平面向量高考试题精选(含详细标准答案)
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平面向量高考试卷精选(一)
一.选择题(共14小题)
1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则()
A.B.
C.D.
2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()
、
A.13 B.15 C.19 D.21
3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()
A.20 B.15 C.9 D.6
4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()
A.||=1 B.⊥C.?=1 D.(4+)⊥
|
5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()
A.||≤|||| B.||≤|||﹣|||
C.()2=||2D.()?()=2﹣2
6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()
A.B.C.D.π
7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()
(
A.B.C.D.
8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是()
A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<
>=60°,则||的最大值等于()
A.2 B.C.D.1
{
10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=()
A.B.C.D.
11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为()
A.B.C.D.0
12.(2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
~
13.(2014?新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.
14.(2014?福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()
A.B.2C.3D.4
;
二.选择题(共8小题)
15.(2013?浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于.
16.(2013?北京)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为.
17.(2012?湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则=.
;
18.(2012?北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为.
19.(2011?天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点,则的最小值为.
20.(2010?浙江)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值范围是.
21.(2010?天津)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=.
\
22.(2009?天津)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则=.
三.选择题(共2小题)
23.(2012?上海)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
,
(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围.
24.(2007?四川)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
*
平面向量高考试卷精选(一)
参考答案与试卷解读
一.选择题(共14小题)
1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则()
A.B.
C.D.
解:由已知得到如图
…
由===;
故选:A.
2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()
A.13 B.15 C.19 D.21
解:由题意建立如图所示的坐标系,
可得A(0,0),B(,0),C(0,t),
∵,∴P(1,4),
;
∴=(﹣1,﹣4),=(﹣1,t﹣4),
∴=﹣(﹣1)﹣4(t﹣4)=17﹣(+4t),
由基本不等式可得+4t≥2=4,
∴17﹣(+4t)≤17﹣4=13,
当且仅当=4t即t=时取等号,
∴的最大值为13,
故选:A.
)
3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()
A.20 B.15 C.9 D.6
解:∵四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,,
∴根据图形可得:=+=,
==,
∴=,
∵=?()=2﹣,
~
2=22,
=22,
||=6,||=4,
∴=22=12﹣3=9
故选:C
4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()
A.||=1 B.⊥C.?=1 D.(4+)⊥
*
解:因为已知三角形ABC的等边三角形,,满足=2,=2+,又,所以,,
所以=2,=1×2×cos120°=﹣1,
4=4×1×2×cos120°=﹣4,=4,所以=0,即(4)=0,即
=0,所以;
故选D.
5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()
A.||≤|||| B.||≤|||﹣|||
C.()2=||2D.()?()=2﹣2
"
解:选项A正确,∵||=|||||cos<,>|,
又|cos<,>|≤1,∴||≤||||恒成立;
选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||;
选项C正确,由向量数量积的运算可得()2=||2;
选项D正确,由向量数量积的运算可得()?()=2﹣2.
故选:B
6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()
*
A.B.C.D.π
解:∵(﹣)⊥(3+2),
∴(﹣)?(3+2)=0,
即32﹣22﹣?=0,
即?=32﹣22=2,
∴cos<,>===,
即<,>=,
故选:A
:
7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()
A.B.C.D.
解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量
的夹角为θ,
所以?()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以;故选C.
8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是()
A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1]
~
】解:∵动点D满足||=1,C(3,0),
∴可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).
又A(﹣1,0),B(0,),
∴++=.
∴|++|===
,(其中sinφ=,cosφ=)
∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,
∴=sin(θ+φ)≤=,
∴|++|的取值范围是.
(
故选:D.
9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<
>=60°,则||的最大值等于()
A.2 B.C.D.1
解:∵,
∴的夹角为120°,
设,则;=
如图所示
则∠AOB=120°;∠ACB=60°
:
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A,O,B,C四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时,模最大,最大为2
故选A
…
10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=()
A.B.C.D.
解:由题意可得若?=(+)?(+)=+++
=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.
(
?=﹣?(﹣)==(1﹣λ)?(1﹣μ)=(1﹣λ)?(1﹣μ)
=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.
由①②求得λ+μ=,
故答案为:.
11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为()
A.B.C.D.0
\
解:由题意,设与的夹角为α,
分类讨论可得
①?+?+?+?=?+?+?+?=10||2,不满足
②?+?+?+?=?+?+?+?=5||2+4||2c osα,不满足;
③?+?+?+?=4?=8||2cosα=4||2,满足题意,此时cosα=
∴与的夹角为.
故选:B.
12.(2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()
。
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
解:∵向量=(1,2),=(4,2),
∴=m+=(m+4,2m+2),
又∵与的夹角等于与的夹角,
∴=,
∴=,
∴=,
解得m=2,
>
故选:D
13.(2014?新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.
【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,
∴+=(+)+(+)=+=(+)=,
故选:A
¥
14.(2014?福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()
A.B.2C.3D.4
解:∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则=,
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴=2=4
故选:D.
二.选择题(共8小题)
|
15.(2013?浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于2.
解:∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=.
∵非零向量=x+y,∴||===,
∴====,
故当=﹣时,取得最大值为2,
故答案为2.
16.(2013?北京)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为3.
解:设P的坐标为(x,y),则
;
=(2,1),=(1,2),=(x﹣1,y+1),∵,
∴,解之得
∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴点P坐标满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0)
∵|CF|==,
点E(5,1)到直线CF:2x﹣y﹣6=0的距离为d==
∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3,即动点P构成的平面区域D的面积为3
>
故答案为:3
17.(2012?湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则= 18.
【解答】解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO
∵AP⊥BD,AP=3,
在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3
∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6,
—
由向量的数量积的定义可知,=||||cos∠PAO=3×6=18
故答案为:18
18.(2012?北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为1.
【解答】解:因为====1.
故答案为:1
:
19.(2011?天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点,则的最小值为5.
解:如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)
设P(0,b)(0≤b≤a)
则=(2,﹣b),=(1,a﹣b),
∴=(5,3a﹣4b)
∴=≥5.
故答案为5.
'
20.(2010?浙江)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值范围是(0,].
解:令用=、=,如下图所示:
则由=,
又∵与的夹角为120°,
∴∠ABC=60°
又由AC=
?
由正弦定理得:
||=≤
∴||∈(0,]
故||的取值范围是(0,]
故答案:(0,]
21.(2010?天津)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=.?
【解答】解:,
∵,
∴,
∵,
∴cos∠DAC=sin∠BAC,
,
@
在△ABC中,由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB,
,
=|BC|sinB==,
故答案为.
22.(2009?天津)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则=
﹣2.
解:以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得
,
∴,,
∵=+=,
{
∴M,
∴,,
=(,)?(,)=﹣2.
故答案为:﹣2.
三.选择题(共2小题)
23.(2012?上海)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
]
(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围.
【解答】解:(1)g(x)=3sin(x+)+4sinx=4sinx+3cosx,
其‘相伴向量’=(4,3),g(x)∈S.
(2)h(x)=cos(x+α)+2cosx
=(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx
=﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx
∴函数h(x)的‘相伴向量’=(﹣sinα,cosα+2).
则||==.
(3)的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx=sin(x+φ),
其中cosφ=,sinφ=.
当x+φ=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值,故x0=2kπ+﹣φ,k∈Z.
∴tanx0=tan(2kπ+﹣φ)=cotφ=,
tan2x0===.
为直线OM的斜率,由几何意义知:∈[﹣,0)∪(0,].
令m=,则tan2x0=,m∈[﹣,0)∪(0,}.
当﹣≤m<0时,函数tan2x0=单调递减,∴0<tan2x0≤;
当0<m≤时,函数tan2x0=单调递减,∴﹣≤tan2x0<0.
综上所述,tan2x0∈[﹣,0)∪(0,].
24.(2007?四川)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
】解:(Ⅰ)易知a=2,b=1,.
∴,.设P(x,y)(x>0,y>0).
则,又,联立,解得,.
(Ⅱ)显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
∴,
由△=(16k)2﹣4?(1+4k2)?12>016k2﹣3(1+4k2)>0,4k2﹣3>0,得.①又∠AOB为锐角,
∴
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=
=
=
∴.②
综①②可知,
∴k的取值范围是.