第八章 时间序列分析

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二、 几种有用的时间序列模型
1、白噪声（ White noise）
白噪声通常用ut表示，是一个纯粹的随机过程，满 足: （1）E(ut) = 0 , 对所有t成立； （2）V ar(ut) = σ2，对所有t成立； （3）Cov (ut, ut+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
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2、随机漫步（Random walk）
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误差修正模型
一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关 系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模 型的设定、估计和检验的一种新技术。
此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估 计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使 用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型 (error correction model)。
因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为： H0：∣υ∣≥1 H1：∣υ∣＜1
拒绝原假设（即接受备择假设Ha）则表明Yt是平稳序 列。
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实践中，上述原假设和备择假设采用如下形式： H0：φ =1
H1：φ ＜1
这是因为，首先，可以假设 φ>0 ，因为绝大多数 经济时间序列确实如此；其次， φ>1 意味着Yt 是爆炸性的，通常不予考虑，这意味着备择假设实 际上是 0<φ<1 。
的特例，（2.4）称为一阶自回归过程 (AR(1))，该 过程在－1＜υ＜1时是平稳的，其他情况下，则为非 平稳过程。
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三、单整的时间序列（Integrated series）
从（2.2）可知，随机漫步序列的一阶差分序列 ΔYt = Yt－Yt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原 非平稳序列Yt是“一阶单整的”，表示为I(1)。 与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(Δ2Yt=ΔYt －ΔYt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”， 表示为I(2)。 一般地，若一个非平稳序列必须取d阶差 分才变为平稳序列，则原序列是“d阶单整 的”(Integrated of order d)，表示为I(d)。 由定义不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味着该 序列无需差分即是平稳的。另一方面，如果一个序列 不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非 19 单整的”。
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这类检验可用t检验进行，检验统计量为：
t ˆ 1 S
Φ
或
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
ˆ S

计算的t值不服从t分布，而是服从一个非标准的甚至 是非对称的分布。因而不能使用t分布表，需要用另 外的分布表。
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2、Dickey-Fuller检验（DF检验）
迪奇（Dickey） 和福勒（Fuller）以蒙特卡罗模拟 为基础，编制了tδ 统计量的临界值表，表中所列已非 传统的t统计值，他们称之为τ统计值。这些临界值如 表1所示。后来该表由麦金农（Mackinnon）通过蒙特 卡罗模拟法加以扩充。
（2.5）
Yt－υYt－1=ut 或（1－υL）Yt = ut （2.6）
其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后， 如Yt 的一期滞后可表示为L(Yt），即
L(Yt）= Yt－1
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由上节所知，自回归过程Yt平稳的条件是其特征方 程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为1 －ΦL=0，该方程 仅有一个根L=1/υ ，因而平稳性要 求－1＜υ＜1。
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X
t
X
t
t (a)
图 9.1
t (b )
平稳时间序列与非平稳时间序列图
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平稳性指时间序列的统计规律不随时间的推移而发 生 变化。直观上，一个平稳的时间序列可以看作是一 条围绕其均值上下波动的曲线。 如果时间序列是平稳的，即它的行为并不会随着时 间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行 为来预测未来。
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（2.5）式 Yt=υYt－1+ut 两端各减去Yt-1，我们得到
Yt－Yt－1= ΦYt－1－Yt－1+ut
即
ΔYt= δYt－1+ut
（2.7）
其中Δ是差分运算符，δ=Φ－1。
前面的假设 H0：φ = 1 Ha：φ ＜1
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可写成如下等价形式： H0：δ= 0 Ha：δ＜0 在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程 是非平稳的。 换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1 或δ=0。
随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定：
Yt = Yt－1+Ut
（2.1）
其中ut为白噪声。
Yt的均值：
E(Yt）= E(Yt-1+ut）= E(Yt－1) + E(ut) = E(Yt－1)
这表明Yt的均值不随时间而变。
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为求Yt的方差，对（2.1）式进行一系列置换： Yt = Yt－1+ut
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协整
协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量 经济学领域最具革命性的进展。 简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各自 都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下行）， 但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这些变量 之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济 变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关 系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的” 。
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单位根检验方法的由来
在Φ=1的情况下，即若原假设为真，则（2.5）就 是随机漫步过程, 它是非平稳的。因此，检验非平稳 性就是检验Φ=1是否成立，或者说，就是检验单位 根是否存在。换句话说，单位根是表示非平稳性的 另一方式。这样一来，就将对非平稳性的检验转化 为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。
★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
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经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的 变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在 估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的 变量的均值和方差是常数，不随时间而变。 然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间 序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪 回归”问题(‘spurious’ regression problem)。 为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统 估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量 的非平稳性 (non-stationarity) 的系统性检验和协整 (cointegration)。
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2. 弱平稳性 (weak stationarity)
一个时间序列是“弱平稳的”，如果： （1）均值 E(Yt) =μ，t=1,2,…
（7.1）
（2 ）方差 Var(Yt) = E(Yt -μ)2 =σ2，t =1,2,…（7.2） （3）协方差 Cov(Yt, Yt+k）= E [(Yt -μ)(Yt+k -μ)]＝ rk， t=1,2,…，k≠0 （7.3）
0.72 0.66 0.63 0.62 0.61 0.60
25 50 100 250 500 ∞
-4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96
-3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66
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3. 平稳性和非平稳性
通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。 一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间 保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于 两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协 方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。
只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。 事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。
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这表明Yt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条 件不满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间 序列。可是，若将（2.1）式 Yt = Yt－1+ut写成一阶 差分形式：
ΔYt=ut
（2.2)
这个一阶差分新变量ΔYt是平稳的，因为它就等 于白噪声ut，而后者是平稳时间序列。
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3、带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift)
第八章 时间序列分析
第一节 单位根检验 第二节 协整分析与ECM模型 第三节 因果关系检验
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第一节
单位根检验
问题的引出：非平稳变量与经典回归模型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：


时间序列数据（time-series data)；
截面数据(cross-sectional data)

平行/面板数据（panel data/time-series crosssection data)
纯随机漫步：Yt=Yt-1+ t 带漂移的随机漫步：Yt=＋Yt-1+ t 带趋势的随机漫步：Yt=＋t＋Yt-1+ t 其中t是白噪声序列。

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4、自回归过程
随机漫步过程（2.1）（ Yt = Yt－1+ut）是最简单的 非平稳过程。它是
Yt=υYt－1+ut
（2.4）
-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95
-1.60 -1.61 -1.61 -1.62 -1.62 -1.62
0.92 0.91 0.90 0.89 0.89 0.89
1.33 1.31 1.29 1.29 1.28 1.28
1.71 1.66 1.64 1.63 1.62 1.62
Yt=α+Yt－1+ut （2.3） 其中α是一非0常数，ut为白噪声。
μ之所以被称为“漂移项”，是因为（2.2）式的 一阶差分为 ΔYt = Yt－Yt-1 =μ+ut 这表明时间序列Yt向上或向下漂移，取决于α的符 号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序 列也是非平稳时间序列。
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几种随机漫步过程
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