人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清
直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明教学目标：〔1〕理解证明不等式的三种方法：比拟法、综合法和分析法的意义；〔2〕掌握用比拟法、综合法和分析法证明简单的不等式；〔3〕能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；〔4〕通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:〔不等式证明三种方法的理解〕==〉〔简单应用〕==〉〔综合应用〕2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．〔1〕不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立〔或都不成立〕，而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．〔2〕比拟法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比拟法是最根本、最重要的方法．②证明不等式的比拟法，有求差比拟法和求商比拟法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比拟法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比拟法，使用求商比拟法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比拟法的根本步骤是：“作差→变形→断号〞．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．〔3〕综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果〞：从的不等式出发，通过一系列条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：〔〕==〉〔逐步推演不等式成立的必要条件〕==〉〔结论〕〔4〕分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆〞，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因〞：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：〔〕<==〔逐步推演不等式成立的必要条件〕<==〔结论〕④分析法是证明不等式时一种常用的根本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.〔5〕关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后到达题设的条件．即推理方向是：结论.综合法那么是从数学题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题．即：结论．③分析法的特点是：从“结论〞探求“需知〞，逐步靠拢“〞，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“〞推出“可知〞，逐步推向“未知〞，其逐步推理实际上是要寻找的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比拟麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明〔比拟法〕教学目标1．掌握证明不等式的方法——比拟法；2．熟悉并掌握比拟法证明不等式的意义及根本步骤．教学重点:比拟法的意义和根本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：〔－〕导入新课教师提问：根据前一节学过〔不等式的性质〕的知识，我们如何用实数运算来比拟两个实数与的大小？找学生答复以下问题．〔学生答复：，，，〕［点评］要比拟两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比拟法．现在我们就来学习：用比拟法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比拟法证明不等式，导入本节课学习的知识．〔二〕新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比拟法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比拟两个实数的大小、比拟式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比拟转化为一个一般式子与0的大小比拟，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比拟法．目的：帮助学生构建用比拟法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比拟法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比拟法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比拟法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． 〔最后是与1比拟〕(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2． ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比拟法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反应课堂教学效果，调节课堂教学．〔四〕布置作业2、：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步稳固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的根本思路,即“由因导果〞,从条件及不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A ()⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=〞号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=〞号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.●教学难点“由因导果〞时,从哪个不等式出发适宜是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数〞的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=〞号； 〔6〕33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号； 〔7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.今天，我们在上一节课学习“比拟法〞证明不等式的根底上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
高三数学高考第一轮复习第十五章教案直接证明与间接证明
芯衣州星海市涌泉学校第三节直接证明与间接证明一、复习目的：1．理解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；理解分析法和综合法的考虑过程、特点。
2．理解间接证明的一种根本方法──反证法；理解反证法的考虑过程、特点。
二、重难点：1、重点：能纯熟运用三种证明方法分析问题或者者证明数学命题。
2、难点：运用三种方法进步分析问题和解决问题的才能。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳四、教学过程〔一〕、谈考纲要求及新课程高考命题考察情况，促使积极参与学生阅读复资P145页教师点评，增强目的及参与意识。
〔二〕、知识梳理，方法定位〔学生完成复资P146页填空题，教师准对问题讲评〕1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种根本方法——分析法和综合法⑴综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。
框图表示：〔其中P表示条件，Q表示要证的结论〕。
综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止，这种证明方法叫分析法。
框图表示：。
分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而A 为真，故命题B 必为真。
2、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。
反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
22直接证明与间接证明教学设计教案
教学准备1. 教学目标一. 知识及技能目标（1）了解直接证明的两种基本方法: 综合法和分析法.（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点.二. 过程及方法目标（1）通过对实例的分析、归纳及总结, 增强学生的理性思维能力.（2）通过实际演练, 使学生体会证明的必要性, 并增强他们分析问题、解决问题的能力．三. 情感、态度及价值观通过本节课的学习, 了解直接证明的两种基本方法, 感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用, 养成言之有理、论之有据的好习惯, 提高学生的思维能力．2. 教学重点/难点教学重点: 综合法和分析法的思维过程及特点。
教学难点: 综合法和分析法的应用。
3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、复习引入【师】证明对我们来说并不陌生, 我们在上一节学习的合情推理, 所得的结论的正确性就是要证明的, 并且我们在以前的学习中, 积累了较多的证明数学问题的经验, 但这些经验是零散的、不系统的, 这一节我们将通过熟悉的数学实例, 对证明数学问题的方法形成较完整的认识。
合情推理分为归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本证明方法——直接证明及间接证明。
今天我们先学习直接证明。
二、新知探究（一）知识点一:综合法1.引例探究证明下列问题: 已知a,b>0,求证: /问题1: 其左右两边的结构有什么特点？【生】右边是3个数a, b, c的乘积的4倍, 左边为两项之和, 其中每一项都是一个数及另两个数的平方和之积.问题2: 利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和及这两个数的积的不等关系？【生】基本不等式问题3: 步骤上应该怎么处理？【解答过程】问题4: 讨论上述证明形式有什么特点？【生】充分讨论, 思考, 找出以上问题的证明方法的特点2.形成概念。
高三数学一轮复习 直接证明与间接证明教案
芯衣州星海市涌泉学校贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：直接证明与间接证明教学目标理解直接证明与间接证明2、培养学生分析问题的才能教学重难点利用反证法解决问题教学参考各高考题教学与测试授课方法自学引导类比教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、直接证明综合法；分析法二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法考虑：1.综合法与分析法，哪种方法好？2．反证法中所说的“得出矛盾〞是什么意思？三、例题分析：例1设a、b、c＞0，证明＋＋≥a＋b＋c.总结：综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或者者不等式等．(2)条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，那么a与b大小关系为2．证明不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.解题反思：教学过程设计教学二次备课例2a＞0，－＞1，求证：＞.总结：分析法是逆向思维，当条件与结论之间的联络不够明显、直接，或者者证明过程中所需要用的知识不太明确、详细时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或者者不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写.例3．a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．总结：用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否认结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推证，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．五、课堂小结六、课后作业1．非零向量a⊥b，求证：≤.学生练习：P3382、5板演，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.2．用分析法证明：ac＋bd≤·课外作业课时作业223页4,10教学小结。
高三数学一轮复习精品学案1：直接证明与间接证明
7.5 直接证明与间接证明导学目标1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”的假设内容应是()A.3a＝3b B.3a<3bC.3a＝3b且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是() A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b|B．a2＋1a2≥a＋1 aC.a ＋3－a ＋1<a ＋2－aD ．|a －b |＋1a －b≥2 4．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )等于( )A ．aB ．bC ．cD ．d5．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2考点探究探究点一 综合法例1 已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .变式迁移1 设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .探究点二 分析法例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．变式迁移3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·上海改编)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1)若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab . 多角度审题 (1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解． (2)第(2)小题，实质是证明不等式|a 3＋b 3－2ab ab |>|a 2b ＋ab 2－2ab ab |成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．『答题模板』(1)解 由题意得||x 2－1＞1，即x 2－1＞1或x 2－1＜－1.『2分』由x 2－1＞1，得x 2＞2，即x ＜－2或x ＞2；由x 2－1＜－1，得x ∈∅.综上可知x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．『4分』(2)证明 由题意知即证||a 3＋b 3－2ab ab ＞||a 2b ＋ab 2－2ab ab 成立．『6分』∵a ≠b ，且a 、b 都为正数，∴||a 3＋b 3－2ab ab ＝||a 32＋b 32－2a 3b 3＝||a 3－b 32＝(a a －b b )2， ||a 2b ＋ab 2－2ab ab ＝||ab a ＋b －2ab ＝ab (a －b )2＝(a b －b a )2，『8分』 即证(a a －b b )2－(a b －b a )2＞0，即证(a a －b b －a b ＋b a )(a a －b b ＋a b －b a )＞0，需证[]a －b a ＋b []a －b a ＋b ＞0，『10分』 即证(a ＋b )(a －b )2＞0，∵a 、b 都为正数且a ≠b ，∴上式成立．故原命题成立．『12分』 『突破思维障碍』1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a 3＋b 3－2ab ab |与|a 2b ＋ab 2－2ab ab |中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．『易错点剖析』1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．课堂小结1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)答案自主梳理1．(1)①推理论证 成立 (2)①要证明的结论 充分条件2．不成立 矛盾自我检测1．A 『由分析法的定义可知．』2．D 『因为3a >3b 的否定是3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a <3b .』3．D 『D 选项成立时需得证a －b >0.A 中|a －b |＋|c －b |≥|(a －b )－(c －b )|＝|a －c |，B 作差可证；C 移项平方可证．』4．A 『由所给的定义运算知a ⊕c ＝c ，d ⊗c ＝a .』5．C 『a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6， 因此a 、b 、c 至少有一个不小于2.』例1 解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，再进一步得出结论．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.∴a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2； ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥ab ＋bc ＋ca ＋2(ab ＋bc ＋ca )，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )．∴原命题得证．变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 例2 解题导引 当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果) 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ca >0. 且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果) 所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 变式迁移2 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 例3 解题导引 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立， 因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． 变式迁移3 证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6， ∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.。
高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案
高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案教学内容：直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明和间接证明的定义2、能够应用直接证明和间接证明的方法解决问题3、通过练习，掌握直接证明和间接证明的技巧，提高数学思维能力教学重点：1、了解直接证明和间接证明的方法2、掌握直接证明和间接证明的技巧教学难点：1、掌握间接证明的方法2、理解并应用间接证明的原理教学方法：讲授、演示，课堂练习教学工具：教材、黑板、彩色粉笔教学过程：Step1.导入新知教师通过提问，引出本节课的主题：直接证明与间接证明T：在讲解定理和证明的时候，我们遇到了不同的方法，例如直接证明和间接证明。
那么，大家知道直接证明与间接证明是什么吗？它们有什么区别？S：老师，直接证明是用已知的事实来推出结论，而间接证明是用推论的相反来推出结论。
直接证明与间接证明的区别在于前者是从已知开始，后者是从结论开始。
T：非常好！接下来，我们就来学习直接证明和间接证明的方法。
Step2.学习新知教师通过讲解及举例，介绍直接证明和间接证明的方法。
直接证明：从已知出发，逐步推出结论间接证明：采用反证法，否定假设，得到结论例1：直接证明已知：若n是偶数，则n^2是偶数结论：若n是奇数，则n^2是奇数T：大家看一下这个例子，我们可以通过直接证明来证明结论。
首先，我们假设n是奇数，那么我们可以把n表示为2k+1，其中k是整数。
接着，我们可以将n^2表示为(2k+1)^2=4k^2+4k+1。
我们可以看到，4k^2+4k是一个偶数，而1是一个奇数，所以n^2是奇数。
这样，我们就证明了原来的结论。
例2：间接证明已知：对于任意的正整数n，当n取模3时余数为1或2结论：不存在正整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1T：在这个例子中，我们需要用到间接证明的方法来证明结论。
首先，我们假设存在正整数a、b、c，满足a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。
理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。
二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。
学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。
三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。
高三数学一轮复习精品学案2：直接证明与间接证明
7.5 直接证明与间接证明『考纲解读』1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．“直接证明和间接证明”在高考中一般不直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时考查本部分内容．它是每年高考考查的重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，客观题、主观题都可能涉及，以考查“直接证明”中的综合法为主．『考点梳理』1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________，因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．『基础自测』要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法要证明a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1≤0C．－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式成立的是()A．a2<b2B．a2b<ab2C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b在用反证法证明“∀实数x ，x 2＋x ＋1>0”时，其假设是____________________． 设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1，其中能推出：“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．『典例解析』类型一 直接证明设a ，b ，c >0，求证：3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.类型二 间接证明 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 三边的倒数成等差数列．求证：∠B <π2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．『名师点津』1．综合法证题是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已知) ⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒…⇒Q n⇒Q(结论)．2．分析法是一种“执果索因”的证明方法，它的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论) ⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．3．分析法与综合法的综合应用(1)分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推．(2)二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．4．用反证法证明命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件相矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．5．可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题；(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明的命题．6．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个没有一个∀x成立∃x0不成立至多有一个至少有两个∀x不成立∃x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q 至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q答案『考点梳理』1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误 『基础自测』解：从要证明的结论(比较两个无理数的大小)出发，转化为比较有理数的大小，这正是用分析的方法证明问题．故选B.解：∵a 2＋b 2－1－a 2b 2＝－(a 2－1)(b 2－1)，∴a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔ (a 2－1)(b 2－1)≥0.故选D.解：∵a ，b 为非零常数，∴a 2b 2>0.又由a <b 两边同除以a 2b 2得1ab 2<1a 2b.故选C.解：假设所要证明的结论不成立，即∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0.故填∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0.解：对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2与③矛盾，故③能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”，故填③.证明：∵a ，b ，c >0，a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2a 2b ＋2ab 2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2， ① 同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2， ② a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，③①＋②＋③得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2，∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋ab 2＋b 2c )＋(c 3＋ac 2＋bc 2)＝a 2(a ＋b ＋c )＋b 2(b ＋a ＋c )＋c 2(c ＋a ＋b ) ＝(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．『评析』在证明本题的过程中，若直接将结论展开证明，虽然可能成功，但相比从已知公式定理出发进行证明，有一定的复杂性，所以在使用分析法出现困难时，应及时回顾相关的知识背景，分析通过怎样的配凑或变形可以使已知公式定理接近结论，才是明智之举．只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a ＞0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立(a ＝1时取等号)，故原不等式成立．证明：若a ，b ，c 的倒数成等差数列，则1a ＋1c ＝2b .假设B ≥π2，从而∠B 是△ABC的最大角，根据“大角对大边”得b >a ，b >c .所以1a >1b ，1c >1b ，相加得1a ＋1c >2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，所以假设不成立．因此∠B <π2.『评析』相比直接证明，本题采用反证法，能快速解决问题，可见证题方向的重要性．同时，熟练掌握一些适用面较宽的解题方法，如(三角)换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、坐标法、数形结合法、构造法等，才能在答题时，将好的方法信手拈来．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )．而f (0)，f (1)为奇数，即c 为奇数，a ＋b ＋c 为奇数．则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数．当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．∴f (x )＝0无整数根．。
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9.2 直接证明与间接证明【知识网络】1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点；2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点；3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。
【典型例题】例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+baa b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 答案：C 。
解析：①③④恒成立。
（2）利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k 答案：C 。
（3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解答案：D 。
解析：“否定”必须包括所有的反面情形。
（4）定义运算 ()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为_________________．答案：2。
（5）若c b a >>，*N n ∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。
答案：4。
解析：因c b a >>，*N n ∈，所以c a n c b b a -≥-+-11同解于n cb ca b a c a ≥--+-- 又42≥--+--+=--+-+--+-=--+--cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。
例2：设0,102=+<<y x a ，求证：81log log 2)(+≤+a a a ay x ．答案：证明：因为222222x x y x yx y x aaaa a a -+==≥+，又10<<a ，所以222()(2)2log log log 2x x xya a a aaa x x -+-≤=+=22111log ()228a x --+ 81log 2+≤a .也可以用分析法证明。
例3：若c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
求证：c b a ,,中至少有一个大于0。
答案：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ， 而3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。
例4：是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对一切)*N n ∈成立？证明你的结论。
答案：存在0,41,41=-==c b a ，数学归纳法证明略. 【课内练习】1．已知c b a ,,均大于1，且4log log =⋅cb ca ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） Ab ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 答案：B 。
解析： 41log log =⋅b a c c ，利用基本不等式证得。
2．记凸k 边形的内角和为)(k f ，则)()1(k f k f -+等于 （ ） A2πB πC π23D π2答案： B 。
3．设M 是),,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点，其中m 、n 、p 分别是yx y x P f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=∆∆∆则若的面积的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18答案：：D 。
解析： 由已知得111,22x y x y ++=+=，()1414422518y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．答案：20。
解析：某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次, 运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元,40044x x⋅+≥160,当16004x x =即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.5．已知集合M 是满足下列条件的函数f （x ）的全体：①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的)()()(),,0[,t s f t f s f t s +≤++∞∈都有在三个函数)1ln()(,12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x中，属于集合M 的是 。
答案： )(),(21x f x f 。
解析：根据条件证得。
6．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是__ __。
答案：)12(2+k 。
7．给出下列四个命题： ①若;11,0ba b a >>>则②若b b a a b a 11,0->->>则 ③若;22,0bab a b a b a >++>>则④ba b a b a 12,12,0,0+=+>>则且若的最小值为9. 其中正确．．命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案：②④。
8．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可以被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除。
”那么假设的内容是答案：a,b 中没有一个能被5整除。
解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n-1个”。
9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311。
答案：证明：要证cb ac b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b cb a b ac b a 。
即证1=+++cb ab ac 。
又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+ ∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。
∴B=60°。
由余弦定理，有 60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。
∴222b ac a c +=+成立，命题得证。
10．已知函数))((*N n n f ∈，满足条件：①2)2(=f ；② )()()(y f x f y x f ⋅=⋅； ③ *)(N n f ∈；④当y x >时，有)()(y f x f >.(1) 求)1(f ，)3(f 的值；(2) 由)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式； (3) 证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性.答案：(1)解：∵)1()2()2(f f f ⋅=，又2)2(=f ，∴1)1(=f . 又∵4)2()2()22()4(=⋅=⋅=f f f f 4)4()3()2(2=<<=f f f ，且*)3(N f ∈∴ 3)3(=f .(2)解：由1)1(=f ，2)2(=f ，3)3(=f 猜想)()(*N n n n f ∈= (3)证明：用数学归纳法证明： ①当1=n 时，1)1(=f ，猜想正确；②假设),1(*N k k k n ∈≥=时，猜想正确，即k k f =)( 1°若k 为正奇数，则1+k 为正偶数，21+k 为正整数，1(1)(2)2k f k f ++=⋅ 11()(2)2122k k f f k ++=⋅=⋅=+ 2°若k 为正偶数，则22k +为正整数，22(2)(2)()(2)22k k f k f f f +++=⋅=⋅ 2222k k +=⋅=+，又()(1)(2)2k f k f k f k k =<+<+=+，且*(1)f k N +∈ 所以1)1(+=+k k f即当1+=k n 时，猜想也正确 由①，②可知，)()(*N n n n f ∈=成立.【作业本】A 组1．若110a b<<,则下列结论不正确．．．的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b aa b+> Ｄ．a b a b -=- 答案：D 。
解析：取3,2-=-=b a 代入可得。
2．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立答案：A 。
解析：若n=6成立，则根据假设知n=7成立，与已知矛盾。
3．已知不等式1()()9,ax y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 。
解析：左边=22111),1)9,4y ax a a a x y+++≥++=∴≥≥。
4．用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .答案：3m 与1.5m 。
解析：设长为xm 则宽为2122193,(3)(3)42222x x x S x x -=-∴=⋅-=--+，当x=3时，面积S 有最大值。
5．若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)43(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ）的大小关系是)43(-f )1(2+-a a f .答案：≥。