多元函数微积分
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
多元函数微积分汇总
多元函数微积分汇总一、多元函数的极限对于多元函数，其极限的定义与一元函数相似。
设有一个二元函数，如果对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当点(x,y)满足0＜√[(x-a)²+(y-b)²]＜δ 时，必有，f(x,y)-A，＜ε成立，那么常数A是这个二元函数f(x,y)在点(x,y)处的极限，记作lim_(x,y)→(a,b)(f(x,y))=A。
类似地，也可以定义其它维度函数的极限。
二、多元函数的连续性在多元函数中，连续性的定义也与一元函数相似。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限存在且等于f(x0,y0)，则称多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
对于多元函数来说，全体连续点的集合称为多元函数的连续域。
三、多元函数的可微性多元函数的可微性与一元函数的可微性有一些差异。
设有一个二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的（Δx,Δy）,有f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(√Δx²+Δy²)其中A和B为常数，那么称二元函数f(x,y)在点(x,y)处可微。
类似地，对于三元、四元或n元函数也可以定义可微性。
四、多元函数的偏导数对于多元函数，其偏导数是指函数在其中一变量上的导数，而把其他变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)，其对于变量x的偏导数记为∂f/∂x。
偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。
五、多元函数的全微分全微分是指多元函数的微分与偏导数之间的关系。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可表示为df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
全微分可用于描述函数的微小变化。
六、多元函数的方向导数方向导数是指多元函数在其中一方向上的变化率。
给定一个二元函数f(x,y)和一个单位向量u=(cosθ, sinθ)，函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿着方向u的方向导数定义为D_uf(x0,y0)=∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ七、多元函数的梯度多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小为变化率的最大值。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是微积分学中的一个重要分支，它研究的是多个变量之间的关系。
与一元函数的微积分不同，多元函数的微积分需要考虑多个自变量对因变量的影响，因此在计算过程中需要运用到一系列的技巧和方法。
在多元函数的微积分中，我们首先要了解的是偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中，对于其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以得到函数在某个点上关于某个自变量的变化率。
在计算偏导数时，我们可以通过使用极限的概念，将多元函数转化为一元函数进行求导。
除了偏导数，多元函数的微积分还涉及到多元函数的极值问题。
在一元函数的微积分中，我们可以通过求导来判断函数在某个点上的极值，而在多元函数中，我们需要使用偏导数来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数的偏导数，并令其等于零，来求解函数的临界点。
通过判断二阶偏导数的正负，我们可以得到函数在临界点上的极值情况。
多元函数的微积分还涉及到多元积分的计算。
多元积分是对多元函数在一个区域上的求和或求平均的操作。
与一元函数的定积分类似，多元积分需要将函数分割成无穷小的小块，并对每个小块进行求和。
在多元积分中，我们可以使用重积分或累次积分的方法进行计算。
除了上述基本概念和技巧外，多元函数的微积分还涉及到一些高级的内容，如隐函数求导、参数方程求导、向量微积分等。
这些内容在工程、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
总结起来，多元函数的微积分是研究多个变量之间的关系的数学工具，它包括了偏导数、极值问题和多元积分等内容。
通过学习多元函数的微积分，我们可以更深入地理解多元函数的性质，并应用于实际问题的求解中。
多元函数的微积分在现代科学和工程领域中具有重要的地位，它为我们研究和解决复杂的问题提供了强有力的工具。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
多元函数与多元微积分
多元函数与多元微积分多元函数是数学分析的一个重要分支，它描述了多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元微积分则研究多元函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将介绍多元函数的定义、连续性和偏导数，以及多元微积分的应用。
一、多元函数的定义与连续性多元函数可以定义为具有多个自变量和一个因变量的数学函数。
例如，一个具有两个自变量x和y的多元函数可以表示为f(x, y)。
多元函数的定义域即为自变量所在的数学空间。
对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
多元函数在某一点连续，意味着当自变量在该点附近发生微小改变时，函数值也会发生微小变化。
连续性可用极限来描述，即函数在某一点的极限存在且与函数在该点的取值相等。
二、多元函数的偏导数偏导数是多元函数的导数在某一点上对各个自变量的偏导数。
对于一个具有n个自变量的多元函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其偏导数可表示为∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ。
偏导数描述了在其他自变量保持不变的情况下，函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x, y)，∂f/∂x表示当y保持不变时，函数f在x方向上的变化率。
三、多元微积分的应用多元微积分在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 曲面的切平面与法线：在多元微积分中，通过偏导数可以求得曲面在某一点上的切平面与法线。
这在计算机图形学、机械设计等领域中具有重要意义。
2. 二重积分与三重积分：多元函数的积分可以用于计算平面区域的面积、质心以及立体体积等问题。
例如，在物理学中，可以通过二重积分计算平面物体的质心坐标。
3. 最优化问题：多元微积分可以帮助解决最优化问题，即寻找多元函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
这在经济学中的优化模型、工程中的最佳设计等问题中有应用。
4. 微分方程：多元微分方程是描述自然界和工程问题中的多变量关系的数学模型。
通过多元微分方程的求解，可以得到解析解或数值解，并找到问题的解释。
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同理可求 ∂ 2 z . ∂y 2
P60--例 7 设 z = f (x 2 + y 2 , xy ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 ∂2 z ． ∂x∂y
解：
∂z ∂x
=
f1′ ⋅ 2x +
f
′
2
⋅
y，
( ) ∂2z
∂x∂y
=
∂ ∂y
⎛ ⎜⎝
∂z ∂x
⎞ ⎟⎠
=
∂ ∂y
f1′ ⋅ 2x +
′′
P60--练习 1 设 z = f ( x 2 + y 2 ) ，其中 f 有二阶导数，求 ∂ 2 z ， ∂ 2 z ．（2006）
∂x 2
∂y 2
解： ∂z = f ′⋅ x ； ∂2z = f ′′ ⋅ x 2 + f ′ ⋅ y 2 .
∂x
x2 + y2
∂x 2
x2 + y2
(x2 + y2)32
f
′′
12
=
f
′′
21
，合并)
P60--例 8 设 z = f (x , y ,u) ，其中 f 有二阶连续偏导数，而 u = e xy ，求 ∂2 z ． ∂x∂y
解： ∂z ∂x
=
f
′
1
+
f
′
3
⋅e
x
y
⋅y
( ) ∂2z
∂x∂y
=
f12′′ ⋅1+
P58--例 1
设 f ( x , y ) = x 2 + ( y −1) arctan
x y
．求
f x′(
x,
y)
， f y′( x, y )
， f x′(1 , 2 )
， f x′( x , 1) ．
解
f x′( x , y
) = 2x
+ (y
− 1)⋅ 1
⎛ 1+ ⎜
⎝
x y
1
2⋅
⎞ ⎟
2
⎠
x y
f
′
2
⋅
y
= 2x( f11′′ ⋅ 2 y +
f12′′ ⋅ x) +
f
′
2
+
y(
f
′′
21
⋅
2
y
+
f
′′
22
⋅
x)
=
4 xyf11′′
+
2(
x2
+
y2 )
f12′′ +
f2′ +
xyf22′′
（因为
f
(u, v) 有二阶连续偏导数，所以
f
′′
21
=
f12′′ ）
2
P60--练习 2 设 z = f ( xy, x ) + g ( y ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 ∂ 2 z ． （2000）
解： dw = ∂w + ∂w ⋅ dy + ∂w ⋅ dz = 2e2x cos( y + z) + e2x [− sin(y + z)⋅ (3x 2 + 1 )] = L L
dx ∂x ∂y dx ∂z dx
2 x +1
1
P59-例 5 设 w = x2 + y 2 + z 2 ，而 z = e xy ，求 ∂w ， ∂w ． ∂x ∂y
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
P59--例 3 设 z = f (x , y ) = ln(x 2 + y 2 ) ，而 y = e x ，求 dz ． dx
解： dz = ∂f ⋅1 + ∂f ⋅ dy = 2x + 2 y ⋅ex =L dx ∂x ∂y dx x2 + y2 x2 + y2
P59--例 4 设 w = e 2x cos( y + z) ，而 y = x3 ， z = x +1 ，求 dw ． dx
解： ∂z ∂x
=
f
′
1
⋅
ϕ
′
⋅1
+
f
′
2
⋅
1 y
∂2z ∂x∂y
=
⎡ ⎢
f11′′
⋅ϕ′
⋅
(−1)
+
⎣
f12′′ ⋅ (−
x y2
⎤ )⎥ ⎦
⋅
ϕ
′
+
f
′
1
⋅
ϕ
′′
⋅
(−1)
+
1 y
⎡ ⎢ ⎣
f
′′
21
⋅
ϕ
′
⋅
(−1)
+
f
′′
22
⋅
(−
x⎤
y
2
)
⎥ ⎦
−：引为
f
有二阶连续偏导数，则有
解： ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v = cos(u 2 +v 2 )⋅ 2u ⋅ y + cos(u 2 +v 2 )⋅ 2v ⋅1= L ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z
∂z =
∂u ⋅
∂z +
∂v ⋅
= cos(u 2 +v 2 )⋅ 2u ⋅x
+ cos(u 2 +v 2 )⋅ 2v ⋅ (−1) = L
⋅1 y
,
f y′ ( x , y ) = 1⋅ arctan
x
1
1 ⎛ x⎞
+ (y − 1)⋅
y
⎛
1+ ⎜
⎝
⋅
2
x⎞ ⎟
2
y⎠
x
⋅
⎜− ⎝
y
2
⎟ ⎠
y
fx′(1 , 2 ) = fx′( x, y ) (1 , 2) = 2 +
2, 6
( ) f x′( x , 1) = x 2 ′ = 2x
P58--例 1 设 z = ln(uv 2 ) ，而 u = t 3 ， v = et ，求 dz ． dt
y
x
∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z ∂x
=
f1′ ⋅ y +
f
′
2
⋅
1 y
+
g′⋅ (−
y ), x2
∂2z ∂x∂y
=
∂ ∂y
⎛ ∂z
⎜ ⎝
∂x
⎞ ⎟ ⎠
=
∂ ∂y
⎛ ⎜ ⎝
f1′ ⋅ y +
f
′
2
⋅
1 y
+
g′⋅ (−
y⎞
x
2
)
⎟ ⎠
=
f1′ + y[ f11′′x +
f12′′
⋅ (−
解： ∂w = ∂f
∂f +
∂z ⋅
= 2x + 2z ⋅exy ⋅ y ，
∂ x ∂x ∂z ∂x
∂w
=
∂f
+
∂f
∂z ⋅
= 2y + 2z ⋅exy
⋅x
∂ y ∂y ∂z ∂y
P59--例 6 设 z = f (x2 − y2 ) ，其中 f (u) 有二阶导数，求 ∂z ， ∂z ， ∂ 2 z ． ∂x ∂y ∂x∂y
x y2
)] −
1 y2
f
′
2
+
1 y
[
f
′′
21
x
+
f
′′
22
⋅
(−
x )]− g′′⋅ y
y2
x3
− g′⋅ 1 x2
=
f1′
+
xyf11′′
−
1 y2
f2′ −
x y3
f22′′
−
y x3
g′′ −
1 x2
g′
P60--练习 3
设z=
f
⎡ ⎢ϕ(x ⎣
−
y),
x y
⎤ ⎥ ⎦
，其中
f
有二阶连续偏导数，ϕ 有二阶导数，求 ∂2 z ． ∂x∂y
解：令 x 2 − y 2 = u ，两个自变量，一个中间变量，则
∂z = f ′(u) ⋅ 2x = 2xf ′, ∂x
∂z = − f ′(u) ⋅ 2y = −2 yf ′ ∂y
∂2z ∂x∂y
=
∂ ∂y
⎛ ⎜ ⎝
∂z ∂x
⎞ ⎟ ⎠
=
∂ ∂y
(2xf
′)
=
2xf
′′(u)
⋅
(−2
y)
=
−4 xyf
解：
dz
=
∂z
⋅
du
+
∂z
dv ⋅
=
1
⋅ 3t 2
+
2 ⋅ et
=
3
+2；
dt ∂u dt ∂v dt u
vt
或 z = ln(t 3e 2t ) 为一元函数，……
P59--例 2 设 z = sin(u 2 + v 2 ) ，而 u = xy ， v = x − y ， 求 ∂z ， ∂z ． ∂x ∂y