初中数学竞赛专题培训(19)：特殊化与一般化
解决问题的两柄利剑：“特殊化”与“一般化”
殊 化” 将 抽象 的字 母 ， 转 化 为具 体 的数 字 ， 问
一
、
特殊化 ： 退 一步 海 阔天 空
题 解决 自然 简 单 ． 当然 ， 虽 然“ 特殊化” 求 得
所 谓“ 特殊化” ， 可 以简 单 地 理 解 为 ： “ 从 答 案 ， 但 我们 不 能 放弃 探 寻一 般 情 形 的解 题
一
般 问题 中抽取 特 殊 情 形 ， 充 分 利 用 特 殊 情 路 径 ． 上述 求 解 过 程 之 所 以 “ 流畅” ， 是 因 为
形 的简 单 性 去 认 识 复 杂 事 物 ． ” 学会 “ 特 殊 将 三个 相 等 的对 数 式 均 取 了特 殊 值 “ 一１ ” ， 化” 能 将 抽 象 的数 学 命 题 变 得 具 体 而 简 单 ， 我 们 尝试用 字母 “ 一 （ ＞Ｏ ） ” 代替 “ 一１ ” ．
ｌ ｏ ｇ ｃ ＜Ｏ ” 如何 加 工 呢？ 如果 我 们 没有 思 路 ， 可 以采 用“ 特殊 化 ” 的手 段． 三 个 相 等 的对 数 值 都小 于 ０ ， 不 妨取 “ 一１ ” （ 这 样最 简 单 ） ． 即：
到数 学试 卷 时 ， 总感 觉这些题都是 新 的， 心
中不无 感 慨 ： 是命题 老师太厉 害了， 还 是 数
ｃ一
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由 ａ 专 一 （ 吉 ） ＞ （ 告 ） 一 口 专 一 按原 来 的顺 序 构 成 的 数 列 ｛ ｎ 一 ） 成 等 差 数
（ ） 。 ‘ ＜ （ ） 一 ｃ 告 ， 得 ： ６ １ ＜ ａ １ ＜ ｃ ÷ ．
Ｉ新 高考 数 学
数学中的一般化与特殊化例谈
数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。
关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。
在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。
但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。
一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。
利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。
例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。
命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。
(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。
由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。
这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。
这项发现并非只有理论上的价值。
事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。
显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。
例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。
分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。
【精选】浅谈一般化、特殊化
东北师范大学远程与继续教育学院网络教育本科毕业论文题目浅谈一般化,特殊化学生姓名熊辉专业数学教育年级0402级学习中心陕西汉中教育学院奥鹏学习中心 [8]学号04025042704045指导教师沈广艳通讯地址陕西省南郑县黄官中学2006年12月10 日浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学熊辉[摘要]：特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。
[关键词]：一般化特殊化抽象认识作用反思启示1 对一般化、特殊化的基本认识1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用．具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式．文[1]1．1．1 “一般化”(generalization)也可称为“弱抽象”，指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例．由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程；另外，除真实的事物和现象以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”和“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程．弱抽象在数学中有着十分广泛的应用．例如，数学中有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就可看成一个“弱抽象概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的．例如，如果用符号“—（-）→”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有(图1)：对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此为定义构建出新的、更为一般的对象．1．1．2 “特殊化”(specialization)也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例．例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例．与弱抽象的情况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子．一般地说，这往往是与概念的澄清(分化)直接相联系的．就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合．强抽象的最终表现形式也是较为简单的．但是，就实际的数学研究过程而言，这又往往并非是现成概念的简单组合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论．具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形中引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象．例如：通过曲线(点)与方程(数组)之间建立对应关系，我们就可依据方程的类别(一次方程、二次方程)去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的．1．1．3 弱抽象和强抽象的关系文[2]第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法．从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程．由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解．用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高一些．弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而其实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念，更贴近学生的思维水平，更容易理解。
5.3__数学中的_一般化与特殊化方法
§5.3 一般化与特殊化方法
例8、证明：任何四面体中，一定有一个顶点，由它出
归为该特殊情况来求解的。如在例1中任取圆桌
径为1米，硬币直径为2厘米，得到另一特殊问题，
但其解法难于利用和推广。
§5.3 一般化与特殊化方法
例2、在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线， 如果它把正方形分成面积相等的两部分，证明这条曲线的长 度不小于1。
分析：满足题设的两点，所在位置可分为：
①两点在单位正方形的一组对边上；
§5.3 一般化与特殊化方法
特殊化的关键是能否找到一个最佳的特殊化
问题。
先看一个古老而著名的难题——“摆硬币”。
例1、两人相继往一张圆桌上平放一枚同样 大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的 硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而 使对方没有位置再放，谁就获胜，试问是先放者 获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？
x1x2
1
逆推，去分母、比较，（1）即可得证，但这一证法
不能推广到一般的n，即它只具特殊性而无一般性。
这是因为
若采取§添5项.的3办法一，般由算化术xx—与i2i —特x几i 何殊2平x化均i 不方等式法得
x x2 1 2x1x x1 2 2x22x12x2
2
从而推出（2），显见此证法具有一般性，从这一
§5.3 一般化与特殊化方法
当时有人向一位有才能的数学家提出这一难题时，引 出了如下一段有趣的对话。
数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一枚 硬币，那么先放者获胜。
提问者：这还用你讲？简直是废话！ 数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决 将导致一般情况的解决。 提问者：怎么解决？ 数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我就 可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中心就行， 硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。
特殊化类比与普遍化
特殊化\类比与普遍化作者：傅世球来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第05期杜客君老师的题为“由特殊化想到的解题方法” ［1］一文, 读后很受启发,并联想到笔者1987年编的教材《中学数学教材教法》笫二章笫71页的“严谨性与量力性相结合” 中对一道课本题的证法,笔者还想补充几种证法,以便开阔数学教师与中学生的证题思路.1 从杂志上的一道题谈特殊化、类比与普遍化文［1］中的例1是:己知abc=1, 求1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1的值, 若将例1特殊化, 从数值特殊化到命题特殊化即可得出例2．例2 已知ab=1,求1a+1+1b+1=?按特殊化取值a=b=1, 1a+1+1b+1=11+1+11+1=12+12=1.也可得命题的特殊化, 华罗庚教授说的: “要善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”什么是特殊化呢？所谓特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小集合, 或仅仅一个对象.［2］简言之, 特殊化是从一般命题过渡到特殊命题的一种思维方法. 普遍化与特殊化是相互联系, 不可分割的．又按命题的普遍化得例3例3已知abcd=1, 求证:1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1.什么是普遍化呢？普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合. ［3］事实上, 从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理．要类比, 必须有类比对象(或叫类比概念), 从已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的1a+1+1b+1=1到1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1=1再到1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1也是类比对象, 再仔细分析, 要想得到精确的类比, 由两个分式的和为1再到三个分式的和为1, 再到四个分式的和为1, 最后,就是n个分式的和为1．但是类比不是证明, “类比就是相似比较.”G•波利亚又说“如果把这种猜测的似真性当作肯定性, 那将是愚蠢的, 但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”［4］, 又说“清晰的类比较模糊的相似更有价值”．波利亚说：“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别力和好运气.但是,当我们成功地解决了一个好问题之后,我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长.找到一个以后,你应当在周围找找；很可能在附近就有几个.”G•波利亚说:“在求解所提出问题的过程中,我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果,或者可能三者同时利用.”［5］下面来证明用类比方法来发现的一系列命题．先看例2的证明.方法1 (直接通分法)(b+1)（a+1）(b+1)+(a+1)(b+1)(a+1)=(b+1)ab+(a+b)+1+(a+1)ab+(a+b)+1=1+a+b+1ab+(a+b)+1=ab+(a+b)+1ab+(a+b)+1=1.方法2 (间接通分法)当第一个分式的分子、分母同时乘以b有间接通分的功能bb(a+1)+1b+1=bab+b+1b+1=b1+b+1b+1=b+1b+1=1．方法3 第一个分式分母中用ab来替换1, 第二个分式的分子、分母同乘以a，1a+1+1b+1=1a+ab+1b+1=1a(1+b)+aa(b+1)=a(b+1)a(1+b)=1.方法4 由已知条件ab=1可推出a=1b,并进行代入,可得1a+1+1b+1=11b+1+1b=bb+1+1b+1=1．用类比来思考问题,例1［1］也至少有4种证明方法,在此仅给出提示,详细证明由读者完成．证法1 (直接通分法)留给读者完成．证法2 (间接通分法)笫一个分式的分子与分母同乘以c, 第二个分式的分子与分母同乘以ac,第三个分式中的1用abc替换．证法3: 当已知条件abc=1可推出bc=1a,第二个分式中的bc用1a代替.证法笫一个分式的分子、分母中的1用abc替换, 笫三个分式的分母中的ac用1b替换, 而c用1ab来替换．再来看上述例3的证法,在此仅给出提示,详细由读者完成.证法1 (直接通分法)留给读者完成．证法2 (间接通分法)各分式中笫一个分式分母中的abcd=1替换, 笫三个分式乘以ac,笫四个分式乘以abc．证法3: 用替换d=1abc,cad=1b,cd=1ab．所以原式是成立的．2从思维发散性还可以得出的新的命题例4 已知abc=1,证明aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1．从思维发散性看, 条件相同, 结论不同的数学题是发散的, 即不可能是唯一的. 用特殊化思维来看, 令a=b=c=1时, 例4的发现及证明是显然的. 若令a=2,b=1,c=12也是满足题设所要求的, 读者可自己验证一下.验证两遍, 甚至于100遍也不等于证明, 类比方法可以帮助我们探索到证明的方法.从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. 建立类比概念是从特殊命题到一般命题(或从一般命题到特殊命题)的关键.已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的aa+1+bb+1=1到aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1再到aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1也是类比对象,从两个分式之和为1到三个分式之和为1再到四个分式之和为1,最后到n个分式之和为1也都是类比概念. “清晰的类比较模糊的相似更有价值”简述例4的证明,详细步骤读者自己完成．证法1 (直接通分法)留给读者完成．证法2 (间接通分法) 笫一个分式中的1可用abc替换, 则笫一个分式中的分母有公因式a, 又有公因式bc+b+1, 这恰恰是第二个分式的分母, 再观察笫三个分式, 只要分子、分母同乘以b, 也可以达到三个分式间接通分的目的．证明3:(间接通分法)bc=1a,c=1ab,第二个分式中bc用1a替换,第三个分式中c用1ab替换,就能得到证明.根据“具体问题要具体分析”, 类比还可以得出几种证明方法, 读者不妨自己试试看．试问, 用特殊化还可以得出什么命题呢？例5 已知ab=1, 求证:aa+1+bb+1=1.证法1 (直接通分法) 略.证法2 (间接通分法)第一个分式中的1用ab替换aa+1+bb+1=aa+ab+bb+1=1.看来间接通分法比直接通分法简洁、漂亮.证法3 用1b替换a,aa+1+bb+1=a1b+1+bb+1=abb+1+bb+1=ab+b.b+1=1.无论是用ab替换1, 或者是用1b替换a, 都是间接通分, 它都比直接通分法是具有创造性, 什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的(智力价值、理论价值、经济价值) 的思维才是创造性思维. 对学生来说, 一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就, 而只是对已知东西的再发现, 如上面的间接通分也可以看作是创造性思维．创造性思维是思维活动的一种, 它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案, 而是从问题的本身去进行分析, 进行一系列探索性思维活动, 将已有的思维形式和思维方法去大跨度地迁移, 从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法．例6已知abcd=1,求证:aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1．证明2 (间接通分法) 证明中笫一个分式中的1用abcd替换, 笫三个分式乘以ab, 第四个分式乘以abc,aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=aabc+ab+a+abcd+bbcd+bc+b+1+abcabcd+bcd+bc+b+abcdab2cd+ab.cd+b2c2+bc=aa(bc+b+1+bcd)+bbcd+bc+b+1+abc.a(acdb+bcd+bc+b)+abcda(bcd+bc+b+1)=1bc+b+1+bcd+bbcd+bc+b+1+bcbcd+bc+b+1+bcdbcd+bc+b+1=1.证明3 用替换d=1abc,bcd=1a,acd=1b,cd=1ab.aabc+ab+a+1+b1a+bc+b+1+c1b+1ab+c+1+1abc1c+1bc+1abc+1=aabc+ab+a+1+ababc+ab+a+1+abca+1+abc+ab+1abc+ab+a+1=a+ab+abc+1abc+ab+a+1=1所以原等式成立综上所述, 我们引出了创造性思维的定义, 既从特殊化、类比和普遍化中可发现很多命题, 又从发散性思维中构造出很多命题, 既开阔了教师的思维, 更开阔了学生的思维, “类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础,而且还有证明真理的方法论意义.”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础,相似性的存在提供了类比的可能性,而差异性的存在又限制着类比的范围.如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性,那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用;反之,如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性,那么就会陷入“不可知论”的泥坑.［6］”首先我们看历史上类比在科学研究上起什么作用, 荷兰物理学家与数学家惠更斯在比较声与光现象之后, 证明了这两种现象具有一系列相同的性质: 声与光都具有一种直线传播规律, 反射规律, 折射规律和干扰规律, 使他从声波的概念用类比思想方法推理而获得光波的概念, 用类比思维和数学计算发现海王星的科学家开普勒称类比是自己“最好的老师” 和“自然秘密的参加者” 哲学家康德说:“每当理智缺乏可靠的论证的思路时, 类比这方法往能指引我们前进.”数学家拉普拉斯说:“甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳与类比.”其次, 数学的创造, 发现过程, 有两个方面的精髓: 内容与结果; 思想与方法. 高斯说:“凡有自尊心的建筑师, 在瑰丽的大厦建成之后, 决不会把脚手架留在那里.” 这就是说结果留下, 方法如同脚手架要拆走, 恰恰是类比的思想方法要留在学生的脑子里. 类比的思想方法就是脚手架, 素质教育要培养开拓型, 创新型人才, 必须学会类比的思想方法.G•波利亚也说过类似的话:“解答的最终形式会被记下来, 可是原来那个善变的方案和有利或不利的证据多半或完全被忘掉了. 人们可以看得见留下来的是建立起来的大厦, 但是建立大厦所需要的脚手架都被搬走了” 为了使学生知其然, 又知其所以然, 一定要在教学过程中, 再现脚手架, 它是数学本质, 数学实质的再现．参考文献［1］杜客君. 由特殊化想到的解题方法［J］. 中学数学杂志,2011,(8)：51．［2］G•波利亚.怎样解题［M］.北京：科学出版社,1982:190．［3］G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:107．［4］G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1984:43．［5］G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:43．［6］傅世球.中学数学教学的艺术［M］.长沙:湖南教育出版社∶73．作者简介：傅世球,1941年3月生, 湖南省麻阳县人,1963年8月毕业于贵州大学数学系, 曾任怀化学院数学系副主任、退休后曾任吉首大学特聘教授. 1993年被评为全国教育系统劳动模范, 同年享受国务院特殊津贴,1994年获曾宪梓教育基金三等奖. 出版《中学数学教学的艺术》、《初等数论》、《构造法解数学题》、《数学教学艺术导论》、《中学数学思维策略与解题技巧》等26部书. 在《课程. 教材. 教法》、《数学通报》、《数学教育学报》、《中学数学杂志》等全国39家杂志社发表数学教研论文140篇.。
数学竞赛解题策略——特殊问题一般化
数学竞赛解题策略——特殊问题一般化
江素萍;方向东
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】特殊问题一般化是指将一个特殊问题转化为一个一般问题来处理．一方面，由于特殊问题的结构过于简单，使得它不能反映有关问题的原貌，而将其一般化，可使问题顺利获解；另一方面，有些特殊问题经过一般化后须再进行特殊化才能使问题得以解决．一般化的实质是为特殊问题寻找赖以成立的大前提，而这个大前提就是一般性命题．由于前提蕴含条件，因此只要一般性命题得证或得解，【总页数】2页(P40-41)
【作者】江素萍;方向东
【作者单位】浙江温岭市第二中学,317500;浙江温岭市第八中学,317500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.解决问题的两柄利剑:“特殊化”与“一般化” [J], 朱静
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4.数学竞赛中最值问题的解题策略 [J], 谭祖春
5.数学竞赛中操作变换问题的解题策略 [J], 李文溢;南秀全
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特殊问题一般化例题
特殊问题一般化是一种解决问题的策略，它通过将特定问题的解决方案推广到更广泛的情境中来实现问题的解决。
以下是一个特殊问题一般化的例题，以及相关的讨论和解答：例题：问题描述：一个学生正在参加数学竞赛，他需要在规定时间内解答一道复杂的数学题。
他发现自己在解题过程中遇到了困难，无法继续进行。
特殊问题：学生遇到解题困难。
一般化问题：如何帮助学生解决解题困难？讨论：1. 我们可以提供一些解题技巧和策略，帮助学生更好地理解题目，找到解题的突破口。
2. 我们可以与学生一起分析题目中的已知条件和未知量之间的关系，并尝试用不同的方法来解决问题。
3. 我们可以引导学生进行分步解题，逐步解决复杂问题，而不是一次性完成所有步骤。
4. 我们可以给予学生更多的时间来思考问题，帮助他们逐渐找到解题的方法。
解答：1. 提供解题技巧和策略：我们可以向学生介绍一些基本的数学解题技巧和策略，例如使用代入法、化简法等，帮助学生更好地理解题目并找到解题的突破口。
同时，我们也可以鼓励学生自己探索解题方法，并给予他们足够的时间来思考和尝试。
2. 分析题目中的关系：我们可以引导学生分析题目中的已知条件和未知量之间的关系，帮助他们建立数学模型并尝试用不同的方法来解决问题。
3. 分步解题：复杂的数学题通常包含多个步骤，我们可以通过分步解题的方式来帮助学生逐步解决问题。
每一步都要确保学生理解清楚后再进行下一步，并给予学生足够的时间来思考和尝试。
4. 给予更多时间：在考试或竞赛中，学生可能会因为时间紧迫而感到焦虑和紧张。
因此，我们可以在考试或竞赛前给予学生更多的时间来思考问题，帮助他们逐渐找到解题的方法。
同时，我们也可以在平时的训练中逐渐增加问题的难度和复杂性，以帮助学生适应更高级别的挑战。
通过以上解答，我们可以将特定学生的解题困难一般化到更广泛的情境中，即如何帮助学生解决数学难题。
这将有助于我们在不同的场合和情境中应用类似的解决方案，从而更好地帮助学生解决数学问题。
数学中的一般化与特殊化例谈
数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。
关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。
在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。
但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。
一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。
利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。
例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n+++当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。
(2)考察下列n的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n+++∴由命题2能推出命题1。
由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。
这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。
这项发现并非只有理论上的价值。
事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。
显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。
例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。
分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。
中考数学专题复习特殊与一般思想课件
A
E P B
┓
F
通过等面积法解决问题。
思想方法：转化思想
C
D
用特殊方法解决一般问题型
例2.（2015•南昌）我们把两条中线互相垂直的三 角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中， AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE , 垂足为P.像 △ABC这样的三角形均为“中垂三角形”. 设BC= a , AC= b , AB= . （1）如图1，当∠ABE=45°， c 2 2 时，
,,
1 11 1 3 5 2 3 5
…
,
1 11 1 5 7 2 5 7
,
50 1 1 1 1 101 … 则 1 3 3 5 5 7 99 101
1 1 1 1 … 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
D
A
P
B
图2用特Biblioteka 方法解决一般性问题例1. （1）已知等腰直角三角形的两直角边AB=AC=5， P是斜边BC上一个的动点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则PE+PF =____ 5 .
A
F
5
E B P
5
C
用特殊方法解决一般问题型 （2）若等腰直角三角形改成等腰三角形，且两
24 腰AB=AC=5，底边BC=6， ①过B作BD ⊥AC于D，则BD=_______. 5 24 ②过P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，则PE+PF=___. 5
(3)第几个图形中有2016个小圆圈？说明理由．
3n 3 2016 n 671
类比归纳猜想型
3. （2015•德州） （1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点， ∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
特殊化与一般化
由于矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，人们认 识事物第一规律是从特殊到一般。 因此，“特殊化”是发源于认识论的通用方法，也 是以屈求伸、欲进先退的辨证方法。
特殊化猜想的常用模式有：
1、检验特例 2、考察极端 3、举反例 4、构造特殊的辅助问题
1、检验特例
检验特例常常是解决一般问题的起点，检验特例是 解题特别有用的手段。 什么 是特例？？？？ 特例是相对于“一般”而言，特例的含义很广，相 对于不同的问题，特例可以使特殊值、特殊函数、 特殊体、特殊命题、特殊问题等等。
因它过点（- 2，4），所以 2 2 （ - 2 - 8） - 4 - 6） （ - 2 - 12 - 26） 0 （
得 5，代入所求圆的方程：
2 2 （x - 8） y - 6） （x 3y - 26） 0 （ 5
即x 2 y 2 - 11x 3y - 30 0
一般化猜想的常用模式是：
5、构造一般的辅助问题 发明一个一般问题是解决特殊问题的一种成就，越 一般的问题可能越容易解决。 构造一般问题的主要手段有：归纳、扩张、抽象化、 放宽条件等等。
例7： 53 63 73 83 203 的值。
现在猜S（n）： 解： S（ ） 13 12 1
?1检验特例?2考察极端?3举反例?4构造特殊的辅助问题4构造特殊的辅助问题?构造一个容易的期望小的特殊的辅助问题常常是解决困难的期望大的一般的原问题的踏脚石
第二章 数学思想方法
第一节猜证结合思想 1.8特殊化与一般化
问一：什么是特殊化方法？
特殊化方法：特殊化就是从特殊推测一般。 华罗庚：要善于“退”，足够的“退”，退到最原 始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。 这个“退”就是从“一般”退到“特殊”。 故我们把特殊化方法叫做：退法。
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初中数学竞赛专题培训第十九讲特殊化与一般化
特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．
另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．
1．特殊化、一般化和类比推广
命题1在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=AD·BD．
这是大家所熟知的直角三角形射影定理．
类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．
命题2在△ABC中，∠C=90°， CD是斜边上的中线(图
2-103)，则有CD=AD=BD．
这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此
定理中仍保持CD2=AD·BD)．
再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3．
命题3在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有
这是一个新命题，证明如下.
引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
因为
所以
我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．
命题4在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有
证引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为
CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC，
而
所以
所以
即
命题5在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2—106)，则有
证只要令命题4之结论中AD为-AD，则有
我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD │=0)，那么无论是①式或②式都有
AB2=BC2+AC2.
这就是我们熟知的勾股定理．
命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．
定理在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，
时，取“-”号，∠B为钝角时，取“＋”号)．
证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．
为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得
得
所以
b2=a2+c2-2cn．
同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．
2．特殊化、一般化在解题中的应用
例1设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且
求证：x2y2z2w2=1
分析与解我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原
来命
(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为
又因为
到原命题，由
容易想到变形
去分母变形为
①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到
x2y2z2w2=1.
例2设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)．
解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为
s=l＇+2πR．
(2)再回到原题，我们猜想：
s=l＋2πR．
以下证实这个猜想是正确的．
为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为
由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．
事实上，引O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇
O1为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以
l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．
所以，所求皮带长为
s=l＋2πR．
例3设a1，a2，…，a n都是正数．试证：
证欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
把②变形为
即证
由于④中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
事实上，由(a-b)2≥0有
a2-ab≥ab-b2，
根据⑤，④显然成立，因为
≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0，
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
练习十九
1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：
＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．
2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．
3．在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．
4．如果△ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l
的长度．。