第二章小结
量子力学第二章小结.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
2 2
2 k3 2E / 2
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a) U (b) E
2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
数值分析-第二章-学习小结
数值分析-第二章-学习小结(总9页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。
而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。
这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。
高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。
顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。
但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。
直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。
其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。
这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。
迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。
二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。
迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。
Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。
高中数学必修一第二章小结
2．点击对数运算 (1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的 和(差)化成积(商)的对数； 将积(商)的对数拆成对数 的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法． (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用 lg 5 ＋lg 2＝1 来求解． (3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简 求值． (4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的 对数符号都有意义时，等式才成立．
比较下列各组数的大小： 1 － 0.9, 0.48 (1)4 8 ， 1.5； 2 (2)log20.4，log30.4，log40.4. [思维点击] (1)观察三个数的特点，都可以化为 以2为底的指数式，故可以利用函数y＝2x的单调 性解决； (2)通过换底公式都可以用函数y＝log0.4x的倒数表 示三个数，再通过幂函数y＝x－1的单调性解决．
5．探究指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式、 对数不等式的解法主要是“同底法”， 即把不等式两边化为同底数， 再根据相应函数的单 调性，运用转化和化归思想转化为一般不等式求 解．同时，要注意转化的等价性.
关于指数、对数的运算
【点拨】 指数、对数的运算应遵循的原则 1．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先 转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若 出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分 的目的． 2．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化， 前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结 合对数恒等式，换底公式．这是对数计算、化简、 证明常用的技巧．
(2)由 (1)可知 x ＋ 1 2 1 1 1＋ f(x)＝ log ＝ log (x>1)， x － 1 2x－ 1 2 2 令 u(x)＝1＋ (x>1)，对任意的 1<x1<x2，有： x－ 1 2 2 1 ＋ u(x1)－ u(x2)＝1＋ － x － 1 x － 1 1 2 2x2－x1 ＝ . x1－1x2－1
信号与系统第二章小结
信号与系统第二章 连续时不变系统的时域分析小结一、系统的初始条件)()()(t y t y t y zs zi +=，令-=0t 和+=0t ，可得)0()0()0(---+=zs zi y y y)0()0()0(++++=zs zi y y y对于因果系统，由于激励在0=t 时接入，故有0)0(=-zs y ；对于时不变系统,内部参数不随时间变化，故有)0()0(+-=zi zi y y 。
因此)0()0()0(+--==zi zi y y y)0()0()0(+-++=zs y y y同理)0()0()0()()()(+--==zi j zi j j y y y)0()0()0()()()(+-++=zs j j j y y y对于n 阶系统,分别称)1,,1,0)(0()(-=-n j y j 和)1,,1,0)(0()(-=+n j y j 为系统的-0和+0初始条件。
二、零输入响应)()()()()(01110111p D p N a p a p a p b p b p b p b t f t y p H n n n m m m m =++++++++==---- )(t y zi 满足算子方程0)()(=t y p D zi ，0≥t即零输入响应)(t y zi 是齐次算子方程满足-0初始条件的解。
)(t y zi 的函数形式与齐次解的形式相同。
简单系统的零输入响应1、)()()(t ce t y p p D t zi ελλ-=⇒+=2、)()()()()(102t e t c c t y p p D t zi ελλ-+=⇒+=三、单位冲激响应)()()(t ke t h p k p H t ελλ-=⇒+= )()()(t k t h kp p H δ'=⇒=)()()(t k t h k p H δ=⇒=)()()()(t kte t h p k p H t ελλ-=⇒+= 四、零状态响应)()()(t h t f t y zs *=五、完全响应)()()(t y t y t y zs zi +=六、卷积1、定义：⎰∞∞--⋅=*τττd t f f t f t f )()()()(21212、性质：交换律：)()()()(1221t f t f t f t f *=*结合律：)()]()([)]()([)(321321t f t f t f t f t f t f **=**分配律：)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+*时移性质：)()()(21t y t f t f =*,则)()()()()(0201021t t y t f t t f t t f t f -=*-=-*3、常用信号的卷积公式 )()()(t f t t f =*δ)()()(t f t t f '='*δ)()()()1(t f t t f -=*ε)()()(t t t t εεε=*)()1(1)()(t e at e t at at εεε---=* 七、例题例1已知某连续系统的微分方程为)(3)(2)(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+''若系统的初始条件1)0()0(='=--y y ,输入)()(t e t f t ε-=,求)(t y zi ，)(t y zs ,)(t y 。
第二章晶体与晶体结构小结
小结第二章晶体与晶体结构内容:金属的晶体结构：合金的晶体结构实际金属的晶体结构第一节金属的晶体结构晶体与非晶体1. 晶体：指原子呈规则、周期性排列的固体。
常态下金属主要以晶体形式存在。
晶体具有各向异性。
非晶体：原子呈无规则堆积，和液体相似，亦称为“过冷液体”或“无定形体”。
在一定条件下晶体和非晶体可互相转化。
2. 区别(a)是否具有周期性、对称性(b)是否长程有序(c)是否有确定的熔点(d)是否各向异性3金属的晶体结构晶体结构描述了晶体中原子（离子、分子）的排列方式。
1）理想晶体——实际晶体的理想化·三维空间无限延续，无边界·严格按周期性规划排列，是完整的、无缺陷。
·原子在其平衡位置静止不动2）理想晶体的晶体学抽象（晶体）空间规则排列的原子→刚球模型→晶格（刚球抽象为晶格结点，构成空间格架）→晶胞（具有周期性最小组成单元）。
晶体学参数：a,b,c,α,β,γ晶格常数：a,b,c晶系：根据晶胞参数不同，将晶体分为七种晶系。
90%以上的金属具有立方晶系和六方晶系。
立方晶系：a=b=c，α=β=γ=90︒六方晶系：a1=a2=a3≠ c, α=β=90︒, γ=120︒原子半径：晶胞中原子密度最大方向上相邻原子间距的一半。
晶胞原子数：一个晶胞内所包含的原子数目。
配位数：晶格中与任一原子距离最近且相等的原子数目。
致密度：晶胞中原子本身所占的体积百分数。
二.常见的金属晶格晶胞晶体学参数原子半径晶胞原子数配位数致密度2 8 68% BCC a=b=c,α=β=γ=90oFCC a=b=c, α=4 12 74%β=γ=900HCP a=b c,a/2 6 12 74% c/a=1.633, α=β=90o, γ=120o第二节实际金属的晶体结构理想晶体+晶体缺陷——实际晶体实际晶体——单晶体和多晶体单晶体：内部晶格位向完全一致，各向同性。
多晶体：由许多位向各不相同的单晶体块组成，各向异性。
丁同仁常微分方程教程第二章小结
−( Q
∂M ∂N − ) ∂y ∂x = −1 M
仅与 y 有关，故方程有积分因子 µ ( y ) = e ∫
− dy
= e− y
从而方程 −e − y + e− y ( x + 2 y )dy = 0 为全微分方程 其通解为： − ∫x e − y dx + ∫y ( x0 + 2 y )dy = c1
z =y−y1
Riccati方程不恒为零。观察其一 特解为y = ϕ ( x)
1
dy = p ( x) y 2 + q ( x ) y + r ( x), dx p( x)
习题课 目的：①对 1-5 节内容即初等积分法求解方法的归纳，并通过几个 典型例题的讲解，使大家认识到一阶方程解法的灵活性，多样性。 ②关于一阶方程的通解公式和通解结构定理， 也是一重要的
变量分离方程
∆=0
dy = f ( x)ϕ ( y ) dx
y = c(x)e ∫
− p( x)dx
线性方程
dy = p ( x) y + q ( x) dx
1 µ= ϕ1(y)
dy a x + b1 y + c1 = f( 1 ) dx a2 x + b2 y + c2
a1 b1 a2 b2
µ=
u= y x
从而 δ lim ce x →+∞
∫x0 a (τ ) dτ
≤ lim c e− k ( x − x0 ) = 0
δ x →+∞
再讨论前一项，首先，由积分性质
−
e
∫x0 a (τ ) dτ
x
∫
x
x0
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
第二章实数复习小结
第二章实数复习小结一、 知识结构二、 基础知识回顾 1．无理数的定义（ ）叫做无理数 2．有理数与无理数的区 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。
而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。
3.常见的无理数类型 (1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。
如：35,3。
4．算术平方根。
（1） 定义： （2） 我们规定：（3） 性质：算术平方根a 具有双重非负性：① 被开方数a 是非负数，即a ≥0.② 算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。
也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是（ ）， （ ）没有算术平方根。
5．平方根 （1） 定义：（2） 非负数a 的平方根的表示方法:（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。
( )只有一个平方根，它是( )。
( )没有平方根。
说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是 ：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。
要特别注意： a ≠±a 。
6.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同：③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。
7．开方运算：（1） 定义： ① 开平方运算： ② 开立方运算：（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。
8．a 2的算术平方根的性质①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2a =（ ） 一般的，当a<0时，2a =-a.我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a. 综上所述，有a (a ≥0) 2a =│a │=-a (a<0)从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)9．立方根（1） 定义：______________________________. （2） 数a 的立方根的表示方法:_________（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________ （4） 两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333==10．实数（1） 概念：________和________统称为实数。
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教
二次方程、二次不等式（简称： “三个二” ） 来设置，而且往往是压轴题，因此，作为重 点知识， 有必要再次研究二次函数， 以掌握 并加深对这一部分知识理解， 对于二次函数 的定义、 图象和性质及二次函数的最值， 在 理解的基础上，并加强记忆和运用. 二 例题选取 例 1. 求下列函数的定义域： （1）y= 4 x 3 ;（2）y=
富县高级中学高一 级 数学 科目集体备课教案 中心发言人：屈小娟
课题 函数小结 1.了解本章知识网络结构. 2.进一步熟悉函数有关概念. 3.熟悉二次函数的基础知识及运用. 4.进一步认识函数思想. 5.加强数学应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力. 突出本章重、难点内容
王新敞
奎屯 新疆
授课人：
x 1 x 2
;
学
(3)y=
1
1 x3
x xΒιβλιοθήκη 4；过(4)y=
6 5x x
2
程
例 2.指出下列函数的单调区间，并说明在 单调区间上函数是增函数还是减函数： （1） f(x)=-x 2 +x-6; (2)f(x)=- x ; (3)f(x)=
2 x 2
;
(4)f(x)=-x 3 +1
教 后 反 思 备课组长签字：
1 课时
三维 目标
重点 难点 教法 教具
通过例题分析突出函数思想及数形结合思想
学法 个人主页
教
学
过
程
一 知识构建 1. 概念 （1） 映射的定义 （2） 函数的概念 （3） 函数的单调性 （4） 函数的奇偶性 2. 方法总结 ⑴.相同函数的判定方法⑵.函数表达式 的求法⑶.反函数的求法⑷.函数的定义域 的求法⑸.函数值域的求法⑹.单调性的判 定法⑺.奇偶性的判定法⑻.图象的作法与 平移⑼.函数的应用举例(实际问题的解 法).解决应用问题的一般程序是： ①审题：弄清题意、分清条件和结论、 理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言， 利用相应的数学知识模型. ③求模： 求解数学模型， 得到数学结论. ④还原：将用数学方法得到的结论，还 原为实际问题的意义 3. 二次函数的基础知识及运用 二次函数虽然是初中内容，但由于应用 广泛性， 且是解决许多数学问题的基础， 在 高考中属于重点考查的内容.在高考试题中 常有直接考查二次函数的题目， 而且还有一 定的难度.题型有选择题、填空题，也有解 答题， 近几年解答题常围绕二次函数并结合