优化探究2016高考数学一轮复习7_5直线、平面垂直的判定及其性质课时作业文
(全国通用)高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质教师用书 文
第五节直线、平面垂直的判定及其性质————————————————————————————————[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·某某高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图751，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7514[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图752，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图752(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .5分 (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.8分因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1] 如图753所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：PA ⊥CD .图753[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC，得∠ABC ＝30°.3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.12分面面垂直的判定与性质(2017·某某调研)如图754，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图754(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2] 如图755，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N 分别为AB，PA的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.图755[证明](1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.5分(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.10分因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12分平行与垂直的综合问题☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明(2016·某某高考)如图756，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图756[证明](1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2 平行垂直中探索开放问题(2017·某某调研)如图757(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F ⊥CD，如图757(2)所示．(1) (2)图757(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：31222259】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.2分由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用(2016·某某高考)如图758，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图758(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3] 如图759，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．图759(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.5分(2)证明：在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.7分又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.10分又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防X]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．课时分层训练(四十二)直线、平面垂直的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·某某六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥βC[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]2．(2017·某某河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或l⊂β，C不正确．对于D中，l与β的位置关系不确定．]3．如图7510，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )【导学号：31222260】图7510A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]5．如图7511，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )图7511A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]二、填空题6．如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【导学号：31222261】图7512DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如图7513，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．【导学号：31222262】图7513π3[取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中，AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE ＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9.(2015·高考)在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．图7514(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．[解] (1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .3分又因为VB ⊂/平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .5分 (2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .8分(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.9分 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为33.12分 10．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7515②)．①② 图7515(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分又因为F为BC的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，所以OF∥平面ACD.5分(2)存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD.9分又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·某某某某二模)如图7516，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )图7516A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A [由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直， 所以PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ，因为PO ∩PA ＝P ， 所以EF ⊥平面PAO ，所以EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ， 所以O 为△AEF 的垂心．]2．如图7517，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【导学号：31222263】图7517a 或2a [∵B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴CF ⊥B 1D .为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF (或CF ⊥B 1F )． 设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴x ＝a 或x ＝2a .]3．(2016·某某高考)如图7518，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图7518(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .2分 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)5分 (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .8分因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .12分。
高考数学一轮复习 教师备选作业 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质
第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1．给出以下命题，其中错误的是 ( )A．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B．垂直于同一平面的两条直线互相平行C．垂直于同一直线的两个平面互相平行D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( ) A．0个B．1个C．2个D．3个5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是 ( )A．①③B．②④C．①④D．②③6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有( )A ．DP ⊥平面PEFB ．DM ⊥平面PEFC ．PM ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF二、填空题7．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)8．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .三、解答题10.三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，E 为BB 1的中点，∠A 1DE ＝90°，求证：CD ⊥平面A 1ABB 1.11.如图，三棱锥A －BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD .12．如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD ＝CD ＝12AB ，且O 为AB 的中点．(1)求证：BC ∥平面POD ；(2)求证：AC ⊥PD .详解答案一、选择题1．解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．答案：A2．解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B 正确．答案：B3．解析：对于A ，由m ⊂β，α⊥β显然不能得知m ⊥α；对于B ，由条件也不能确定α∥β；对于C ，由m ∥α得，在平面α上必存在直线l ∥m .又m ⊥β，因此l ⊥β，且l ⊂α，故α⊥β；对于D ，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此D 也不正确．答案：C4．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C.答案：C5．解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．答案：C6．解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP.又EP∩FP＝P，∴DP⊥平面PEF.答案：A二、填空题7．解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l ⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD.∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋ 6.答案：2＋ 69．解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得ACA1F＝AFA1D，即2a3a－x＝xa，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.答案：a或2a三、解答题10. 证明：∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴AB ＝2 2.设AD ＝x ，则BD ＝22－x ，∴A 1D 2＝4＋x 2，DE 2＝1＋(22－x )2，A 1E 2＝(22)2＋1.∵∠A 1DE ＝90°，∴A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2.∴x ＝ 2.∴D 为AB 的中点．∴CD ⊥AB .又AA 1⊥CD 且AA 1∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1.11. 解：(1)∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵AE AC ＝AF AD ＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD .∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF .∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD .∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝ 6.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67. ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .12．证明：(1)因为O 为AB 的中点，所以BO ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ，所以四边形ODCB 为平行四边形，所以BC ∥OD ，又DO ⊂平面POD ，BC ⊄平面POD ，所以BC∥平面POD.(2)连接OC.因为CD＝BO＝AO，CD∥AO，所以四边形ADCO为平行四边形，又AD＝CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为△PAB为正三角形，O为AB的中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO＝O，所以AC⊥平面POD.又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD.。
高考数学一轮总温习第七章第5节直线、平面垂直的判定与性质练习
【创新大课堂】（新课标）高考数学一轮总温习第七章第5节直线、平面垂直的判定与性质练习1．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则知足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对[解析] 过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b肯定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b肯定的平面β⊥α.故选D.[答案] D2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不必然存在直线与m平行，不必然存在直线与m垂直C．β内不必然存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不必然存在直线与m垂直[解析] 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不必然在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．[答案] C3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α[解析] 设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.[答案] C4．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F别离是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[解析] 因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B ，C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．[答案] D5．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )[解析] 取正三角形ABC 的中心O ，连接OP ，则∠PAO 是PA 与平面ABC所成的角．因为底面边长为3，所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为×(3)2×32AA 1＝94，解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3，所以tan ∠PAO ＝OP OA＝3，即∠PAO ＝π3. [答案] B6．(2015·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )[解析] 在菱形ABCD 中连接BD 交AC 于O 点，则AC ⊥BD ，在折起后的图中，由四边形ABCD 为菱形且边长为1，则DO ＝OB ＝32，由于DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，因此∠DOB 就是二面角B －AC －D 的平面角，由BD＝1得cos∠DOBOD2＋OB2－DB22OD·OB＝34＋34－12×32×32＝13.[答案] A二、填空题7．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．[解析] ①在正方体A1B1C1D1—ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A 1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线别离表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其肯定的平面为γ，按照a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．[答案] ②③8．(2015·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M知足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你以为是正确的条件即可)[解析] 由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.[答案] DM⊥PC(答案不唯一)9．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F别离是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．[解析] 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．[答案] ①②③三、解答题10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F别离是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是不是存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，肯定点P的位置，若不存在，说明理由．(1)[证明] 连接A1B，则AB1⊥A1B，又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)[证明] 取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.(3)[解] 存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP ∥C 1D ，C 1D ∥AB 1，∴EP ∥AB 1.由(1)知AB 1⊥BF ，∴BF ⊥EP .又由(2)知AE ⊥BF ，且AE ∩EP ＝E ，∴BF ⊥平面AEP .11．(2015·河南洛阳统考)在如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π3，AB ＝CC 1＝2.(1)求证C 1B ⊥平面ABC ；(2)设E 是CC 1的中点，求AE 和平面ABC 1所成角的正弦值的大小．(1)证明 ∵BC ＝1，∠BCC 1＝π3，CC 1＝2，∴BC 1＝3，BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC 1⊥BC .∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴BC 1⊥AB .∵BC ∩AB ＝B ，∴C 1B ⊥平面ABC .(2)解 由AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ⊂平面ABC 1，得平面BCC 1B 1⊥平面ABC 1，过E 作BC 1的垂线交BC 1于F ，则EF ⊥平面ABC 1.连接AF ，则∠EAF 为所求的角．∵BC ⊥BC 1，EF ⊥BC 1，∴BC∥EF .∵E 为C 1C 的中点，∴F 为C 1B 的中点，EF ＝12.又∵AE ＝AB 2＋BE 2＝AB 2＋C 1E 2＝5，∴sin ∠EAF ＝125＝510. 12．(2015·汕头模拟)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P ABCD 的体积．(2)是不是不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．(3)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．[解] (1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23， 即四棱锥P －ABCD 的体积为23. (2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .证明如下：连接AC ，因为ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC .因为PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PC .又因为AC ∩PC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC .因为不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC .所以不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .(3)在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接BF .因为AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2， AE ＝AE ＝3，所以Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，所以BF ⊥AE .所以∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角．在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63， 所以BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12， 所以∠DFB ＝2π3， 即二面角D －AE －B 的大小为2π3.。
高三数学一轮复习课时作业12：直线、平面垂直的判定与性质
§8.5直线、平面垂直的判定与性质1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直答案 D解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误．D正确．2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案 B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理，知选项C，D正确．3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案 A解析选项A，∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交；选项D，∵α∥β，l⊂α，m⊂β，此时，l与m的位置关系不确定．故选A.4．(2017·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β答案 C解析对于选项A，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m 与β相交或m⊂β，故D不成立．故选C.5．(2018·衡水调研)如图，在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC答案 D解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．6.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．7.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案 4解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，得BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．8．(2018·洛阳模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵P A⊥底面ABCD，∴BD⊥P A，连接AC，则BD⊥AC，且P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC ＝C，∴AB ⊥平面P AC ，∴与AP 垂直的直线是AB .10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为______．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.11．(2018届“超级全能生”全国联考)如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ＝2，AD ＝DC＝CB ＝1，将△ADC 沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接DE ，DB (如图2)．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求点E 到平面BCD 的距离． (1)证明 作CH ⊥AB 于点H ， 则BH ＝12，AH ＝32，又BC ＝1，∴CH ＝32， ∴CA ＝3，∴AC ⊥BC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥AD .(2)解 ∵E 为AB 的中点，∴点E 到平面BCD 的距离等于点A 到平面BCD 距离的一半． 而平面ADC ⊥平面BCD ，∴过A 作AQ ⊥CD 于Q ， 又∵平面ADC ∩平面BCD ＝CD ，且AQ ⊂平面ADC ， ∴AQ ⊥平面BCD ，AQ 就是点A 到平面BCD 的距离． 由(1)知AC ＝3，AD ＝DC ＝1， ∴cos ∠ADC ＝12＋12－(3)22×1×1＝－12，又0<∠ADC <π，∴∠ADC ＝2π3， ∴在Rt △QAD 中，∠QDA ＝π3，AD ＝1，∴AQ ＝AD ·sin ∠QDA ＝1×32＝32. ∴点E 到平面BCD 的距离为34. 12.(2017·湖北七市联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM —DCP 与刍童ABCD —A 1B 1C 1D 1的组合体中，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1.台体体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S＋S )h ，其中S ′，S 分别为台体上、下底面的面积，h 为台体的高．(1)证明：BD ⊥平面MAC ；(2)若AB ＝1，A 1D 1＝2，MA ＝3，三棱锥A —A 1B 1D 1的体积V ′＝233，求该组合体的体积．(1)证明 由题意可知ABM —DCP 是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD ⊥平面MAB ，∴AD ⊥MA ，又MA ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴MA ⊥平面ABCD ，∴MA ⊥BD .又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又MA ∩AC ＝A ，MA ，AC ⊂平面MAC ， ∴BD ⊥平面MAC .(2)解 设刍童ABCD —A 1B 1C 1D 1的高为h ，则三棱锥A —A 1B 1D 1的体积V ′＝13×12×2×2×h＝233， ∴h ＝3，故该组合体的体积V ＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736.13．(2018届南宁市联考)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .下列说法错误的是________．(填序号)①AG ⊥△EFH 所在平面；②AH ⊥△EFH 所在平面；③HF ⊥△AEF 所在平面；④HG ⊥△AEF 所在平面．答案①③④解析折之前AG⊥EF，CG⊥EF，折之后也垂直，所以EF⊥平面AHG，折之前∠B，∠D，∠C均为直角，折之后三点重合，所以折之后AH，EH，FH三条直线两两垂直，所以AH⊥△EFH 所在平面，②对；同时可知AH⊥HG，又HF⊥△AEH所在平面，过AE不可能做两个平面与直线HF垂直，③错；如果HG⊥△AEF所在平面，则有HG⊥AG，与②中AH⊥HG矛盾，④错；若AG⊥△EFH所在平面，则有AG⊥HG，与②中AH⊥HG矛盾，所以①也错．14.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A 在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．15.(2017·兰州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.答案①②④解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．16.(2018·泉州模拟)点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A—D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．答案 ①②④解析 连接BD 交AC 于点O ，连接DC 1交D 1C 于点O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P —AD 1C 的体积不变． 又因为11P AD C A D PC V V --=三棱锥三棱锥，所以①正确； 因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， 所以A 1P ∥平面ACD 1，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， 所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．。
高考数学(理)一轮复习文档 第七章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含答案
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质)1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角αl β或二面角P AB Q ．②二面角的平面角如图，过二面角αl β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角αl β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．1．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解． 2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥nC 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .2.教材习题改编线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°C 如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角．3．(2017·邢台摸底考试)已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β且m ⊥αB ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥βC 依题意，对于A ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项A 不正确；对于B ，注意到直线m 可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B 不正确；对于C ，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C 正确；对于D ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项D 不正确．综上所述，选C.4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)若α⊥β，因为α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，且a ，m 共面，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，所以不能推出α⊥β.充分不必要5.教材习题改编P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC ，其中正确的个数是________．如图所示．因为PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， 所以PA ⊥平面PBC . 又因为BC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥BC .同理，PB ⊥AC ，PC ⊥AB ．但AB 不垂直于BC .3线面垂直的判定与性质(高频考点)直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下两个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直．(2016·高考浙江卷)如图，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD．(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.角度一 证明线面垂直1.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED ． 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED ．(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.角度二 证明线线垂直2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .(1)在四棱锥P ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AB ． 又因为AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD ． 又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .面面垂直的判定与性质(2016·高考四川卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD ． 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ． 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD ．(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC ，FD ，形成如图所示的多面体，且AC ＝ 6.证明：平面ABEF ⊥平面BCDE .在正六边形ABCDEF 中，连接AC ，BE ，交点为G ，易知AC ⊥BE ，且AG ＝CG ＝3，在多面体中，由AC ＝6，知AG 2＋CG 2＝AC 2，故AG ⊥GC ，又GC ∩BE ＝G ，GC ，BE ⊂平面BCDE ， 故AG ⊥平面BCDE ，又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE .2.(2017·云南省第一次统一检测)如图，四棱锥P ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面PAM 的距离．(1)证明：法一：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC ， 依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD ．法二：连接AC ，AM ，DM ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 又M 为PC 的中点，所以AM ⊥PC ，DM ⊥PC ， 又AM ∩DM ＝M ，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ， 所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC ⊥AD ．(2)由题意可知，点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由(1)可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ADC 的高． 在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△PAC 中，PA ＝AC ＝2，PC ＝6，边PC 上的高AM ＝PA 2－PM 2＝102， 所以S △PAC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D PAC ＝V P ACD 得 13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ， 又S △ACD ＝34×22＝3， 所以13×152·h ＝13×3×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.空间位置关系的综合应用(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解】(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .)——立体几何中的翻折问题(本题满分12分)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．(1)(2)(1)证明：在题图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .(2分)即在题图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，(3分) 从而BE ⊥平面A 1OC .(4分)又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(6分) (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE .即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．(9分) 由题图(1)知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，(10分) 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.(12分)解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．1．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a 与平面M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．2.如图，O 为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1D 由题易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ．又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1C 1⊥B 1O .3．(2017·九江模拟)如图，在三棱锥D ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDEC 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.4．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥βD 对于A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如图(1)，α，β不垂直；对于B ，l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定；对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5．(2017·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，PA ＝3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点，设PEED＝m ，则“0<m <2”是“三棱锥C ABE 的体积不小于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 过E 点作EH ⊥AD ，H 为垂足，则EH ⊥平面ABCD ．因为VC ABE ＝V E ABC ，所以三棱锥C ABE 的体积为23EH .若三棱锥C ABE 的体积不小于1，则EH ≥32，又PA ＝3，所以PE ED＝m ≤1，故选B ．6.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 1的斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.7.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.278.如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两垂直，且BC ＝CD ＝1.直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，则线段AB 的长度为________．如图，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DH .因为CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ，所以BH ⊥平面ACD ． 所以∠BDH 为直线BD 与平面ACD 所成的角． 所以∠BDH ＝30°， 在Rt △BDH 中，BD ＝2， 所以BH ＝22. 又因为在Rt △BHC 中，BC ＝1，所以∠BCH ＝45°. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1. 19．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．②③④10．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．②③11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ， 所以BD ⊥平面SAC .12．(2017·南昌市第一次模拟测试)如图，四棱锥S ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB ．(1)证明：MN ∥平面ABCD ； (2)证明：DE ⊥平面SBC .(1)连接AC ，因为M ，N 分别为SA ，SC 的中点，所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．所以MN ∥平面ABCD ．(2)连接BD ，因为BD 2＝12＋12＝2，BC 2＝12＋(2－1)2＝2，BD 2＋BC 2＝2＋2＝4＝DC 2，所以DB ⊥BC ，又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以SD ⊥BC ，因为SD ∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面SDB ， 因为DE ⊂平面SDB ，所以BC ⊥DE ， 又SB ＝SD 2＋DB 2＝4＋2＝6， 当SE ＝2EB 时，EB ＝63， 在△EBD 与△DBS 中，EB BD＝632＝33，DB BS ＝26＝33， 所以EB BD ＝DBBS，又∠EBD ＝∠DBS ，所以△EBD ∽△DBS ， 所以∠DEB ＝∠SDB ＝90°，即DE ⊥SB ， 因为SB ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面SBC .13．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是( )A．①③B．②③C．②④D．③④B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．14.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥AD1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1.所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥PAD1C的体积不变．又VPAD1C＝VAD1PC，所以①正确．连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；连接B1D，由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C，DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．①②④15．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．(2)证明：如图，连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD．由(1)知，BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB．因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB．(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB．因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD．又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．。
优化探究高考数学一轮复习第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质课时作业理新人教A版
【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( ) A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA ⊥BC ，PA ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥PA ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA ＝PB ＝PC ；③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152； ④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23. 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若PA ⊥平面ABC ，则PA ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知PA ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt△ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)求四棱锥P BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝45°，DC ＝1，AB ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1.(1)求证：AB ∥平面PCD ；(2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD 的体积．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC .(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠EBC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .(3)∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 的距离的一半．∴V M ACD ＝13S △ACD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×12＝112. B 组 高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一个平面 解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2.按图(2)折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M CDE 的体积．解：(1)证明：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ，∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝12， ∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34，∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38， MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62， ∴V M CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13·38·62＝216. 3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ；(2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ，又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ，∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC .又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ，PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC .又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD .(3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P ADC 的高．∵PH ＝PD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD 2＝42－32＝7，S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9， ∴V P ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ，又∵AD ∥BC ，∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6. 设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C PDA ＝V P ADC ，∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝3713·S △PDA ＝3713×6＝372.。
高考数学(文)一轮复习 7-5a直线、平面垂直的判定及性质模拟演练·提能增分
高考一轮总复习 ·数学（文）
13．[2017·温州十校联考] 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱长为 2，AC＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点， AB1，DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长 1 为___2_____．
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解 (1)证明：∵长方形 ABCD 中，AB＝2 2，AD＝ 2， M 为 DC 的中点，
∴AM＝BM＝2，∴AB2＝AM2＋BM2∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM＝ AM，BM⊂平面 ABCM， ∴BM⊥平面 ADM. ∵AD⊂平面 ADM，∴AD⊥BM. (2)当 E 为 DB 的中点时，VE－ADM＝12VB－ADM＝12VD－ABM ＝12×23VD－ABCM＝13VD－ABCM， ∴E 为 DB 的中点．
解析 对于 C 项，由 α∥β，a⊂α 可得 a∥β，又 b⊥β， 得 a⊥b，故选 C.
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12．如图，在三棱锥 A－BCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，
AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，且 BD＝DC＝ 2.给出下面四个 命题：
①AD⊥BC；②三棱锥 A－BCD 的体积为 22；③CD⊥平 面 ABD；④平面 ABC⊥平面 ACD.其中正确命题的序号是
在 Rt△DB1E 中，B1E＝
222－
32
3
＝
6 6.
由面积相等得 6× 6
x2＋
222＝
22x，得
x＝12，
即线段 B1F 的长为12.
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高考一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质
第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。
高考数学一轮复习 75 直线、平面垂直的判定及其性质课
【优化探究】2016高考数学一轮复习 7-5 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 文一、选择题1．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，有一个截面使该正方体的所有棱与它所成的角均为θ，则sin θ＝( ) A.12 B.22C.33 D.64解析：由题意知，截面A1BD 满足题意，过点A 作截面A1BD 的垂线，垂足为H ，则sin θ＝AH AD ＝33，故选C. 答案：C2.(2014年大连模拟)如图所示，O 为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B1O 垂直的是( )A ．A1DB ．AA1C ．A1D1D ．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B ，又OB1⊂面DD1B1B ，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：∵b ⊥β，α∥β，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a.故选C. 答案：C4．(2014年玉溪检测)设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，且m ⊂α，n ⊂β，有命题p：若m∥n，则α∥β，q：若m⊥β，则α⊥β，那么()A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“非p或q”是假命题D．“非p且q”是真命题解析：由题可知，p为假命题，q为真命题，所以D正确，故选D.答案：D5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：①错，当两个平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行；②正确，不妨过直线m作一个平面与α，β同时相交，交线分别为a，b，由α∥β知a∥b，又m∥α，∴m ∥a，∴m∥b，又m⊄β，∴m∥β.③错，不妨设该直线为正方体的两条体对角线，其在底面的射影为正方形的两条对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两条体对角线不垂直；④错，m，n也可以不垂直，故选B.答案：B二、填空题6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF.其中能成为增加条件的是________(把你认为正确的条件序号都填上)．解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF，故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③7．(2014年临川联考)在正三棱柱ABC -A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．解析：由题意知，点A到平面A1BC的距离即为三棱锥A -A1BC的顶点A到底面的距离，设为h，由V A -A1BC＝V A1 -ABC，得h＝3 2.答案：3 28.在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点，则平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为________．解析：由题易证，BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC，又BP＝BC，F为PC的中点，∴BF⊥PC，∴PC⊥平面BEF.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又底面为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面BAP.∴直线PC与BC的夹角为平面BEF与平面BAP的夹角．在△PBC中，∠PBC＝90°，BC＝PB＝22，∴∠PCB＝45°，即所求二面角为45°.答案：45°三、解答题9.如图，已知四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC ＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M -ACD的体积．解析：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt △BEC 中，∠ABC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2， 在Rt △ACE 中，AC ＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC ⊥AC.又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥PA ，而PA∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC. (3)∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 的距离的一半． ∴VM -ACD ＝13S △ACD×⎝⎛⎭⎫12PA ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112. 10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝4，BD ＝43，AB ＝2CD ＝8.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)当点M 位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ； (3)求四棱锥P -ABCD 的体积．解析：(1)证明：在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝43，AB ＝8，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD ⊥BD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD. 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD.(2)当点M 位于线段PC 靠近点C 的三等分点处时，PA ∥平面MBD. 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN. ∵AB ∥DC ，AB ＝2CD ，∴四边形ABCD 是梯形， CN ∶NA ＝1∶2.又∵CM ∶MP ＝1∶2，∴CN ∶NA ＝CM ∶MP ，∴PA ∥MN ，∵MN ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴PA ∥平面MBD. (3)过点P 作PO ⊥AD 于O ， 则PO ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD. 则PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝4×32＝2 3. 在Rt △ADB 中，斜边AB 上的高为4×438＝23，此即为梯形ABCD 的高．∴S 梯形ABCD ＝4＋82×23＝12 3.∴VP -ABCD ＝13×123×23＝24.B 组 高考题型专练 1．(2014年高考辽宁卷)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：A中，m，n可平行，可相交，也可异面；C中，可有n⊂α；D中，n与α位置不确定，B正确．答案：B2．(2014年高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则() A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A、B、D中还可能出现m⊂α或m∥α.答案：C3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.答案：C4．(2014年高考辽宁卷)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．解析：(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC.因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 的延长线于O ， 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC.又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以VD -BCG ＝VG -BCD ＝13×S △DBC ×h ＝13×12BD ×BC ×sin 120°×32＝12. 5．(2014年高考福建卷)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD.(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．解析：解法一 (1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ，AB∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD.(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD.∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝VC -ABM ＝13S △ABM·h ＝112.解法二 (1)同解法一．(2)由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1， ∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝V A -BCD －VM -BCD ＝13AB·S △BCD －13MN·S △BCD ＝112.。
数学一轮复习第七章第5讲直线平面垂直的判定与性质课时作业含解析
第5讲直线、平面垂直的判定与性质组基础关1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l,点A∈α,A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l ⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．（2019·武汉模拟)已知两个平面相互垂直，下列命题:①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析由题意，对于①，当两个平面垂直时,一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β＝m，n⊂α,l⊂β，∵平面α⊥平面β,∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直,故一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④,当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面,这是面面垂直的性质定理，故④正确．3. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案D解析选项A，B，C显然错误．∵PA⊥平面ABC,∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝错误!＝错误!＝1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°。
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【优化探究】2016高考数学一轮复习 7-5 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 文一、选择题1．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，有一个截面使该正方体的所有棱与它所成的角均为θ，则sin θ＝( )A.12B.22C.33D.64解析：由题意知，截面A1BD 满足题意，过点A 作截面A1BD 的垂线，垂足为H ，则sin θ＝AH AD ＝33，故选C. 答案：C2.(2014年大连模拟)如图所示，O 为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B1O 垂直的是( )A ．A1DB ．AA1C ．A1D1D ．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B ，又OB1⊂面DD1B1B ，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：∵b ⊥β，α∥β，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a.故选C.答案：C4．(2014年玉溪检测)设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，且m ⊂α，n ⊂β，有命题p ：若m ∥n ，则α∥β，q ：若m ⊥β，则α⊥β，那么( )A ．“p 或q”是假命题B ．“p 且q”是真命题C ．“非p 或q”是假命题D ．“非p 且q”是真命题解析：由题可知，p 为假命题，q 为真命题，所以D 正确，故选D.答案：D5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：①错，当两个平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行；②正确，不妨过直线m作一个平面与α，β同时相交，交线分别为a，b，由α∥β知a∥b，又m∥α，∴m ∥a，∴m∥b，又m⊄β，∴m∥β.③错，不妨设该直线为正方体的两条体对角线，其在底面的射影为正方形的两条对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两条体对角线不垂直；④错，m，n也可以不垂直，故选B.答案：B二、填空题6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF.其中能成为增加条件的是________(把你认为正确的条件序号都填上)．解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF，故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③7．(2014年临川联考)在正三棱柱ABC -A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．解析：由题意知，点A到平面A1BC的距离即为三棱锥A -A1BC的顶点A到底面的距离，设为h，由V A -A1BC＝V A1 -ABC，得h＝3 2.答案：3 28.在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点，则平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为________．解析：由题易证，BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC，又BP＝BC，F为PC的中点，∴BF⊥PC，∴PC⊥平面BEF.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又底面为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面BAP.∴直线PC与BC的夹角为平面BEF与平面BAP的夹角．在△PBC中，∠PBC＝90°，BC＝PB＝22，∴∠PCB＝45°，即所求二面角为45°.答案：45°三、解答题9.如图，已知四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC ＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB ∥平面PCD ；(2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M -ACD 的体积．解析：(1)证明：∵AB ∥CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形． ∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠ABC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，在Rt △ACE 中，AC ＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC ⊥AC.又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，而PA∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC.(3)∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 的距离的一半．∴VM -ACD ＝13S △ACD×⎝⎛⎭⎫12PA ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112. 10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝4，BD ＝43，AB ＝2CD ＝8.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；(2)当点M 位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ；(3)求四棱锥P -ABCD 的体积．解析：(1)证明：在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝43，AB ＝8，∴AD2＋BD2＝AB2. ∴AD ⊥BD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD.又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD.(2)当点M 位于线段PC 靠近点C 的三等分点处时，PA ∥平面MBD.证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN.∵AB ∥DC ，AB ＝2CD ，∴四边形ABCD 是梯形，CN ∶NA ＝1∶2.又∵CM ∶MP ＝1∶2，∴CN ∶NA ＝CM ∶MP ，∴PA ∥MN ，∵MN ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴PA ∥平面MBD.(3)过点P 作PO ⊥AD 于O ，则PO ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD.则PO 为四棱锥P -ABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝4×32＝2 3. 在Rt △ADB 中，斜边AB 上的高为4×438＝23，此即为梯形ABCD 的高． ∴S 梯形ABCD ＝4＋82×23＝12 3. ∴VP -ABCD ＝13×123×23＝24.B 组 高考题型专练1．(2014年高考辽宁卷)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：A 中，m ，n 可平行，可相交，也可异面；C 中，可有n ⊂α；D 中，n 与α位置不确定，B 正确．答案：B2．(2014年高考浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：A 、B 、D 中还可能出现m ⊂α或m ∥α.答案：C3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β解析：A 项，当m ∥α，n ∥α时，m ，n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B 项，当m ∥α，m ∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C 项，当m ∥n ，m ⊥α时，n ⊥α，故正确；D 项，当m ∥α，α⊥β时，m 可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.答案：C4．(2014年高考辽宁卷)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．解析：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC.因此AC ＝DC.又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD.同理BG ⊥AD ，因此AD ⊥平面BGC.又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC.又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以VD -BCG ＝VG -BCD ＝13×S △DBC ×h ＝13×12BD ×BC ×sin 120°×32＝12. 5．(2014年高考福建卷)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD.(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 解析：解法一 (1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ，AB∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD.(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD.∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝VC -ABM ＝13S △ABM·h ＝112.解法二 (1)同解法一．(2)由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝V A -BCD －VM -BCD ＝13AB·S △BCD －13MN·S △BCD ＝112.。