专题1.3 等式与不等式(原卷版)
专题1.3 根的判别式【十大题型】(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题1.3 根的判别式【十大题型】【苏科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程x2+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m 为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（ ）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x82≤x+6 3x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x +kb +1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y =kx +b 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x 的一元二次方程ax 2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x 的分式方程x x−4+a 24−x =2的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a ，b 2ab b =449，则a +b 的值为（ ）A ．4B ．10C ．12D ．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2−2bx +(a−c )=0，其中分别a 、b 、c 是△ABC 的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状；(2)若△ABC 是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程x 2−(2k +1)x +k 2+k =0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，①若k =3时，请判断△ABC 的形状并说明理由；②若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x 的方程x 2−(m +1)x +2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x =3时，求m 的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5) x+5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m2−1=0的两个实数根．4(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5) x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．x2−mx+2m−1=0的两个根是【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程14平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤9且k≠04时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2 +bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程(x+2)(x−3)=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是．【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（）A．①②B．③④C．①②③④D．①②④【题型10关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=a2−ab(a≤b)b2−ab(a>b)，关于x的方程(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是．【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例的根的情况为（）如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=b−c B．a=b C．b=c D．a=c【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是．。
等式与不等式的性质(原卷版)
等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示 如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0， 反之亦然a >b ⇔a －b >0 a <b ⇔a －b <0 a ＝b ⇔a －b ＝0[1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 题型二：作差法比较数（式）大小 题型三：利用不等式的性质证明不等式 【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a <B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c <<D ．c b a <<4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b a a b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a <D ．2ab a >10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（ ） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．ab a b >-B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >D ．1ab b>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>题型二：作差法比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．2a b ab +>C ．22lg lg a b >D ．33a b >3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（ ） 注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log 0a b <B ．11a b b a->- C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b ab+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b >B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．4222m n --+>D ．()3log 1m n +>4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n >D ．log log m n n m <题型三：利用不等式的性质证明不等式 一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac +的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞二、多选题1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（ ） A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y <D ．11x y> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（ ） A ．若221a b -=，则1a b -<；B ．若111b a -=，则1a b -<；C 1a b =，则1a b -<；D ．若331a b -=，则1a b -<.4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ） A ．2a b +≤B ．1222a b -<< C ．221log log 2a b -D ．221a b ->-。
第3讲 等式与不等式(原卷版)
第3讲 等式与不等式一、基础知识1.等式的性质(1)如果a=b ,则对任意c ,都有 或 .(2)如果a=b ,则对任意不为零的c ,都有 或 . 2.不等式的性质性质1:如果a>b ,那么 .(加法法则)性质2:如果a>b ,c>0,那么 .(乘法法则)性质3:如果a>b ,c<0,那么 .(可乘性)性质4:如果a>b ,b>c ,那么 .(不等式的传递性)性质5:a>b ⇔b<a.推论1:如果a+b>c ,那么 .(移项法则)推论2:如果a>b ,c>d ,那么 .(同向可加性)推广:有限个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向. 推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么 .(正数的同向可乘性)推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向. 推论4:如果a>b>0,那么a n >b n(n ∈N,n>1).(乘方法则)推论5:如果a>b>0,那么 .(开方法则)3.两个实数比较大小的方法(1)作差法{a -b >0⇔a b,a -b =0⇔a b,a -b <0⇔a b. (2)作商法{ a b >1(a ∈R,b >0)⇔a b(a ∈R,b >0),a b =1⇔a b(a,b ≠0),a b<1(a ∈R,b >0)⇔a b(a ∈R,b >0). 4.证明不等式的常用方法证明不等式的方法定义 作差法通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法 综合法 利用已知条件和已证明的不等式等,借助不等式的性质和有关定理,经过推理,得到所要证明的结论反证法首先假设命题结论不成立,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证分析法从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立二、常用结论1.大减小,小减大,大的更大,小的更小,即a<x<b ,c<y<d ⇒a-d<x-y<b-c.2.已知a ,b ,m 都是正数,且a>b ,则(1)b -m a -m <b a <b+m a+m (b-m>0),即真分数越加越大,越减越小; (2)a+m b+m <a b <a -mb -m (b-m>0),即假分数越加越小,越减越大. 三、分类训练探究点一 不等式的性质例1 (1)[2020·韩城模拟] 若b<a<0,则下列不等式不成立的是 ( )A .1a <1bB .ab>a 2C .|a|+|b|>|a+b|D .√a 3>√b 3 (2)(多选题)[2020·长沙期末] 设a ,b 为正实数,则下列说法中正确的是 ( ) A .若a 2-b 2=1,则a-b<1B .若1b -1a =1,则a-b<1C .若|√a -√b |=1,则|a-b|<1D .若|a 3-b 3|=1,则|a-b|<1[总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法:(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;(2)利用特殊值法排除错误答案;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.变式题 (1)[2020·吉林梅河口期末] 设a>b,c<0,则下列结论中正确的是()A.ca <cbB.1ac>1bcC.|a|c<|b|cD.ac2>bc2(2)(多选题)[2020·徐州一中月考] 下列四个选项中能推出1a <1b的有 ()A.b>0>aB.0>a>bC.a>0>bD.a>b>0探究点二比较几个数(式)的大小例2 (1)已知a>b>c>1,设M=a-√c,N=a-√b,P=2a+b2-√ab,则M,N,P的大小关系为()A.P>N>MB.N>M>PC.M>N>PD.P>M>N(2)(多选题)设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()A.|a|>|b|B.a2+a<b2+bC.|a-b|+1a-b≥2D.√a+3-√a+1≤√a+2-√a[总结反思] (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、单调性法、中间量法、特殊值法、综合法、分析法、反证法等.(2)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论.变式题 (1)设13<13b <13a <1,则 ( )A .a a <a b <b aB .a a <b a <a bC .a b <a a <b aD .a b <b a <a a(2)已知a>0且a ≠1,P=log a (a 3+1),Q=log a (a 2+1),则P 与Q 的大小关系为 . 探究点三 不等式的综合问题角度1 不等式在实际问题中的应用例3 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .[总结反思] 解决有关不等关系的实际问题时,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.变式题 [2020·广东六校联盟四联] 元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大于8元,而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为A 元,购买3枝康乃馨所需费用为B 元,则A ,B 的大小关系是 ( ) A .A>BB .A<BC .A=BD .不确定角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例4 已知三个正数a ,b ,c 满足a ≤b+c ≤2a ,b ≤a+c ≤2b ,则b a 的取值范围是 ( ) A .23,32 B .32,+∞D .[1,2][总结反思] 运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.变式题 (1)已知1≤a+b ≤4,-1≤a-b ≤2,则4a-2b 的取值范围是 ( )A .[-4,10]B .[-3,6]C .[-2,14]D .[-2,10](2)若-π2≤α<β≤π2,则α+β2的取值范围是 ,α-β2的取值范围是 .四、同步作业1.已知M=2a (a-2),N=(a+1)(a-3),则M ,N 的大小关系是 ( )A .M>NB .M ≥NC .M<ND .M ≤N2.对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3.若[x-2]=-1,则x 的取值范围为( ) A .0<x ≤1B .0≤x<1C .1<x ≤2D .1≤x<23.[2020·赤峰模拟] 若a>b ,则下列不等式中恒成立的是 ( )A .1a -b >1bB .a>|b|C .a|a|>b|b|D .a 2>ab 4.[2020·西安二模] 已知a ,b 为非零实数,且a<0<b ,则下列不等式中恒成立的是 ( )B.1ab2<1 a2bC.a2b<ab2D.ba <a b5.(多选题)[2020·山东、海南高三联考] 对于实数a,b,c,下列说法正确的是()A.若a>b,则1a <1 bB.若a>b,则ac2≥bc2C.若a>0>b,则a2<-abD.若c>a>b>0,则ac-a >b c-b6.已知2<x<4,-3<y<-1,则xx-2y的取值范围是.7.[2020·天水二模] 已知实数a>b>0,m∈R,则下列不等式中恒成立的是()A.b+ma+m >b aB.12a<12bC.ma >m bD.a-2>b-28.设a,b,c∈R,且a>1,b>c,则()A.b2>c2B.log a|b|>log a|c|C.a b>a cD.ab <ac(bc≠0)9.下列不等式恒成立的是()A.x2+1x2≥x+1xB.|x-y|+1x-y≥2C.x+y<xyD.√x+3-√x+1≥√x+2-√x10.已知2a=3·2b-1,c-b=lo g12(x2+2x+3),则实数a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b11.设a=log0.12,b=log302,则()A.4ab>2(a+b)>3abB.4ab<2(a+b)<3abC.2ab<3(a+b)<4abD.2ab>3(a+b)>4ab12.(多选题)若-1<1a <1b<0,则()A.1a+b <1 abB.ln a2>ln b2C.a-1a >b-1bD.1a +1b>-113.(多选题)[2020·山东泰安模拟] 已知a>b>0,且a+b=2,则下列说法中正确的是 ()A.ln (a-b)>0B.∃x∈R,x2+2√b x+a≤0C.a b>b aD.21+a+b <a1+a+b1+b14.已知a>b,给出下列不等式:①1a <1b;②a3>b3;③√a2>√b2;④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是.15.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·12y的取值范围是()A.[2,28]B.1,282,27C.[2,27]D.1216.已知a,b,c为正实数,且a2+b2=c2,当n∈N,n>2时,c n与a n+b n的大小关系为.(用“>”连接)。
七年级初一下学期数学 专题13 不等式有关概念及性质(专题测试) (原卷版)
专题13不等式有关概念及性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共6小题，每题6分，共计36分）1．（2017春•金牛区校级月考）式子：①20>；②41x y +…；③30x +=；④7y -；⑤ 2.53m ->．其中不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2016春•灌云县期末）2015年2月1日宿迁市最高气温是8C ︒，最低气温是2C ︒-，则 当天宿迁市气温变化范围(C)t ︒是( )A ．8t >B ．2t <C ．28t -<<D ．28t -剟3．（2019秋•玄武区期中）小东去批发市场购买了甲糖果20斤，价格为每斤x 元；又购买了乙糖果10斤，价格为每斤y 元．后来，他以每斤2x y +元全部卖出后，发现自己赔钱了．则下列判断正确的是( ) A ．x y =B ．x y >C ．x y <D ．x 、y 的大小关系不确定4．（2019秋•江阴市校级月考）若a b >，则下列各不等式中不成立的是( )A ．11a b -<-B ．1188a b >C ．88a b -<-D ．11a b --<--5．（2019春•和田地区期末）若a b >，则下列各式中一定成立的是( )A ．22a b +>+B ．ac bc <C ．22a b ->-D ．33a b ->-6．（2019•梅州模拟）如果a b >、0c <，那么下列不等式成立的是( )A ．c a c b ->-B ．a c b c +>+C ．ac bc >D ．a b c c >二、填空题（共8小题，每小题6分，共计48分）7．（2009秋•工业园区期末）据苏州日报报道，2010年1月11日苏州市的最高气温是5C ︒．最低气温是2C ︒-，当天苏州市的气温(C)t ︒的变化范围用不等式表示为 ．8．（2019春•铜山区期末）将数轴上x 的范围用不等式表示： ．9．（2019春•大丰区期末）2 不等式2(1)53x x -+>的解．（填“是”或“不是”)10．（2019•海陵区校级三模）若1a >，则2019a + 2018a +．（填“>”或“<”)11．若不等式(3)1a x ->的解集为13x a <-，则a 的取值范围是 ． 12．（2019春•巴中期中）如果不等式(1)1a x a +<+的解集为1x >，那么a 必须满足 ．13．（2019•城步县模拟）若关于x 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为 ．14．（2019春•高新区期中）若a b <，则2ac 2bc ．三、解答题（共2小题，每小题8分，共计16分）15．用等号或不等号填空：（1）比较2x 与21x +的大小：当2x =时，2x ______21x +当1x =时，2x ______21x +当1x =-时，2x ______21x +（2）任选取几个x 的值，计算并比较2x 与21x +的大小；（3）无论x 取什么值，2x 与21x +总有这样的大小关系吗？试说明理由．16．用等号或不等号填空：（1）比较4m 与24m +的大小当3m =时，4m ____24m +当2m =时，4m ____24m +当3m =-时，4m ____24m +（2）无论取什么值，4m 与24m +总有这样的大小关系吗？试说明理由．（3）比较22x +与2246x x ++的大小关系，并说明理由．（4）比较23x +与37x --的大小关系．。
专题03 均值不等式及不等式综合(原卷版)备考2025高考数学一轮知识清单
专题03均值不等式及不等式综合目录题型一：公式直接用............................................................................................................................................................1题型二：公式成立条件........................................................................................................................................................2题型三：对勾型凑配............................................................................................................................................................3题型四：“1”的代换：基础代换型..................................................................................................................................4题型五：“1”的代换：有和有积无常数型......................................................................................................................4题型六：“1”的代换：有和有积有常数型......................................................................................................................5题型七：分母构造型：分母和定无条件型........................................................................................................................5题型八：分母构造型：分离型型........................................................................................................................................6题型九：分母构造型：一个分母构造型............................................................................................................................7题型十：分母构造型：两个分母构造型............................................................................................................................7题型十一：分离常数构造型................................................................................................................................................8题型十二：换元构造型........................................................................................................................................................9题型十三：分母拆解凑配型................................................................................................................................................9题型十四：万能“K ”型...................................................................................................................................................10题型十五：均值不等式应用比大小..................................................................................................................................11题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型..................................................................................................................11题型十七：因式分解型......................................................................................................................................................12题型十八：三元型不等式.. (13)基本不等式：ab ≤a ＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .(3)基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤a ＋b22，常用于求积的最大值；1A ．12B ．22a b +C ．a D ．2ab2．（22-23高三·全国·课后作业）若0,0a b >>，则下列不等式中不成立的是（）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．2221()2a b a b +≥+D ．111()a b a b a b +<≠-3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设0x >，0y >，且9xy =，则x y +的最小值为（）A ．18B ．9C ．6D ．34．（23-24高一下·河南·开学考试）设1,0a b ><，则（）A ．222a b ab +B ．a b ab +>C ．1ab <-D ．b ab<5．（2024·重庆·模拟预测）设,0x y >且21x y +=，则22log log 2x y +的最大值为题型二：公式成立条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（）A ．2y x x=+B ．22e e x x y -=+C ．1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭D ．2y =2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设0a >，0b >，则“62a b+≥”是6≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R 且0x ≠，则12x x+≥D ．若1a >，则()1116a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（）A ．函数4(0)y x xx =+<的最大值是4-B ．函数2y =2C ．函数16(2)2y x x x =+>-+的最小值是6D ．若4x y +=，则22x y +的最小值是86．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（）A ．当,R a b ∈时，222a bab +≤B ．若0x >，则函数()24f x xx=+的最小值等于C ．若221x y +=，则x y +的取值范围是(],2-∞-D )63a -≤≤的最大值是92题型三：对勾型凑配1.对勾型结构：1,bt at t t++容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin θθθ+，其中锐角，22155x x +++2.对勾添加常数型对于形如1+cx d ax b ++，则把cx d +转化为分母的线性关系：()1++c cax b d a ax b a++-可消去。
不等式的基本性质(原卷版)
3.1 不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=．对于任意实数a 、b ，a b >，a b =，a b <三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：（1）对称性：a b b a >⇔< （2）传递性：, a b b c a c >>⇒>（3）可加性：a b a c b c >⇔+>+（c ∈R ） （4）可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩运算性质有：（1）可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+ （2）可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅> 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=． 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．①1aa b b>⇔>； ②1aa b b<⇔<；③1aa b b=⇔=． 中间量法：若a b >且b c >，则a c >（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系 题型二：作差法比较两数（式）的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2022·湖南·怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）． A ．300a ≤ B ．300a ≥ C ．300a > D ．300a <例2．（2022·全国·高一专题练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1．2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0．8元．设该医院每月所需口罩()n n *∈N 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A ．800n > B ．5000n >C ．800n <D ．5000n <例3．（2022·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来（ ）A ．()2212a b ab +> B ．()2212a b ab +< C ．()2212a b ab +≥ D ．()2212a b ab +≤例4．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()*1N k k∈，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．例5．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100h ；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h ；每袋需用原料20kg ；年底库存原料600t ，明年可补充1200t ．试根据这些数据预测明年的产量x （写出不等式（组）即可）为________．【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型二：作差法比较两数（式）的大小例6．（2022·江西·九江县第一中学高二期中（理））若0,01a b ><<，则2,,a ab ab 的大小关系为（ ） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>例7．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（ ） A ．x y > B ．x y < C ．x y =D ．无法确定例8．（2022·河南河南·高二期末（文））若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）． A ．22ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c +>+例9．（2022·全国·高一专题练习）下列四个代数式①4mn ，①224+m n ，①224m n +，①22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）．例10．（2022·江苏·高一）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小； （2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·上海崇明·二模）如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．22a b < B a b -<C ．a b > D ．11a b<例12．（2022·上海交大附中模拟预测）已知a b <，0c ≥，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．22a c b c ≤C ．22a c b c +<+D ．22ac bc ≤例13．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．2()0a b c -≥例14．（2022·江苏南京·模拟预测）设a 、b 均为非零实数且a b <，则下列结论中正确的是（ ） A ．11a b> B ．22a b < C ．2211a b< D ．33a b <【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知a b >，0ab >，求证：11a b<； （2）已知0a b >>，0c d <<，求证：a b c d>．例16．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>--．例17．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式： （1）若a b <，0c <，则()0a b c ->； （2）若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<．例18．（2022·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+； （2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>--例19．（2022·全国·高一专题练习）已知三个不等式：①0ab >；①c da b>；①bc ad >．若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程．例20．（2022·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：a a m b b m+<+； （2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++．例21．（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，||||b c > （1）求证：0b c +>； （2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a ，b 有0a b a b ->⇒>；0a b a b -=⇒=；0a b a b -<⇒<．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型五：利用不等式的性质比较大小例22．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设2a =73b =62c =则a ，b ，c 的大小关系__________．例23．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知1t >，且1x t t =+1y t t =-则x ，y 的大小关系是______．例24．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a < B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >例25．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a 是实数，210P a a +，2264Q a a ++P ，Q 的大小关系是（ ）A ．Q P >B ．P Q =C ．P Q >D ．由a 的取值确定例26．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高二期中）若0a b <<，0c >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．ac bc <C ．c c a b <D ．11a b a b->-例27．（多选题）（2022·山西运城·高二阶段练习）已知0b a <<，则下列选项正确的是（ ） A ．22a b > B ．a b ab +< C ．||||a b < D ．2ab b >例28．（2022·江苏·高一课时练习）（1）已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． （2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，p ＝a 2＋b 2＋c 2，q ＝ab ＋bc ＋ca ，试比较p 与q 的大小．例29．（2022·江苏·高一课时练习）已知10x y -<<<，比较1x，1y ，2x ，2y 的大小关系．【方法技巧与总结】 注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．例31．（2022·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）若实数x ，y 满足121x y -≤+≤且131x y -≤+≤，则9x y +的取值范围是_____________．例32．（2022·全国·高一期中）已知0b >，且445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤，则9a cb-的取值范围是___________．例33．（2022·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．例34．（2022·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知实数,x y 分别满足，15x <<，27y <<．（1）分别求23x y +与45x y -的取值范围； （2）若,x y <试分别求x y -及xy的取值范围．例35．（2022·江苏·高一专题练习）已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围．例36．（2022·江苏·高一专题练习）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤． （1）求实数,a b 的取值范围； （2）求32a b -的取值范围．例37．（2022·全国·高一专题练习）（1）若1260a ，1536b ，求2a b -，a b的取值范围；（2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．例38．（2022·安徽·阜阳市耀云中学高二期中）已知122a b -<+<且34a b <-<，求5a b +的取值范围．例39．（2022·全国·高一课时练习）设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，求47x y的取值范围．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<-<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y +”“x y -”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+--，所以需分别求出51(),()22x y x y +--的范围，两范围相加可得23x y +的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如果实数,a b 满足0a b <<，那么（ ）． A ．0a b ->B ．11a b> C ．ac bc < D ．22a b <2．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ） A ．第一种B ．第二种C ．两种一样D ．不确定3．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））已知0ab >，且()()332a b a b ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．222a b +≤B ．222a b +C ．2a b +D ．2a b +>4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）A ．若a b >，c d >， 则 a c b d +>+B ．若a b >， 则ac bc >C ．若0a b >>，0c d >>， 则a b c d >D ．若a b >，则22a b >6．（2022·河南·高二期中（文））已知a ，b ，c ∈R ，a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．2a b ab +≥B ．2ab b >C ．22ac bc >D ．33a b > 7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 8．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若非负实数x 、y 、z 满足约束条件3135x y z x y z -+≤⎧⎨+-≥⎩，则3S x y z =++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（ ）A ．若c c a b >，则a b <B ．若a b <且0ab >，则11a b> C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd < 10．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ）A ．39x y <+<B ．13x y -<-<C ．218xy <<D ．122x y<< 11．（2022·广西·高一阶段练习）若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）．A ．222a b ab +≥ B ．()22242a b a b ++≤ C ．2a b ab a b +≥+ D ．2b a a b+≥ 12．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）已知0x y z ++=，x y z >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．xy xz >B ．xy yz >C ．222x z y +>D ．y y z z >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知13a -<<且24b <<，则2a b -的取值范围___________． 14．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文））若7,34(0)P a a Q a a a =+=++≥．则P ，Q 的大小关系__________（用“<”，“≤”，“=”连接两者的大小关系）15．（2022·全国·高三专题练习）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若222a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________．16．（2022·全国·高一课时练习）设,a b ∈R ，则22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·上海市大同中学高一期中）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222x y +与2x xy +的大小，并说明理由．18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）设实数a 、b 、c 满足2234644b c a a c b a a ⎧+=-+⎨-=-+⎩试确定a 、b 、c 的大小关系，并说明理由．19．（12分）（2022·广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为2m a ，地板面积为2m b ，（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为2m t ，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．20．（12分）（2022·福建·福州三中高一阶段练习）证明下列不等式 （1）若bc -ad ≥0，bd ＞0，求证：a b c d b d++≤ （2）已知a ＞0，b ＞0，求证：22a b a b b a++≥21．（12分）（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知：实数12,(0,1)x x ∈，求证：不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <．22．（12分）（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较3x 与21x x -+的大小； （2）已知a b c >>，且0a b c ++=，①求证：c c a c b c >--． ①求ca 的取值范围．。
3.1认识不等式(原卷版)
3.1 认识不等式1. 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
2. 了解不等号的意义，会根据给定的条件列不等式。
3. 会用数轴表示“x a ＜”“x a ＞”“b x a ＜＜”这类简单的不等式。
(几何直观)知识点一 不等式的意义1. 不等式的概念像v ≤40,t ＞6 000,3x ＞5,g ＜p+2,x ≠3这样,用符号“＜”(或“≤”),“＞”(或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号。
2. 常用的五种不等号及意义即学即练（2023上·河北张家口·八年级统考期中）若x y +□5是不等式，则符号“□”不能是( ) A ．-B ．≠C ．>D ．≤知识点二 列不等式用不等式表示不等关系的方法:(1) 正确理解题目中的关键词语，如多少快慢增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、不少于不满等词语的含义. (2) 选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来 (3) 找准中表示不等关系的量列出不式知识点三 用数轴表示不等式(4) 因为所有的实数在数轴上都可以找到一点与之对应所以一条数轴可以表示全体实数两个数的不等关系也可以用数轴直观地表示出来。
即学即练如图,天平左盘中物体A 的质量为mg ，,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则m 的取值范围在数轴上可表示为 A ．B ．C ．D ．题型1 不等式的定义例1（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）式子：①35；②450x +>；③3x =；④2x x +；⑤4x ≠；⑥21x x +≥+．其中是不等式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个举一反三1（2023下·湖北襄阳·七年级统考阶段练习）下列数表达式①340x y +<；②3y =；③23x y +<；④22x xy +．其中属于不等式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三2（2022下·广东惠州·七年级统考期末）在下列数学表达式：①20-<，②251y ->，③1m =，④2x x -，⑤121x x +<-中，是不等式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型2 不等式的解集例2（2023下·山东烟台·七年级统考期末）写出一个关于x 的不等式，使5-，2都是它的解，这个不等式可以为举一反三1（2023下·吉林长春·七年级统考期末）如果 1.8x =是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）A ．3x >B ．2x >C ．1x <D ．2x <举一反三2（2023下·全国·七年级期末）如果关于x 的不等式()12a x +>的解集为1x >，则a 的值是（ ）A ．1a =-B ．1a >-C ．1a =D ．1a >举一反三3（2022上·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）用不等式表示“x 的3253101242=，若x ，举一反三5（2017下·江苏盐城·七年级阶段练习）已知1不是这个不等式的解，则实数A ．6a ≈B ．6a >C ．7a <D ．67a <<2．（2023上·浙江·八年级专题练习）高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ） A ．每100克内含钙150毫克 B ．每100克内含钙不低于150毫克 C ．每100克内含钙高于150毫克 D ．每100克内含钙不超过150毫克3．（2023上·浙江·八年级专题练习）下面给出了5个式子中，①20x -<，②230x +>，③2x =，④23x +，⑤57b -≤是不等式的有（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．（2023下·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车x 辆，租用53座客车y 辆，则不等式“5553990x y +≥”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于990人 B ．两种客车总的载客量不超过990人 C ．两种客车总的载客量不足990人D ．两种客车总的载客量恰好等于990人5．（2022上·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：①430x y +≤；②3a >；③2x xy +；④222+=a b c ；⑤5x ≠．其中不等式有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）判断下列各式中不等式有（ ）个 （1）1>0a +；（2）0a b +=；（3）89<；（4）31x x -≤；（5）42x -；（6）>1x y -．A ．2B ．3C ．4D ．67．（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）表示实数a 与1的和不大于10的不等式是（ ） A ．a +1＞10B ．a +1≥10C ．a +1＜10D ．a +1≤108．（2019上·浙江杭州·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ） A ．x ＝﹣3是不等式x ＞﹣2的一个解 B ．x ＝﹣1是不等式x ＞﹣2的一个解 C ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣3 D ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣1。
中考数学专题03方程(组)和不等式(组)(第01期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
专题3 方程（组）和不等式（组）一、选择题目1. （2017浙江衢州第6题）二元一次方程组的解是A. B. C. D. 2.（2017山东德州第8题）不等式组的解集为（ ）学科网A ．x≥3B ．-3≤x<4 C．-3≤x<2 D．x> 43.（2017山东德州第10题）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了买了若干本资料，第二次用240元在同一家商店买同一样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本。
求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ）A. B.C. D.4.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y ax x ++=--的解为正数，且使关于y的不等式组12()y 2320y a y⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2017甘肃庆阳第9题）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是⎩⎨⎧-=-=+236y x y x ⎩⎨⎧==15y x ⎩⎨⎧==24y x ⎩⎨⎧-=-=15y x ⎩⎨⎧-=-=24y x 31+2-132+9x xx ⎧≥>⎪⎨⎪⎩240120-=4-20x x 240120-=4+20x x 120240-=4-20xx 120240-=4+20x x（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x -2x 2=5706.（2017贵州安顺第8题）若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣37.（2017湖南怀化第7题）若12,x x 是一元二次方程2230x x 的两个根，则12x x 的值是( )A.2B.2C.4D.38. （2017江苏无锡第7题）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A ．20% B ．25% C ．50% D ．62.5%9.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m 有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为( ) A.98mB.89mC.98mD.89m10. （2017甘肃兰州第10题）王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长cm x 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为23000cm 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( )A.80703000x xB.2807043000xC.8027023000x xD.28070470803000x x11.（2017贵州黔东南州第6题）已知一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．-12D ．﹣2 12．（2017贵州黔东南州第7题）分式方程331x (1)1x x =-++的根为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．1或﹣313.（2017山东烟台第10题）若是方程的两个根，且，则的值为（ ）A ．或2B ．1或 C. D ．114.（2017四川宜宾第4题）一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断15.（2017四川自贡第4题）不等式组23-42+1x x >≤⎧⎨⎩的解集表示在数轴上正确的是（ ）16.（2017新疆建设兵团第7题）已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．617. （2017新疆建设兵团第8题）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．600480+40x x =C ．600480+40xx =D ．600480-40xx =18. （2017浙江嘉兴第6题）若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则a b -=（ ）21,x x 01222=--+-m m mx x 21211x x x x -=+m 1-2-2-14A ．1B ．3C ．14-D ．7419.（2017浙江嘉兴第8题）用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(2)2x += B ．2(1)2x += C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 二、填空题目1.（2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是2.（2017浙江宁波第14题）分式方程21332x x的解是 ．3.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 4.（2017江苏盐城第13题）若方程x 2-4x+1=0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为 5.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，若输入后程序操作仅进行了一次就停止，则的取值范围是 .6.（2017四川泸州第15题）若关于x 的分式方程x 2322m mx x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．7.（2017四川宜宾第13题）若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x+y ＞0，则m 的取值范围是 ．8．（2017四川宜宾第14题）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是 ．9.（2017四川自贡第15题）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组 ．10. （2017新疆建设兵团第13题）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是元．x 18<x x 2m 133x y x y ⎧-=+⎨+=⎩三、解答题1.（2017浙江衢州第18题）解下列一元一次不等式组：2.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
2.1 等式性质与不等式性质(原卷版)
2.1 等式关系与不等式关系一、选择题1．下列说法正确的是( )A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <"B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >"C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥"D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是 （ ）A ．22a b <B ．22ac bc <C ．11a b <D ．c c a b< 4.某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年5.已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b >C ．2211ab a b <D ．11a b a >- 6.已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ）A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -< D ．22cb ab <7．（多选）对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若a b >，则11a b > 二、填空题8．设2,73,62P Q R ==-=-，则,,P Q R 的大小顺序是______．9.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．10.已知两实数22210a x x =-+-，239b x x =-+-，a ，b 分别对应实数轴上两点A 、B ，则点A 在点B 的 （填“左边”或“右边” )．三、解答题11．已知a ，b 均为正实数，求证：a b a b +≥+.12．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.13.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间，问甲以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m n乙两人谁先到达指定地点？。
微专题03 基本不等式和积问题(原卷版)
微专题03基本不等式和积问题【方法技巧与总结】一．重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．二．基本不等式如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．（2）当0a >，0b >时，有211a b≤+a b =时，等号成立．（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．四．利用基本不等式求最值已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ．【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题题型二：简单的和为定值或积为定值型题型三：含+y xx y或1+t t 以及可以转化为此的类型题型四：含22,,,++=++y x ax byax by xy ax by a b ab类型【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（）A ．11x y>B ．11x y<C ．2x y y x +≥D ．22222x y x y ++⎛⎫<⎪⎝⎭例2．（多选题）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（）A ．12(2)9a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．2221)a b a b +≥++（C ．22a b a bb a++≥D ．2aba b≤+例3．（2022·河南·高一期中）已知x 、y 、z 都是正数．（1）求证：0x y y z z xyz zx xy---++≥；（2）若()2221122x y m m y x x y ⎛⎫+≥--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．例4．（2022·广东茂名·高一期末）已知,,a b c 均为正数，且3a b c ++=，证明：2221116a b c ab bc ac+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立．例5．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知a ，b ，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++．例6．（2022·江苏·高一单元测试）设a >0，b >0，a +b ＝2．（1）证明：(1)(1)a b ab++≥4；（2）证明：a 3+b 3≥2．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．（2022·陕西安康·高一期中）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．ab ≥BC ．213a b+≥D ．222a b +≥例8．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足1a b +=，则（）A ．ab 有最大值14B ．11a b+有最大值4C ．ab 有最小值14D ．11a b+有最小值2例9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数x y ，满足4x y +=，则xy 的最大值（）A ． 2B ．4C ． 6D ．8例10．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若()0,4,x ∈则()4x x -的最大值是（）A ．4B ．1C ．0D ．不存在例11．（2022·河南郑州·高一期中）设正实数x ，y 满足x +2y =1，则下列结论正确的是（）A ．x 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12，C ．y x +1y的最大值为4D例12．（2022·山东青岛·高一期末）已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8例13．（2022·江苏·常州市第一中学高一期末）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．9例15．（2022·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（）A ．16y x x=+B ．16sin sin y x x=+C ．22644x y x=+D ．227y x x =-+例16．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x ，y 满足2x y +=-，则1x y-的最小值为（）A ．0B ．1-C ．D ．题型三：含+y xx y或1+t t 以及可以转化为此的类型例17．（2022·四川·华阳中学高一期中）若正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++，则当xyz取最大值时，1112x y z +-的最大值为______．例18．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．4C ．254D ．1例19．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（）A ．9B ．16C ．49D ．81例20．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1例21．（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（）A ．49B C ．1327D 例22．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数x ，y 满足()()1419x y ++=，则4x y +的最小值为（）A ．3B ．4C ．265D ．425例23．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是（）A ．{}13z z ≤≤B ．{}12z z ≤≤C ．{}23z z ≤≤D ．{}34z z ≤≤例24．（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数x ，y 满足30x y xy ++-=，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2CD ．2例25．（2022·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2y xz的最小值是（）A ．4B ．2C ．12D ．14例26．（2022·重庆八中高一期中）已知0a >，0b >，2a b +=，则22a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．8B ．4C ．9D ．4题型四：含22,,,++=++y x ax byax by xy ax by a b ab类型例27．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（）A ．6B ．8C ．14D ．16例28．（2022·全国·高一单元测试）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．22D ．2例29．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22例30．（2022·天津·南开中学高一期中）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________．例31．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为___________．例32．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．例33．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．74B ．92C ．134D ．1例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知x y ，为正实数，且2x y xy +=，则2x y +的最小值是（）A ．2B ．4C ．8D ．16例35．（2022·江西·高一期中）已知0a >，0b >，且12a b+=，则4b a+的最小值是（）A ．92B ．2C ．9D ．4例36．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（）A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3-B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为2C ．若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则xy 的最大值为1-D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为3+例37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p ，q 为正实数且3p q +=，则1121p q +++的最小值为（）A ．23B ．53C ．74D ．95例38．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95例39．（2022·江苏·常州市第一中学高一期中）已知0x >，0y >，2x y +=，则11xx y ++的最小值为（）．A ．126+B ．136+C ．133+D ．32【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>2．（2022·福建三明·高一期中）已知正实数,a b 满足418a b +=，使得11a b+取最小值时，实数,a b 的值为（）A ．94a =，9b =B ．2a =，10b =C ．3a =，6b =D ．185a =，185b =3．（2022·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．（2022·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：①函数1y x x=+的最小值是2；②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =的最小值是2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-．其中，正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．35．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（）A ．14a b ≤+≤B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>6．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．27．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数,1x y >（）A ．1BC ．2D ．8．（2022·河南新乡·高一期末）已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为（）A ．24B ．25C ．26D ．27二、多选题9．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（）A ．21x y x+=的最小值为2B ．任意的正数a b 、，且1a b +=C ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +10．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为11．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若0a >，0b >，且5a b +=，则（）A ．ab 的最大值为254B 的最大值为10C ．22a b +的最小值为252D ．11a b+的最小值为4512．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A ．xyB ．2x y +的最小值为4C ．x y +的最小值为3-D ．22(2)(1)x y +++的最小值为113．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（）A ．12(2)()9a b ab++≥B ．222(1)a ab b +++≥C ．22a b a bb a++≥D ．22a b a b+≥+三、填空题14．（2022·江苏扬州·高一期中）若20,x y >>则2y xx y y+-的最小值为_________．15．（2022·湖北十堰·高一期中）已知1x >，则2241x x x -+-的最小值为___________．16．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___．17．（2022·江西·上高二中高一期末（理））已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________．18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．四、解答题19．（2022·河南焦作·高一期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）222a b +≥；（2）()()334a bab ++≥．20．（2022·全国·高一单元测试）已知a ，b ，c 均为正数．（1）若40a b ab +-=，求a b +的最小值；（2）若1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一篇集合与不等式专题1.3等式与不等式的性质【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.【知识梳理】1.两个实数比较大小的方法(1)－b>0⇔a>b ，－b ＝0⇔a ＝b ，－b<0⇔a<b.(2)（a ∈R ，b>0）⇔a>b （a ∈R ，b>0），1⇔a ＝b （a ，b≠0），（a ∈R ，b>0）⇔a<b （a ∈R ，b>0）.2.等式的性质(1)对称性：若a ＝b ，则b ＝a .(2)传递性：若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .(3)可加性：若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .(4)可乘性：若a ＝b ，则ac ＝bc ；若a ＝b ，c ＝d ，则ac ＝bd .3.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒an ＞bn(n ∈N ，n≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b(n ∈N ，n≥2).【微点提醒】1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m>0).(2)若ab>0，且a>b ⇔1a <1b.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.()(2)a ＝b ⇔ac ＝bc.()(3)若a b >1，则a>b.()(4)0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a.()【教材衍化】2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋14.【真题体验】4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是()A.ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD.a 2>ab >b 25.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.6.(2019·运城模拟)若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________.【考点聚焦】考点一比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c ≥b >aB.a >c ≥bC.c >b >aD.a >c >b(2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是()A.M <NB.M >NC.M ＝ND.不确定(3)(一题多解)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【规律方法】1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练1】(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).(2)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________.考点二不等式的性质【例2】(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是() A.ab>ac B.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ac(a－c)>0(2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④【规律方法】解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca >cb；②ac<b c；③log b(a－c)>log a(b－c).其中所有正确结论的序号是()A.①B.①②C.②③D.①②③考点三不等式及其性质的应用角度1不等式在实际问题中的应用【例3－1】(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围【例3－2】(经典母题)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.【迁移探究1】将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围.【迁移探究2】将本例条件改为“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范围.【规律方法】1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练3】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg、y kg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________.(2)(2019·青岛测试)已知实数a∈(1，3)，b，则ab的取值范围是________.【反思与感悟】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.【易错防范】1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式为()A.v<40km/hB.v>40km/hC.v≠40km/hD.v≤40km/h2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)＝g(x)B.f(x)＞g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x的值变化而变化3.若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是()A.a －b >0B.a 3＋b 3>0C.a 2－b 2<0D.a ＋b <05.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是()A.2x >2yB.lg x >lg yC.1x >1y D.x 2>y 26.(2018·湖州质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则()A.－1m <－1n B.m －n <m －nD.m 2<mn7.已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是()A.M >NB.M <NC.M ＝ND.不能确定8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9二、填空题9.(必修5P75A2改编)15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”).10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；②若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0.其中正确的命题是________(填序号).12.已知a>0，b>0，a≠b，则a a b b与(ab)a＋b2的大小关系是________.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是()A.log 2a >0B.2a －b <12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <1214.(2019·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ，a ≤b ，，a >b ，a ⊕b ，a ≤b ，，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则()A.mn ≥4且p ＋q ≤4B.m ＋n ≥4且pq ≤4C.mn ≤4且p ＋q ≥4D.m ＋n ≤4且pq ≤415.已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________.16.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围.【新高考创新预测】17.(多选题)下列四个条件，能推出1a＜1b成立的有()A.b＞0＞aB.0＞a＞bC.a＞0＞bD.a＞b＞0。