高中数学解题方法

高中数学解题方法
数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.数和形是数学中最基本的两大概念，也是整个数学发展过程中的两大柱石，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野.
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.
以下就对“以形助数”试做一番探讨：
一、与方程的根有关的问题
例1.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围.
分析：令f（x）=x2+2kx+3k，其图像与x轴的交点的横坐标就是方程f（x）=0的根，由y=f（x）的图像可知，要使两根都在-1，3之间，只需f（-1）>0，f（3）>0，f（-b2a）=f（-k）a.1个 b.2个 c.3个 d.1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数等价于判断图像y=a|x|与y=|logax|的图像交点个数，出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（b）.
二、与不等式有关的问题
例3.解不等式x+2>x.
解：令y1=x+2，y2=x，则不等式x+2>x的解，就使y1=x+2在y2=x 的上方的那段对应的横坐标，如图，不等式的解集为{x|xa≤x1，两函数图象如图1所示，显然当x∈（1，2）时，
图1 图2
要使y1若0三、与函数有关的问题
例5.求函数u=2t+4+6-t的最值.
分析：由于等号右端根号内同为t的一次式，故作简单换元
2t+4=m，无法转化求出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元.
解：设x=2t+4，y=6-t，则u=x+y
且x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤22）所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端
点）有公共点（如图），umin=22.
相切于第一象限时，u取最大值
y=-x+ux2+2y2=163x2-4ux+2u2-16=0
解δ=0，得u=±26，取u=26∴umax=26
例6.求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值.
分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为
x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2令a（0，1），b（2，2），p（x，0），则问题转化为在x轴上求一点p，使pa+pb 有最小值（如图）.由于ab在x轴同侧，故取a关于x轴的对称点c（0，-1），故（pa+pb）min=（0-2）2+（-1-2）2=13
例7.求函数y=sinx+2cosx-2的值域.
解法一（代数法）：则y=sinx+2cosx-2得ycosx-2y=sinx+2，sinx-ycosx=-2y-2，y2+1sin（x+φ）=-2y-2∴sin（x+φ）
=-2y-2y2+1，而|sin（x+φ）|≤1∴|-2y-2y2+1|≤1，解不等式得-4-73≤y≤-4+73
∴函数的值域为[-4-73，-4+73].
解法二（几何法）：y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式
y=y2-y1x2-x1，y=sinx+2cosx-2表示过两点p0（2，-2），p（cosx，sinx）的直线斜率。

由于点p在单位圆x2+y2=1上（如图），显然，kp0a≤y≤kp0b，设过p0的圆的切线方程为y+2=k（x-2），
则有|2k+2|k2+1=1，解得k=-4±73即kp0a=-4-73，kp0b=-4+73 ∴-4-73≤y≤-4+73 ∴函数的值域为[-4-73，-4+73].
四、与解析几何有关的问题
例8.已知x，y满足x216+y225=1，求y-3x的最大值与最小值. 分析：对于二元函数y-3x在限定条件x216+y225=1下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之.
解：令y-3x=b，则y=3x+b，原问题转化为：在椭圆x216+y225=1上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小，由图可知，当直线y=3x+b与椭圆x216+y225=1相切时，有最大截距与最小截距.
y=3x+bx216+y225=1169x2+96bx+16b2-400=0
由δ=0，得b=±13，故y-3x的最大值为13，最小值为-13.
此外，还有斜率型y-bx-a，距离型（x-a）2+（y-b）2.
例9.若集合m=（x，y）x=3cosθy=3sinθ（0<θ<π），集合n={（x，y）|y=x+b}
且m∩n≠，则b的取值范围.
分析：m={（x，y）|x2+y2=9，0<y≤1}，显然，m表示以（0，0）为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而n则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为b，由图易知，要使m∩n≠，即是使直线y=x+b与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为-3，最大值为32，即-3<b≤32.
五、与复数有关的问题
例10.已知复数z满足|z-2-2i|=2，求|z|的最大值、最小值.
分析：由于|z-2-2i|=|z-（2+2i）|有明显的几何意义，他表示复数z对应的点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z-（2+2i）|=2的复数z对应点z，在以（2，2）为圆心，半径为2
的圆上（如图），而|z|表示复数z对应的点z到原点o的距离，显然，当点z、圆心c、点o三点共线时，|z|取得最值|z|min=2，
|z|max=32，
∴|z|的取值范围为[2，32].
例11.适合|z-1|=1且argz=π4的复数z的个数为（）
a.0个
b.1个
c.2个
d.4个
分析：|z-1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点z对应的复数满足条件argz=π4，另外，点o对应的复数o，因其辐角是多值，它也满足argz=π4，故满足条件的z有两个.
通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合的美妙所在.而在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；
第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；
第三是正确确定参数的取值范围.
综观高中数学，可以知道其研究的对象不外是一些常见的数量关
系与简单的图形，数与形不仅是两个相互对立的概念，而且是数学中较其他对立较为特殊的一种对立，然而，数与形与其他对立的双方一样，也可以在一定的条件下实现相互转化.华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”因此，化数为形；化形为数，数形相互为用是数学探索和解决数学问题的重要途径.
数形结合思想在高中数学中应用十分广泛，它为我们提供了多条解决问题的通道，渗透在学习新知和新知的应用过程中，在解题中数学老师要做好这种“数”与“形”关系的揭示与转化，启发学生深刻认识数学问题的实质——数学知识的精髓需要平时多注意积累，有意识的加强这方面的训练，才能将知识转化为能力，才能提高学生灵活运用数形结合思想转化或化归思想与函数（方程）思想解决问题的能力.才能使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥.
参考文献
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[4] 徐加生.例谈数形结合解题应注意的问题[j].中学数学研究，2004，（4）：10。