施。
2000C 大象的数目——大学生数学建模竞赛
问题：大象：什么时候才足够，真的足够吗？·“最终，如果象群对一个栖息地造成不尽人意的改变，那么就该考虑它们的迁移——甚至是驱逐了。
”——《国家地理杂志》（地球年鉴）1999年12月·南非的一个大型国家公园里有大约11,000头大象。
公园管理政策要求有一个健康的环境来保持11,000头大象的稳定群落。
每年护林员都会数大象的数量。
在过去的20年里象群一直迁移使得数量尽可能接近11,000头。
这个过程涉及枪杀（对于大部分来说）和每年迁移大约600到800头。
最近，公众提出强烈抗议，反对射杀大象。
另外，每年迁移哪怕是很少数量的大象是不再可能的了。
然而，一种避孕注射研究了出来，它能够防止一头成熟母象在两年之内怀孕。
这是一些关于公园里的大象的信息：·大象的迁入和迁出非常少。
·性别比例非常接近1:1，控制的措施尽量保持了它们的相等。
·新生的小象性别比例也大概为1:1。
有1.35%的机会生出双胞胎。
·小象第一次怀孕的时间在10岁和12岁之间，平均每3.5年产一个崽，直到它们60岁。
怀孕时间大约是22个月。
·避孕注射会使母象每个月都发情（但不会怀孕）。
大象通常3.5年求爱一次，所以每月的循环会引起额外的压力。
·一只大象能够每年都被注射而不会有有害的影响。
一头成熟的母象在上次注射后两年内不能怀孕。
·大约有70%到80%的新生小象能存活到1岁。
随后，所有年龄的存活率都非常高（超过95%），直到大约60岁；假定大象70岁死亡。
·公园里没有狩猎，偷猎也可以忽略。
公园管理部门有一个粗略的数据档案，关于在过去的两年里搬出这个区域的大概的大象的年龄和性别数的。
这些数据可以在这里:comap/icm /icm2000data.xls找到。
不幸的是1没有公园里的大象被枪杀或者留下的数据可用。
你主要的任务是建立并运用模型来研究怎么使用避孕注射来做到数量控制。
大象种群
大象群落的稳定发展位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。
管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。
管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。
近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些大象也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。
用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。
目前在公园中已经很少发生移入和移出大象的情况。
大象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施维持这个性别比。
新出生的幼象的性别比也在1：1左右。
而双胞胎的机会接近于1.35%。
母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。
每次怀孕期为22个月。
新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。
但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。
假定象的最高年龄是70岁，在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。
公园有一个近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计，如表所示。
但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。
你的任务是：1.探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。
2.估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。
这里不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。
3.假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？表：大象的年龄和性别统计表。
生态系统稳定性的数学建模
生态系统稳定性的数学建模随着人类文明的发展，大规模的人类活动不断地对生态环境造成着破坏和影响。
生态系统的灵敏度和复杂性使得其对外界扰动的响应很难预测和控制，而深入地理解生态系统的稳定性则是促进生态环境保护和可持续发展的关键所在。
因此，如何进行生态系统的数学建模，分析生态环境的稳定性与复杂性之间的关联，成为了当代生态学中的热门议题之一。
一、生态系统稳定性的概念及其评估方法生态系统的稳定性指的是生态系统在一定时间范围内，总的而言具有相对稳定的组成结构与功能，使其能够维持一定的物质循环和能量流动，以适应外界环境的变化和压力。
总的而言，生态系统稳定性包括以下两个层面的含义：1. 内部稳定性：这里指生态系统中各种生物种群之间的竞争和相互作用关系，及其与环境的适应性。
当生态系统内部生物种群的多样性和物质循环的平衡能够在一定的时间范围内保持相对稳定时，我们说这个生态系统具有较高的内部稳定性。
2. 外部稳定性：指的是生态系统在承受自然和人类等外部环境压力时的抵御能力。
这里的外部因素包括气候变化、人类活动、物种扩散等。
一个稳定和健康的生态系统应该能够在外部环境变化的压力下保持自我控制和自我修复的能力，从而具有持续性和可持续性。
评估生态系统的稳定性的常用方法包括：1. 稳定性指数：数学模型用于计算各种生物种群之间的相互作用关系、物质循环的平衡和生态系统的复杂程度等，从而评估生态系统的稳定性。
其中稳定性指数通常用点度中心性、图中介数、团数量和节点与边缘距离等参数进行计算。
稳定性指数越高，生态系统的稳定性越好。
2. 生态网络：通过对生态系统内部各生物物种及其之间相互关系的建模，将整个生态系统看作一个网络，通过对生态网络拓扑结构和动态过程的研究，了解生态系统内部各个生物物种之间的相互作用和对外界环境的响应，评估生态系统的稳定性。
二、应用动力系统理论进行动力系统理论是用于描述和分析动态现象的一种数学理论，是近年来生态学研究中普遍采用的工具之一。
数学建模稳定状态模型
-167-第十四章 稳定状态模型虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。
譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。
为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
§1 微分方程稳定性理论简介定义1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==)(),(),(1t f t x f t x F dt dx N （1） 中的)(),(x F t x F =，即在F 中不含时间变量t 。
事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定义⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1),()(t x F y G 且引入另一个变量s ，则方程（1）与下述方程)(y G dsdy = 是等价的。
这就是说自治系统的概念是相对的。
下面仅考虑自治系统，这样的系统也称为动力系统。
定义2 系统)(x F dtdx = （2） 的相空间是以),,(1n x x 为坐标的空间n R ，特别，当2=n 时，称相空间为相平面。
空间nR 中的点集},,1,)2()(|),,{(1n i t x x x x i i n ==满足称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。
定义3 相空间中满足0)(0=x F 的点0x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。
奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。
例如，系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtt dy by ax dt t dx )()( （3）当0=-bc ad 时，有一个连续的奇点的集合。
大象种群的管理数学建模论文
东南大学第二届大学生数学建模竞赛2008年5月29日12时－6月3日12时参赛题目A B （在所选题目上打勾）东南大学教务处东南大学数学建模竞赛组委会大象种群的管理摘要一家大型自然公园散养了大约11000头大象，为了给大象创造一个健康的生存环境，需要将大象的总数控制在11000头左右。
本文通过一系列的研究，算出了大象的存活率，推测了大象的年龄结构，提出了大象的总数的控制方案。
第一问：通过过去两年运走的大象数目，根据随机抽样的规律知，抽样大象的数目反应了大象当前的年龄结构（详见问题一中的年龄结构图表），再用分组求平均值的方法测出大象2~60岁的存活率为：98.14%，之后的存活率线性递减，到70岁之后存活率为0.第二问：本题中通过leslie模型，对大避孕针后新的有效生育率进行求解，进而得出每年需要避孕的大象头数。
而其中又讨论了三种情况：（1）不考虑重复避孕的母象头数，直接对13~60岁间的大象避孕，所需避孕的头数为1143。
（2）不考虑重复避孕的母象头数，大避孕针可能打到所有的年龄段，此时得出需要避孕的大象增多，为1757头。
（3）考虑重复避孕的情况,整个年龄段都可以打避孕药，则每年需要避孕2195头大象。
第三问:如果考虑每年可以迁出50~300头大象，此处我们有两种理解，建立了两个模型：（1）每年大象的头数稳定增加，增长率为0.004545~0.02727，然后在每年的年末移出50~300头大象，这样就可以控制大象的头数稳定在11000头，根据leslie 模型，这样就可以算出特征值为1.004545~1.02727，根据特征值求出此时避孕后的有效生育率为0.0609~0.1224，若不考虑重复避孕，可得每年需避孕13~60岁间的大象217~1009头，亦可以避孕所有年龄大象中的425~1593头；如果考虑重复避孕，则：可得每年需避孕所有年龄大象中的443~1933头。
（2）考虑leslie模型的特征值是一定的，为1，但其存活率因为大象的移走而不断变化，对此分析考虑，所得结果具体见论文中表格。
(整理)大象种群的管理数学建模论文
东南大学第二届大学生数学建模竞赛2008年5月29日12时－6月3日12时参赛题目A B （在所选题目上打勾）东南大学教务处东南大学数学建模竞赛组委会大象种群的管理摘要一家大型自然公园散养了大约11000头大象，为了给大象创造一个健康的生存环境，需要将大象的总数控制在11000头左右。
本文通过一系列的研究，算出了大象的存活率，推测了大象的年龄结构，提出了大象的总数的控制方案。
第一问：通过过去两年运走的大象数目，根据随机抽样的规律知，抽样大象的数目反应了大象当前的年龄结构（详见问题一中的年龄结构图表），再用分组求平均值的方法测出大象2~60岁的存活率为：98.14%，之后的存活率线性递减，到70岁之后存活率为0.第二问：本题中通过leslie模型，对大避孕针后新的有效生育率进行求解，进而得出每年需要避孕的大象头数。
而其中又讨论了三种情况：（1）不考虑重复避孕的母象头数，直接对13~60岁间的大象避孕，所需避孕的头数为1143。
（2）不考虑重复避孕的母象头数，大避孕针可能打到所有的年龄段，此时得出需要避孕的大象增多，为1757头。
（3）考虑重复避孕的情况,整个年龄段都可以打避孕药，则每年需要避孕2195头大象。
第三问:如果考虑每年可以迁出50~300头大象，此处我们有两种理解，建立了两个模型：（1）每年大象的头数稳定增加，增长率为0.004545~0.02727，然后在每年的年末移出50~300头大象，这样就可以控制大象的头数稳定在11000头，根据leslie 模型，这样就可以算出特征值为1.004545~1.02727，根据特征值求出此时避孕后的有效生育率为0.0609~0.1224，若不考虑重复避孕，可得每年需避孕13~60岁间的大象217~1009头，亦可以避孕所有年龄大象中的425~1593头；如果考虑重复避孕，则：可得每年需避孕所有年龄大象中的443~1933头。
（2）考虑leslie模型的特征值是一定的，为1，但其存活率因为大象的移走而不断变化，对此分析考虑，所得结果具体见论文中表格。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
封一答卷编号（竞赛组委会填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目大象群落的稳定发展参赛队员：1.黄立敬：2.陈光：3.陈灵：大象群落的稳定发展摘要本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的大象的大致年龄和性别的统计情况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的年龄结构，针对不同情况给出如何进行避孕注射以达到控制大象数量的目的。
首先，充分利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的总数，并且求出了存活率为：98.9718%；因为假设公园内2岁到60岁之间的大象占总大象的比例等于运出的2岁到60岁之间的大象占总移出大象的比例，所以通过一些比例之间的关系得到这个大象群落的当前的年龄结构（见表1）。
然后，建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用第一问求出的各年龄段大象的存活率以及繁殖率，求解当前大象群落对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该大象种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程VI，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立一个方程，最后求得每年注射避孕药的母象头数为：1393（头）。
最后，假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，这样可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少；仍然按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程VI），求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移出大象后所需要进行避孕的母象头数（见表2），为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
模拟的思路方法见计算机模拟流程图—图2。
关键字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩阵、计算机模拟问题重述位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。
管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。
管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。
由于近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些大象也比较困难，现决定采取避孕注射法以维持大象数量的平衡。
我们已知此公园近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计。
根据这些信息我们需要解决以下问题：1.探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。
2.估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。
这里不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。
3.假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？问题假设1、假设大象的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母象可以怀孕的年龄为11岁—60岁、最高年龄为70岁，70岁的死亡率为100%，并且61—70岁的大熊的头数呈线性递减；3、假设大象在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，转移后的大象看成每年多死了这么多头大象；5、假设0岁大象能够活到1岁的比例为75%；符号说明X：表示一年中大象的头数（i=0表示0岁大象的头数，i=1表示1--60岁大i象头数，i=2表示61—70岁大象的头数）；i p ：表示存活率（0p 表示0岁大象的存活率，1p 表示1—60岁大象的存活率，2p 表示61岁—70岁大象的存活率）；()i x k ： 表示时段k 第i 年龄组的大象数量；i b ： 第i 年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量；i s ： 第i 年龄组的存活率；L ： Leslie 矩阵；1 ： L 矩阵的那个唯一正特征根；n ： 表示移出大象的头数；问题分析对于问题一，利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，可以分析近两年来的大象群落的情况，比如移出的各个年龄段的大象占移出的总的大象的头数的比例是多少，还可以根据两年移出大象后大象总数都是11000来建立方程，用于求解存活率。
对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的大象种群控制问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的 Leslie 矩阵的特征根，结合 Leslie 矩阵的稳定性理论对当前大象种群的情况进行分析。
为了保持大象种群的稳定，必须使得Leslie 矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立方程来求解应该对多少头母象进行避孕。
对于问题三，由于假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，故可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。
按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代替原来的存活率，就可以求出此时应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。
为了方便，可用采用计算机模拟的方法来确定移出的大象在哪个年龄段，考虑到计算机模拟的不确定性，可以对模拟结果进行检验。
探讨大象的存活率和当前大象的年龄结构下面将根据给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的存活率，并给出大象各年龄所占的比例，进而得到这个大象群落的当前的年龄结构。
1、线性方程组模型的建立（1）首先，计算一年中大象的头数。
大象群是由0岁，1—60岁，61岁—70岁组成 ,且稳定在11000头。
设0岁的头数为X 0，1—60岁大象头数为X 1，61岁—70岁大象头数为X 2。
所以得到第一个方程：X 0+X 1+X 2=11000 （I ）（2）其次，考虑到前一年大象的总数等于前两年存活下来的大象加上新生的幼儿再减去运出的大象数。
设0岁大象的存活率为0p ，1—60岁大象的存活率为1p ，61岁—70岁大象的存活率为2p 。
则经过一年后，新生的大象存活下来的头数为X 0⨯0p ；1到60岁的大象存活下来的头数为X 11p ⨯；61岁——70岁的大象能存活下来的头数为X 22p ⨯，因此得到第二个方程：（X 0⨯0p + X 11p ⨯+ X 22p ⨯）+ X 0-622=11000（II ）联立（I ）、（II ）得到方程组：0120011220X +X +X =11000X + X + X + X -622=11000 p p p ⎧⎨⨯⨯⨯⎩（*） 2、模型的求解根据近两年来运出的大象的数量与性别统计表，得到如下分析结果：（1）计算0岁的大象头数由表中统计，1岁—10岁的大象占1岁—60岁的大象比例为：（67/620+169/876）/2=15.05%所以得到：11岁—60岁能生小象的母象占1岁—60岁的大象比例为：（1-15.032%）⨯0.5 =42.48%因为能生小象的母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为1.35%，相当于每年生0.2896头 ，所以0岁的大象占1岁—60岁的大象比例为：0.4248⨯0.2896=0.12303这样0岁的大象共有：0X =0.12303⨯1 X （III ）（2）计算60岁—70岁的大象头数从表中计算运出的59岁的大象占运出的总大象比率为：（14/622+22/876）/2=0.0238由于运出的大象都是1岁—60岁的，所以0.0238也可看为59岁的大象占1—60岁的大象的头数比例，得到60岁的大象占的比例为0.02381p ⨯，由假设可以知道：61岁—70岁的大象头数为：2X =1/2⨯10⨯0.02381p ⨯⨯X 1 （ IV ）60岁——70岁的大象经过一年能存活下来的头数为：2 211X =(1/2)90.0238X p p ⨯⨯⨯⨯⨯ （V ）（3）、将（III ）、（V ）和（IV ）两个式子代入上面方程组（*）得：111110111110.12303X +X +(1/2 )100.0238 X =110000.12303X + X + (1/2)90.0238X +0.12303X -622=11000 p p p p ⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎨⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎩又由假设知道，0岁大象的存活率为0p =75%代入上述方程组，然后用Mathematica 解之得：110.9897198864.85p X =⎧⎨=⎩ 再依次将1X 、1s 代入（III ）、（V ）和（IV ）求得：201044.07X 1090.66X =⎧⎨=⎩ 所以，0岁大象的总头数为1091（头）；1—60岁的大象的存活率为98.9719%，总头数为8865（头）；61岁—70岁的大象头数为1091（头）。
把0—70岁的大象分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。
下面以1—10年龄段的大象头数计算为例：前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中1—10岁移出169头。
故1—10年龄段的大象头数可以这样计算：11X =671698865 [()/2]622 876⨯+=1332（头） 其他的年龄段用同样的方法计算，得到如下表（附饼形图）：表1（大象年龄结构）年龄0 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70头数1091 1333 1777 1069 1255 1888 1544 1044比例10 12 16 10 11 17 14 9（%）图1（大象年龄结构饼图）3、结果分析（1）由结果可以知道，2—60岁大象的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；（2）从图1可以看出，各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的，21—30岁和41—50岁的大象比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。
由此，可以认为求出的大象年龄也是合理的。
估计每年注射避孕药的母象头数为了估计每年注射避孕药的母象头数，首先建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母象头数。