2018届二轮复习 选考系列：绝对值不等式 学案(全国通用)

绝对值不等式
【考点梳理】
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a －b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．
【考点突破】
考点一、绝对值不等式的解法
【例1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解析] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1，
3x －2，－1＜x ≤3
2，－x ＋4，x ＞3
2，
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1
的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3或x ＞5
. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3或1＜x ＜3或x ＞5
. 【类题通法】
1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．
2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解． 【对点训练】
设函数f (x )＝|x －a |.
(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0，2]，1m ＋1
2n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4. [解析] (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥7
2；
②当12＜x ＜7
2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4， 不等式的解集为∅；
③当x ≤1
2时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4， 解得x ≤－1
2.
综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
72，＋∞.
(2)证明：因为f (x )≤1，即|x －a |≤1，
解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0，2]． 所以⎩⎨⎧
a －1＝0，
a ＋1＝2，解得a ＝1，
所以1m ＋1
2n ＝1(m ＞0，n ＞0)， 所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1m ＋12n
＝2＋m 2n ＋2n
m ≥2＋2
m 2n ·2n m ＝4，
当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号.
考点二、绝对值三角不等式性质的应用
【例2】对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .
(1)求m 的值；
(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m .
[解析] (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立， 即M ≤
|a ＋b |＋|a －b |
|a |
对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于
或等于右边的最小值.
因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， |a |≥|b |时，
|a ＋b |＋|a －b |
|a |
≥2成立，
也就是
|a ＋b |＋|a －b |
|a |
的最小值是2，即m ＝2.
(2)|x －1|＋|x －2|≤2.
法一：利用绝对值的意义得：12≤x ≤5
2.
法二：①当x ＜1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，所以x 的取值范围是1
2≤x ＜1. ②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 得x 的取值范围是1≤x ≤2.
③当x ＞2时，原不等式为(x －1)＋(x －2)≤2,2＜x ≤5
2.
综上可知，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
12≤x ≤52. 【类题通法】
1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.
(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．
2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏． 【对点训练】
对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．
[解析] 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪a －12≤12，
所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －12＋52 ≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪
⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6，
则|4a －3b ＋2|的最大值为6，
所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞).
考点三、绝对值不等式的综合应用
【例3】已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；
(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得2
3<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2. 所以f (x )>1
的解集为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
23<x <2
. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎨⎧
x －1－2a ，x <－1，
3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，
－x ＋1＋2a ，x >a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a －13，0，
B (2a ＋1,0)，
C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝2
3(a ＋1)2.
由题设得2
3(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞). 【类题通法】
1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f (x )为分段函数；(2)数形结合求△ABC 的三个顶点坐标，进而得出△ABC 的面积；(3)解不等式求a 的取值范围． 【对点训练】
已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范
围．
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝1
2时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.
①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).。