数学人教版九年级下册专题 反比例函数
人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习(含),文档
反比率函数26.1 知识点 1 反比率函数的定义一般地，形如 y k0 ）的函数称为反比率函数，它能够从以下几个方面来理解：（ k 为常数，kx⑴ x 是自变量， y 是 x 的反比率函数；⑵自变量 x 的取值范围是x 0的一确实数，函数值的取值范围是y 0 ；⑶比率系数 k0 是反比率函数定义的一个重要构成部分；⑷反比率函数有三种表达式：k① y（k0 ），x② y kx1（ k0 ），③ x y k （定值）（k0 ）；⑸函数 y k0 ）与xky 是 x 的反比率函数时， x 也是 y 的反比率函数。
（ k（ k 0 ）是等价的，所以当x y（ k 为常数，k0 ）是反比率函数的一部分，当k=0 时，y k k x，就不是反比率函数了，因为反比率函数y（ k 0x ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确立反比率函数的表达式。
26.2 知识点 2 用待定系数法求反比率函数的分析式因为反比率函数 yk0 ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确（ kx定反比率函数的表达式。
26.3 知识点 3 反比率函数的图像及画法反比率函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，因为反比率函数中自变量函数中自变量x 0 ，函数值y0 ，所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷凑近坐标轴，但永久达不到坐标轴。
反比率的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比率函数的图像时应注意以下几点：①列表时选用的数值宜对称选用；②列表时选用的数值越多，画的图像越精准；③连线时，一定依据自变量大小从左至右（或从右至左）用圆滑的曲线连结，切忌画成折线；④绘图像时，它的两个分支应所有画出，但切忌将图像与坐标轴订交。
（ 1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（a， b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义如图 1，设点 P（ a， b）是双曲线上随意一点，作PA⊥ x 轴于 A 点， PB⊥y 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延伸线于C，则有三角形PQC 的面积为．图1图 25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别议论，不可以混为一谈．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．26.4 知识点 4 反比率函数的性质☆对于反比率函数的性质，主要研究它的图像的地点及函数值的增减状况，以下表：反比率k0 ）y（ kk 的符号k 0k 0图像① x 的 取 值 范 围 是 ① x 的 取 值 范 围 是x0 ，y 的取值范围是x0 ，y 的取值范围是yy性质②当 k0 时，函数图像 ② 当 k 0 时，函数图像的两个分支分别在第 的两个分支分别在第 一、第三象限，在每个 二、第四象限，在每个 象限内，y 随 x 的增大而 象限内，y 随 x 的增大而 减小。
专题26.1 反比例函数、定义图象与性质(八大考点)(教师版)2025学年九年级数学下册(人教版)
专题26.1反比例函数、定义图象与性质（八大考点）【考点1反比例函数的定义】【考点2 反比例函数系数K的几何意义】【考点3 反比例函数的图象】【考点4 反比例函数图象的对称性】【考点5 反比例函数的性质】【考点6 反比例函数图象点坐标特征】【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】【考点1反比例函数的定义】1．（2023秋•来宾期中）下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）A．y＝B．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝【答案】D【解答】解：A、y＝是正比例函数，不符合题意；B、y＝2x+1是一次函数，不符合题意；C、y＝x2中，x的次数不是1，不符合题意；D、y＝是反比例函数，符合题意．故选：D．2．（2023秋•苍梧县期中）反比例函数的比例系数是（ ）A．3B．2C．D．【答案】D【解答】解：，故．故选：D．3．（2023秋•临颍县期末）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数【答案】A【解答】解：∵函数y＝（m+1）是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1且m+1≠0，解得m＝1．故选：A．4．（2022秋•朝阳期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＜0B．C．D．m≥【答案】C【解答】解：根据题意得：1﹣2m＜0，解得：m＞．故选：C．【考点2 反比例函数系数K的几何意义】5．（2023秋•娄底期末）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）A．﹣6B．6C．﹣3D．3【答案】A【解答】解：根据题意可知：S＝|k|＝3，△AOB又反比例函数的图象位于第二象限，k ＜0，则k ＝﹣6．故选：A ．6．（2024•浙江一模）如图，点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点B 在反比例函数y ＝（x ＜0）的图象上，AB ∥x 轴，点C 在x 轴上，△ABC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】D【解答】解：连接OA ，OB ，如图，∵AB ⊥y 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB ＝S △ABC ＝3，∴+|k |＝3，∵k ＜0，∴k ＝﹣2．故选：D ．7．（2024•新吴区一模）如图，第一象限的点A 、B 均在反比例函数的图象上，作AC⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，若OC ＝3CD ，则△AOB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：设CD ＝a ，则OC ＝3CD ＝3a ，∴OD ＝OC +CD ＝4a ，∵点A 、B 均在反比例函数的图象上，作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，∴点A，B ，四边形ACDB 为直角梯形，∴AC ＝，BD ＝，∴S 梯形ACDB ＝（AC +BC ）•CD ＝＝，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S △OAC ＝S △OBD ，∵S △AOB ＝S △OAC +S 梯形ACDB ﹣S △OBD ＝S 梯形ACDB ＝．故选：D ．8．（2024•钦州一模）点P ，Q ，R 在反比例函数（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝15，则S 2的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解答】解：∵CD＝DE＝OE，∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），∴CP＝，DQ＝，ER＝，∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，∴S1＝S3＝2S2，∵S1+S3＝15，∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，故选：B．9．（2024•黔东南州一模）如图，已知A（1，y1）、B（4，y2）为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接OA，OB，AB，则三角形OAB的面积是（ ）A．4B．C．D．【答案】D【解答】解：由A（1，y1）、B（4，y2）为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，得A（1，4）、B（4，1），得直线AB表达式为：y＝5﹣x，得如图中C（0，5），故三角形OAB的面积＝三角形OCB的面积﹣三角形OAC的面积＝5×4÷2﹣5×1÷2＝7.5，故选：D．10．（2024春•德惠市期中）如图，在▱ABCD 中，AB ∥x 轴，点B 、D 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上，若▱ABCD 的面积是8，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解答】解：连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，▱ABCD 的面积是8，∴△ABC 的面积＝的面积＝，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴点B 、D 横坐标互为相反数，∴点B 、D 纵坐标也互为相反数，又∵AB ∥x 轴，AB ∥CD ，∴OA ＝OC ，∴，∴k ＝2S △AOB ＝S △ABC ＝4，故选：B．11．（2024•江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）A．1B．2C．D．【答案】B【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于D，∵△ABP的面积是4，AO＝BO，∴△OBP的面积为2，∵PA⊥PB，AO＝BO＝BP，∴sin∠PAB＝，∵sin30°＝，∴∠PAB＝30°，∴∠PBA＝60°，∴△POB为等边三角形，∴S△POD ＝S△POB＝1，∴＝1，∴k＝±2，∵反比例函数的图象位于第一象限，∴k ＝2．故选：B ．12．（2023秋•昌图县期末）如图，过x 轴上任意点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝（x ＞0），y ＝﹣（x ＞0）的图象交于A 点和B 点，若C 为y 轴任意一点．连接AB 、BC ，则△ABC 的面积为 ．【答案】．【解答】解：设点P 坐标为（a ，0）则点A 坐标为（a ，），B 点坐标为（a ，﹣）∴S △ABC ＝S △APC +S △CPB ＝+＝＝．故答案为：．【考点3 反比例函数的图象】13．（2023秋•岳阳楼区期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）A ．y ＝3x 2B ．C ．D ．y ＝3x【答案】C【解答】解：由图象可得，该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且是双曲线，故选：C．14．（2024春•普陀区期中）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数在二，四象限，一次函数y＝﹣kx+k 的图象过一、三、四象限，无符合选项；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数在一、三象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、二、四象限，A选项符合．故选：A．15．（2024•昭阳区模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过一、二、三象限，反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过二、三、四象限，反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项．故选：C．16．（2024•青岛一模）一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＞0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，不符合题意；B、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＞0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，符合题意；C、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＜0，则ab＜0，所以反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，不符合题意；D、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＜0，b＜0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，不符合题意；故选：D．17．（2024春•泰兴市期中）函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；B．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、三、四象限，故本选项符合题意；C．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＜0，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；D．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意．故选：B．18．（2024•商河县一模）反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由反比例函数的图象可知：kb＞0，当k＞0，b＞0时，∴直线经过一、三、四象限，当k＜0，b＜0时，∴直线经过一、二、四象限，故选：D．【考点4 反比例函数图象的对称性】19．（2023秋•宣汉县期末）正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）【答案】A【解答】解：解方程组得，．因为点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（﹣3，﹣2）．故选：A．20．（2023秋•竞秀区期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【答案】D【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．解得：r＝2．∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．∴﹣2a2＝k且＝r．∴a2＝8．∴k＝﹣2×8＝﹣16，则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：D．21．（2023秋•九龙坡区校级月考）反比例函数的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（ ）A．﹣4B．C．D．4【答案】D【解答】解：因为反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点成中心对称，又点A（2，﹣4）在反比例函数的图象上，所以点A关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象上．又点A关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，4），即x＝﹣2时，y＝4．故选：D．【考点5 反比例函数的性质】22．（2024春•长寿区校级期中）若点P（1，3）在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）A．B．3C．﹣3D．【答案】B【解答】解：∵点P（1，3）在反比例函数的图象上，∴，解得：k＝3．故选：B．23．（2024春•苏州期中）对于反比例函数，下列说法正确是（ ）A．函数图象位于第一、三象限B．函数图象经过点（﹣2，﹣3）C．函数图象关于y轴对称D．x＞0时，y随x值的增大而增大【答案】D【解答】解：A．因为y＝﹣，k＝﹣6＜0，所以函数图象位于第二、四象限，不符合题意；B．当x＝﹣2时，y＝﹣＝3，函数图象经过点（﹣2，3），不符合题意；C．函数图象关于原点对称，不符合题意；D．x＞0时，y随x值的增大而增大，符合题意．故选：D．24．（2024•临沂一模）如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解答】解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），而3＝﹣，故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①，故选：A．25．（2024•绥江县模拟）反比例函数的图象位于（ ）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】D【解答】解：∵，k＝﹣3＜0，∴函数图象过二、四象限．故选：D．26．（2024•香洲区校级一模）若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ）A．k＜0B．k＞0C．k＞1D．k＜1【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，∴k＞1，故选：C．27．（2023秋•南开区期末）若函数的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＞2B．m＞﹣2C．m＜2D．m＜﹣2【答案】C【解答】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故选：C．28．（2024•顺德区二模）若点（2，3）在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上（ ）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【答案】A【解答】解：∵点（2，3）在反比例函数的图象上，∴k＝6，∵A（﹣2，﹣3）中纵横坐标之积＝﹣2×（﹣3）＝6，∴点A在反比例函数的图象上．故选：A．【考点6 反比例函数图象点坐标特征】29．（2024•佛山一模）已知点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】B【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，且﹣2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b，故选：B．30．（2024•怀化一模）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）A．（1，﹣16）B．（2，﹣8）C．（4，﹣4）D．（8，2）【答案】D【解答】解：反比例函数图象上点的纵横坐标之积为定值16，A、1×（﹣16）＝﹣16≠16，点（1，﹣16）不在反比例函数图象上，不符合题意；B、2×（﹣8）＝﹣16≠16，点（2，﹣8）不在反比例函数图象上，不符合题意；C、4×（﹣4）＝﹣16≠16，点（4，﹣4）不在反比例函数图象上，不符合题意；D、8×2＝16，点（8，2）在反比例函数图象上，符合题意．故选：D．31．（2024•西和县二模）已知反比例函数的图象经过点（2，6），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，n），则n的值为（ ）A．﹣12B．3C．﹣6D．﹣3【答案】A【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，6），点（﹣1，n），∴2×6＝﹣1×n，∴n＝﹣12．故选：A．32．（2024春•兴化市期中）函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【答案】D【解答】解：因为﹣|k|＜0，所以函数y＝﹣图象在第二、四象限．由于在第二象限，y值随x的增大而增大，（﹣3，y1），（﹣2，y2）在第二象限的双曲线的分支上，因为﹣3＜﹣2，所以y1＜y2，且y1，y2都是正数．在第四象限双曲线中的点，对应的y值小于0，而点（4，y3）在第四象限的双曲线的分支上，则y3＜0，所以大小关系是y3＜y1＜y2．故选：D．【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】33．已知点(―2,5)在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．10B．―10C．25D．―2534．在平面直角坐标系中，点A(1,4a)，B(a,a+2)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为()A．2B．4C．6D．835．已知点A(2,3)在反比例函数y=k的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（）xA．(―2,3)B．(―1,―6)C．(1,―6)D．(―3,2)36．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A(4,3)，点C在x轴正半轴，则经过点B的反比例函数的表达式为．37．在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为．【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】39．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k的图象交于点A(1,2)，Bx的解集是（）(m,―1)．ax+b≥kxA．x<―2或0<x<1B．x≤―2或0<x≤1C．―2<x<0或x>1D．―2≤x<0或x≥140．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x(k1≠0)与双曲线y=k2(k2≠0)相交于xA、B两点，已知点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标（）A．(―1,―2)B．(―2,―1)C．(―1,―1)D．(―2,―2)41．如图，一次函数y=x+3与反比例函数y=k相交于点A(m,4)和点B(―4,n)，则关于x的x不等式x+3<k的解集是（）xA．x<―4或0<x<1B．―4<x<0或x>1C．―1<x<0或x>4D．x<―1或0<x<442．如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=m的图象，观察图象写出当y1>y2时，xx的取值范围为（）A．x<―2或0<x<3B．x<―2或3<xC．―2<x<0或3<x D．―2<x<0或0<x<3【答案】C【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由函数图象可得，当―2<x<0或x>3时，y1>y2，故选：C．43．在平面直角坐标系中，函数y=6―x与y=4(x>0)的图象交于点A,B，若点A的坐标为x(m,n)，则宽为m，长为n的矩形的面积、周长分别为（）A．4，6B．4，12C．8，6D．8，1244．如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2(x>0)的图象相交于A(1,4)，Bx时，x的取值范围为（）(4,1)两点，当k1x+b<k2xA．x<1B．0<x<1或x>4C．1<x<4D．x>4【答案】B【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．找到直线在双曲线下方时，x的取值范围即可得解．45．已知反比例函数y=k与正比例函数y=ax的一个交点坐标为(2,3)，则另一个交点坐标x为（）A．(―2,―3)B．(―3,―2)C．―1,―12D,122【答案】A【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，抓住二者图象均关于原点对称是解题关键．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两图象的交点关于原点对称∵一个交点为(2,3)，∴另一个交点坐标为(―2,―3)故选：A。
《反比例函数》教学课件(新人教版九年级下册数学ppt)(共14张PPT)
课堂小结
（1）我们今天学习了哪些知识？ （2）我们是如何形成反比例函数概念的？ （3）如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？
课后作业
教科书习题 26.1 第 1，2 题．
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1312:29:4812:29Sep-2113-Sep-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。12:29:4812:29:4812:29Monday, September 13, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.1321.9.1312:29:4812:29:48September 13, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一下午12时29分48秒12:29:4821.9.13
t 2 000 v
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的高 h （单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化而变化；
h 1 000 S
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p（单 位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：m2）的变 化而变化．
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ， 人均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n （单位：人）的变化而变化．
函数关系式为：
人教版九年级数学下册第26章反比例函数PPT
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
问题
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它 们的解析式有什么共同特点？ (1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度
v(单位： km/h)随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而变化；
知1－导
(2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪， 草坪的长y (单位：m)随宽x (单位：m)的变化而变化；
(4)还原：写出反比例函数的解析式．
知2－讲
2．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k， 因此求反比例函数的解析式只需一组对应值或一 个条件即可．
知2－讲
例2 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值.
分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y k .
5
①y＝2x－1；②y＝－ ；③y＝x2＋8x－2；
3
1x
a
④y＝ x2 ； ⑤y＝ 2x ； ⑥y＝ x .
导引：根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比例函数的三种
表现形式．①y＝2x－1是一次函数；②y＝－ 5 是反比例函数；③y
3
x
＝反＝比xa2＋例，8函x当－数a2≠关是0系时二；是次⑤反函y比数＝例；2函1④x数y是＝，反没x比2有例，此函y条与数件x，2成则可反不以比一写例定成，是y但反=y比与12x例x；不函⑥是y
(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．10 B．5 C．－5 D．－10
3 若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y
与x之间的关系是( D )
A．正比例函数
人教版九年级初三数学下册《反比例函数的图像和性质》PPT课件
2-3
-4
-5
-6
3）图像位于二、四象限。
y=
−6
x • y = - 6
(-x ) • y =6
4）y随x的增大而增大。
5）函数图像与坐标轴无交点。
01
反比例函数图像小结
当k<0时，反比例函数y =
的图象：
（1）函数图象分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大.
01
反比例函数图像
观察反比例函数 y=
6
和y= -
6
的图象，你发现了什么？
y= −
6
y
y=
6
6
5
形状:图像都是由两条曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线。
4
两个分支都无限趋近坐标轴，但不与坐标轴相交。
3
2
位置:
6
函数 y= (k>0)图像位于第一、三象限内.
6
函数y= -(k<0)图像位于第二、四象限内.
A．
B．
C．
D．
【详解】
解：当k＞0时，函数y＝ 的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项D正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B错误，故选：D．
）
02
练一练
3.（2018·福建省永春第一中学初二期末）在同一平面直角坐标系中，函数
01
反比例函数图像小结
当k＞0时，反比例函数y =
的图象：
第二十六章反比例函数专题复习反比例函数中k的几何意义课件人教版数学九年级下册
模型二 两点一垂线或两点两垂线
3．如图，A，B 是函数 y＝k) (k＜0)的图象上关于原点 O 对称的任意两点，AC 平 x
行于 y 轴，BC 平行于 x 轴．若△ABC 的面积为 6，则 k 值为( B ) A．3 B．－3 C．－6 D．－12
第二十六章 反比例函数
专题 反比例函数中k的几何意义
模型一 一点两垂线或一点一垂线
1．如图，反比例函数 y＝kx (x＜0)的图象上有任意两点 P，Q，若将 S△OAP 记为 S1， S△OBQ 记为 S2，则( A )
A.S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法判断
2．如图，A，B 两点在双曲线 y＝4 上，分别经过 A，B 两点向坐标轴作垂线段， x
又∵点 D 与点 B 的纵坐标一样，且点 D 在反比例函数图象上，∴点 D 的坐标为 _(a3__，__3_ak__)_；
第三步：列方程：∵S 四边形 ODBE＝S 四边形 ODBC－S△OCE＝6，∴代入各点坐标后，解 得 k＝___3____．
【对应训练】(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y＝kx (k>0，x>0)的图象经过顶点 D，分别与对角线 AC，边 BC 交于点 E，F，连接 EF，AF.若点 E 为 AC 的中点，△AEF 的面积为 1， 则 k 的值为___3___．
4．(郴州中考)如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝4 x
的图象的交点，过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为__8___．
人教版九年级下册数学《反比例函数》反比例函数PPT教学课件
思考 下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数关系表示？
思考
由上面的问题我们得到这样的三个函数
上面的函数解析式形式上有什么的共同点？
反比例函数的定义 一般地，形如
这里的k叫做 比例系数
（k为常数，k≠0）的函数，
叫做反比例函数．自变量 x 是分式 的分母，不能为0
其中x是__自__变__量____，y是__函__数_____．
(2)当
时，求 y 的值；y=-8
(3)当
时，求 x 的值．x=-4
y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值．
x
y
2
4
-4
-2
(1)完成上表； (2)写出这个反比例函数的解析式．
【解析】∵ y是x的反比例函数，
2
-6
C
A．（-2，-4） C．（-6，1）
B．（2，3）
总结：反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k．
9．如图，反比例函数y＝
k x
的图象经过点M，矩形
OAMB的面积为4，则此反比例函数的解析
式为__y＝__-__4_x___．
第9题图
重难点精讲优练
类型 1 反比例函数图象与性质 练习1 已知函数y＝ m 的图象如图所示，以下结论：①
x m<0；②在每个分支上，y随x的增大而增大；③若点A(－ 1，a)、点B(2，b)在图象上，则a<b；④若点 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
－4k＋b＝2
k＝－1
∴
，解得
，
2k＋b＝－4
b＝－2
∴一次函数的解析式为y＝－x－2；
(2)∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝－2，
人教版九年级下册数学反比例函数知识点总结及典型题
人教版九年级下册数学知识点总结第二十六章反比例函数一、反比例函数的定义(k为常数，k≠0，x≠0）函数，叫做反比例函数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范一般的，形如y=kx围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。
其中k叫做反比例系数。
反比例函数的表达式也可以写成下面是一些常见的形式1.y=kx−1(k≠0）2．xy=k(k≠0）因为在反比例函数的解析式y=k（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数x的解析式。
因而只要给出一组x或者y的值或图像上任意一点的坐标，然后代入y=k中即可求出k的值，进而确x定反比例函数的解析式。
练习1.若函数y=(m−1)x m2−2是反比例函数，则m的值是 .的自变量x的取值范围是 .练习2.函数y=3x−2二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
注意：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，一般根据自变量大小从左至右用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，图像与坐标轴无限接近但不能与坐标轴相交。
练习4．画反比例函数y＝的图象．（1）列表（请填空）；x﹣4﹣3﹣2﹣11234y（2）描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）；（3）点（12，）在y＝的图象上吗？为什么？练习5．问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．练习6．将函数y＝的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是．三、反比例函数的性质1.图像的形状：|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远，图像的弯曲度越小；|k|越小，反比例函数的图象离坐标轴的距离越近，图像的弯曲度越大。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)复习讲义及例题和习题(含答案)
第二十六章 反比例函数本章知识结构图：中考说明中对本章知识的要求：考试内容A 层次B 层次C 层次反比例函数能结合具体情境了解反比例函数的意义;能画出反比例函数的图象;理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式;能用反比例函数的知识解决有关问题主要内容：1.定义：一般地，形如)0(≠=k k x ky 是常数，且的函数，叫反比例函数. 反比例函数的解析式有三种形式：（1）xky =（k ≠0的常数）；（2）k xy =（k ≠0的常数）；（3）1-=kx y （k ≠0的常数）.2. 反比例函数的图象及性质：（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大；（3）反比例函数图象的两个分支无限接近x 轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交；（4）反比例函数的图象是对称图形，反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形：①)0(≠=k x ky 是轴对称图形，其对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）。
③xky x k y -==和在同一坐标系中的图像关于x 轴、y 轴成轴对称。
（5）反比例函数的几何意义：在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上任取一点M ，从几何意义上看，从点M 向两轴作垂线，两垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积为定值k ；（6）k 越大，双曲线越远离原点。
3.反比例函数在代数、几何及实际问题中的应用。
四、例题与习题：1．下面的函数是反比例函数的是 （ ）A ． 13+=x yB ．x x y 22+= C ． 2xy =D ．xy 2=2．用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（）A ．为定值，与成反比例B ．为定值，与成反比例C ．为定值，与成正比例D ．为定值，与成正比例3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当310m V =时，气体的密度是（ ）A ．5kg/m 3B ．2kg/m 3C ．100kg/m 3D .1kg/m 34． 已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（ ）B ．C ．D ．5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ．6．点在反比例函数的图象上，则 ．7.点（3，－4）在反比例函数ky x=的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ）A.（3,4）B. （－2，－6）C.（－2，6）D.（－3，－4）P I R 2P I R =P I R P 2I R P I R P 2I R a h a (231)P m -，1y x=m =8．已知某反比例函数的图象经过点()m n ，，则它一定也经过点（ ）A ．()m n -，B ．()n m ，C ．()m n -，D ．()m n ，9．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ．10.已知n 是正整数，n P (n x ，n y )是反比例函数xky =图象上的一列点，其中1x 1=，2x 2=，…，n x n =，记211y x T =，322y x T =，…，1099y x T =；若1T 1=，则921T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是_________.11．在平面直角坐标系中，将点(53)P ，向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数ky x=的图象上，则此函数的图象分布在第 象限．12.对于反比例函数()，下列说法不正确的是（ ）A. 它的图象分布在第一、三象限B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形D. 每个象限内，随的增大而增大13． 一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．14．已知反比例函数y ＝x2k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）．（A ）k ＞2 （B ） k ≥2（C ）k ≤2（D ） k ＜215．若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限16.若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是（ ）A.-1B.3C.0D.-317．若点00()x y ，在函数ky x=（0x <）的图象上，且002x y =-，则它的图象大致是（ ）18．设反比例函数中，在每一象限内，随的增大而增大，则一次函数的图象不经过()xk y 2=0≠k k k y x ky x=(3)m m ，0m ≠)0(≠-=k xky y x k kx y -=A ．B ．C ．D ．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限19．如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数ky x=的图象大致是（ ）20．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（ ）A ．b c>B ．b c<C ．b c=D ．无法判断21．已知点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-6，y 3）分别为函数xky =（k<0）的图象上的三个点．则y 1 、y 2 、y 3的大小关系为 （用“<”连接）．22.在反比例函数的图象上有两点A ，B ，当时，有，则的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、23．若A (，)、B (，)在函数的图象上，则当、满足______________________________________时，＞.24． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．25．在平面直角坐标系xoy 中，直线yx =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ．26．如果函数x y 2=的图象与双曲线)0(≠=k xky 相交，则当0<x 时，该交点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限27.在同一平面直角坐标系中，函数xy 1=与函数x y =的图象交点个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个28.函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-12my x-=()11,x y ()22,x y 120x x <<12y y <m 0m <0m >12m <12m >1x 1y 2x 2y 12y x=1x 2x 1y 2y mx y =xky =m k xxxx．D ．29．在同一坐标系中，一次函数(1)21y k x k =-++与反比例函数ky x=的图象没有交点，则常数k 的取值范围是．30．如图，直线)0(>=k kx y 与双曲线xy 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别为A ()11,y x ，B ()22,y x ，则1221y x y x +的值为（）A ． －8B ．4C ． －4D ． 031．已知反比例函数2y x=，下列结论中，不正确的是（ ） A ．图象必经过点(12)，B ．y 随x 的增大而减少C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <32．已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ） A ．1y <- B ．1y ≤- C ．1y ≤- 或0y > D ．1y <-或0y ≥33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是_____________．34．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数xky =过点A ，则K 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-435.过反比例函数(0)ky k x=>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.36．如图，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =．37．在反比例函数4y x=的图象中，_4-1-1yx第32题图第34题图第33题图第36题图阴影部分的面积不等于4的是（ ）A ．B ．C ．D ．38．两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．39．如图，第四象限的角平分线OM 与反比例函数()0≠=k xky 的图象交于点A ，已知OA=23，则该函数的解析式为（ ）A ．xy 3=B ．xy 3-= C ．xy 9=D ．xy 9-=40.如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k的值和Q 点的坐标分别为______________.ky x =1y x=（第38题图）第39题图41.当m 取什么数时，函数2)1(--=m xm y 为反比例函数式？42.已知反比例函数102)2(--=m x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式.43．平行于直线y x =的直线l 不经过第四象限，且与函数3(0)y x x=>和图象交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，AC x ⊥轴于点C四边形ABOC 的周长为8．求直线l 的解析式．44．已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．45.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A （-6，-2）、B （4，3）两点.（1）求出两函数解析式；（2）画出这两个函数的图象；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？46．如图，直线y ＝x ＋1与双曲线x2y =交于A 、B 两点，其中A 点在第一象限．C 为x 轴正半轴上一点，且S △ABC ＝3．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在坐标平面内，是否存在点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．47．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与y kx =5ky x-=k 0k ≠11()A x y ，22()B x y ，5ky x-=12x x <12y y ，3(0)x x>（第47题）t 的函数关系式为tay =（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?48．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程的解看成函数的图象与函数的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）49．如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置213x x -=-21y x =-3y x =-1y x=210x x --=x 4y x=y x=不再改变，A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)．(1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为 A( ， )、B( ，)和C(，)；(2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船 的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。
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第11讲 反比例函数
1．(2016·毕节)如图，点A 为反比例函数y ＝－4x
图象上的一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△ABO 的面积为( D )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
2．(2016·连云港)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是( B )
A ．y ＝3x
B ．y ＝3x
C ．y ＝－1x
D ．y ＝x 2 3．(2016·孝感)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致是( B )
4．(2016·新疆)已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k x
(k ≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．(2015·武汉)在反比例函数y ＝
1－3m x
图象上有两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是( B )
A ．m ＞13
B ．m ＜13
C ．m ≥13
D ．m ≤13
6．(2016·怀化)已知点P(3，－2)在反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图象上，则k ＝－6． 7．(2016·益阳)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y ＝－3x
的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标答案不唯一，如：(－3，1)．
8．(2016·南宁)如图所示，反比例函数y ＝k x
(k ≠0，x ＞0)的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D ，若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为2．
9．(2016·泉州)已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)．
(1)求该函数的解析式；
(2)若将点P 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴方向平移n(n>0)个单位得到点P′，使得点P′恰好在该函数的图象上，求n 的值和点P 沿y 轴平移的方向．
解：(1)设反比例函数的解析式为y ＝k x
.将点P 的坐标代入解析式，得k ＝2×(－3)＝－6. ∴该函数的解析式为y ＝－6x
. (2)由题意，点P′的横坐标为－1.
∵点P′恰好在该函数的图象上，
∴y P ′＝－6－1
＝6. 故n ＝6－(－3)＝9，且点P 沿y 轴平移的方向是向上．
10．(2016·德州)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
(1)观察表中数据，x ，y (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
解：(1)由表中数据得xy ＝6 000，∴y ＝6 000x
. ∴y 是x 的反比例函数，且函数关系式为y ＝
6 000x . (2)由题意，得(x －120)y ＝3 000，
将y ＝6 000x 代入，得(x －120)·6 000x
＝3 000. 解得x ＝240.经检验，x ＝240是原方程的根．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
11．(2016·常德)如图，直线AB 与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的解析式．
解：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b.
把A(－2，0)，B(0，1)代入一次函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.
∴一次函数的解析式为y ＝12
x ＋1. 把C(4，n)代入一次函数解析式，得n ＝3，
∴C(4，3)．
设反比例函数的解析式为y ＝m x
. 把C(4，3)代入反比例函数解析式，得m ＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y ＝12x
. 12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1＝ax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)与反比例函数y 2＝m x
(m 为常数，且m ≠0)的图象交于点A(－2，1)、B(1，n)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OA 、OB ，求△AOB 的面积；
(3)直接写出当y 1＜y 2＜0时，自变量x 的取值范围．
解：(1)由题意，点A(－2，1)在反比例函数图象上，
∴1＝m －2
，m ＝－2. ∴反比例函数解析式为y 2＝－2x
. 又∵点B(1，n)也在反比例函数图象上，
∴n ＝－21
＝－2.∴B(1，－2)． ∵点A ，B 在一次函数y 1＝ax ＋b 的图象上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2a ＋b ，－2＝a ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.
∴一次函数解析式为y 1＝－x －1.
(2)设线段AB 交y 轴于C ，∴OC ＝1.分别过点A ，B 作AE ，BF 垂直于y 轴．
∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC
＝12OC·AE ＋12
OC·BF ＝12×1×2＋12
×1×1 ＝32
. (3)当y 1＜y 2＜0时，x ＞1.
13．(2016·黄冈模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F 在x 轴的
正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数y ＝k x
(k ≠0，x ＞0)的图象过点B ，E.若AB ＝4，则k 的值为
14．(2016·扬州)如图，点A 在函数y ＝4x
(x ＞0)的图象上，且OA ＝4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则△ABO 的周长
为
15．如图，在函数y ＝8x
(x>0)的图象上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝4，S n ＝8n （n ＋1）．(用含n 的代数式表示)
16．如图，若双曲线y ＝k x
与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC ＝3BD ，则实数k
的值为 4
17．如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝k x 相交于A ，B 两点，A 点的坐标为(1，2)，根据图象直接写出当mx ＞k x
时，x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1．。