第一部分 第二章 章末小结 知识整合与阶段检测
19-20 第2章 章末小结与测评
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植被与地理环境各要素之间的相互关系
要素 自然环境要素对植被的影响 植被对自然环境要素的作用
山区植被比平原地区丰富；山 植被覆盖率高的地区外力作用
地形 地的阳坡和迎风坡植被比阴坡 小，不利于外力作用地貌的形
和背风坡稠密
成
不同气候条件形成的植被类型 植被可降低气温年较差和日较
气候
不同
差，增加湿度
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1．相邻的两条河流，在发育的过程中，低位河若具有较强的侵 蚀力，河谷上源不断加长，直到与高位河相遇，进而袭夺其河水的 现象称为河流袭夺。下图为河流袭夺前后的示意图。据此完成(1)～ (3)题。
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(1)甲、乙两河 ( ) A．乙河流量大，袭夺甲河 B．甲河地势高，袭夺乙河 C．乙河侵蚀力大，袭夺甲河 D．甲河的河道平直，袭夺乙河
5⑬亚热带植被 ⑭分布Fra bibliotek⑮矿物质 ⑯生物 ⑰地形
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[学思心得]
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专题整合 巧 归纳
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外力作用及其空间分布规律和相应的地貌表现 1.不同区域的主导性外力作用不同 (1)干旱、半干旱地区以风力作用为主，多风力侵蚀地貌和风力 堆积地貌。 (2)湿润、半湿润地区流水作用显著，多流水侵蚀地貌和流水堆 积地貌。 (3)高山地区多冰川作用，多角峰、冰斗、“ U ”形谷、冰碛丘 陵等地貌。 (4)沿海地区多海浪作用，多海蚀柱、海蚀崖、沙滩等地貌。
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2．同一种外力作用在不同区域形成不同的地貌 (1)流水作用：主要表现为上游侵蚀，中游搬运，下游沉积。因 此，上游为高山峡谷，中游河道变宽，下游为冲积平原、河口三角 洲、冲积岛等(如下图所示)。
第1部分 第一章 章末小结 知识整合与阶段检测
C．物体有加速度，速度就增加
D．物体速度很大，加速度可能为零
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[解析]
加速度描述的是速度变化的快慢，加速度的
大小是速度变化量Δv和所用时间Δt的比值，并不只由Δv来 决定，故选项B错误；加速度增大说明速度变化加快，速度 可能增大加快，也可能减小加快，故选项A、C错误；加速 度大说明速度变化快，加速度为零说明速度不变，但此时 速度可能很大，也可能很小，故选项D正确。 [答案] D 返回
3.0 解析： 由图像可知物体在前 2 s 内的加速度大小 a1＝ m/s2 2 ＝1.5 m/s2，故 A 正确；在第 3 s 内物体做匀速直线运动，x ＝vt＝3 m，C 错。从第 3 s 末到第 7 s 末物体做减速运动， －3 加速度 a2＝ m/s2＝－0.75 m/s2，B 正确，由于|a1|＞|a2|， 4 D 项正确。
小才等于路程。
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3．速度和速率的区别与联系
物理量 比较项 物理意义 速度 速率
描述物体运动快慢和方 描述物体运动快慢的 向的物理量，是矢量 物理量，是标量
分类
决定因素
平均速度、瞬时速度
平均速率、瞬时速率
平均速度由位移和时间 平均速率由路程和时 决定 间决定
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物理量
比较项 方向
速度 平均速度的方向与位移方向 相同，瞬时速度的方向为物 体在该点的运动方向无方向 (1)单位都是m/s
答案：C
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图乙是路线指示标志，表示到青岛还有160 km，则这两个 数据的物理意义分别是 ( )
图1－2 返回
A．80 km/h是瞬时速度，160 km是位移
B．80 km/h是瞬时速度，160 km是路程
C．80 km/h是平均速度，160 km是位移
第一部分 第三章 章末小结 知识整合与阶段检测
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三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的 所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C＝0上，另两 类 分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点 的 坐标满足Ax＋By＋C>0，另一侧的半平面的点的坐标满 返回
(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直 线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，直线作 图时边界直线画成虚线，当我们在坐标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界 直线，此时边界直线画成实线； (3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分． 返回[说明]来自利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小值是 2 p(简记：积定和最小)； (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最 p2 大值是 4 (简记：和定积最大)．
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章末 第 三 章 不 等 式 小结 核心要点归纳
知 识整 合与 阶段 阶段质量检测
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一、不等关系与不等式
1．作差比较法比较两实数大小的依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
⇒ab>cd;
(7)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)； (8)可开方性：a>b>0⇒ a> b(n∈N*，n≥2)． n n
高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用章末
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书P36][对应学生用书P36](1)柯西不等式取等号的条件实质上是：a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n.这里某一个b i 为零时，规定相应的a i 为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例1] 若n 是不小于2的正整数，求证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. [证明] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋...＋2n ]≥n 2， 于是1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)≥n 2n ＋＋n ＋＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜ 2＋12＋…＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋2＋1n ＋2＋…＋1n2＜ n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. [例2] 设a ，b ，c ∈R＋，且满足abc ＝1，试证明：1a3b ＋c ＋1b3a ＋c ＋1c 3a ＋b≥32. [证明] ∵abc ＝1，则所求证的不等式变为b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ＋a 2b 2ac ＋bc ≥32. 又(ab ＋bc ＋ca )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ac ＋bc ·ac ＋bc ＋bc ab ＋ac ·ab ＋ac ＋ac ba ＋bc ·ba ＋bc 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc [(ac ＋bc )＋(ab ＋ac )＋(ba ＋bc )]，∴a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ≥12(ac ＋bc ＋ab )≥ 12·33a 2b2c 2＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 原不等式得证.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3] 若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A ．78215B ．15782C ．3D ．253[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，∴3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.[答案] B[例4] 等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[解] 分别取OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12(1－x P －y P )2，2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2. 由柯西不等式，得[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12) ≥[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2，即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P1时，等号成立，即x P ＝y P ＝13时，面积和S 最小，且最小值为16.从而P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13时，这三个三角形的面积和取最小值16.[例5] 已知实数x 、y 、z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[解] 由柯西不等式：[x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7，所以7a 6＝7，得a ＝36，当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①、②得原不等式成立.1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7] 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )，∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0，x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝112.当且仅当3x ＝1－3x 即x ＝16，y 有最大值112.[例8] 若a >b >0，则代数式a 2＋1ba －b 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 依题意得a －b >0，所以代数式a 2＋1ba －b≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b >0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4，选C.[答案] C[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[对应学生用书P38]一、选择题1．若α为锐角，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α的最小值为( )A ．2＋3 3B ．3＋2 2C ．2D ．3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝⎛⎭⎪⎫1＋1cos α≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin αcos α2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2.答案：B2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625解析：2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.答案：B3．设x 、y 、z ，满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.322 D ．6 解析：构造两组数：x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋(3z )2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤18，∴x ＋2y ＋3z ≤32，当且仅当x ＝y ＝z ＝22时取等号．答案：A4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )A ．17元B ．19元C ．21元D ．25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)． 答案：A 二、填空题5．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 解析：设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则0<1a n ≤1a n －1≤…≤1a 1，∵反序和≤乱序和≤顺序和，∴最小值为反序和a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n＝n .答案：n6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41. 答案：417．函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________．解析：y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222x ＋321－2x [2x ＋(1－2x )] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ×2x ＋31－2x ×1－2x 2＝25，当且仅当x ＝15时取等号．答案：258．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by )·(bx ＋ay )的最小值为________．解析：[(ax )2＋(by )2]·[(bx )2＋(ay )2]≥(ax ·bx ＋by ·ay )2＝(ab ·x ＋ab ·y )2＝ab (x ＋y )2＝ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：4 三、解答题9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时等号成立，此时最小值为16.10．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a ＋2b ＋c )2. ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋3z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：根据柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤1×14＝14， 则－14≤x ＋2y ＋3z ≤14. 又∵|a －1|≥x ＋2y ＋3z 恒成立， ∴|a －1|≥14.则a －1≥14或a －1≤－14， 即a ≥1＋14或a ≤1－14. 所以a 的取值范围为(－∞，1－14]∪[1＋14，＋∞)．[对应学生用书P51](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a ，b 均为正实数，且a ＋2b ＝10，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．30解析：根据柯西不等式有 (a 2＋b 2)(1＋22)≥(a ＋2b )2＝100.∴a 2＋b 2≥20，当且仅当a ＝b2＝2时取等号．答案：C2．已知x >0，y >0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由4x ＋3y ≥212xy ，∴12xy ≤6，∴xy ≤3，故选C. 答案：C3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－4解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝ log 2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案：B4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2C ．116D ．4936解析：设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116当且仅当x 1＝1，x 2＝2，x 2＝3时取等号．答案：C5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1 B ．10 C ．11D ．21解析：∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24时取等号．答案：D6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ． 2D ．16解析：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，因此若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则a ≤4，故应选B.答案：B7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．65 B ．635 C ．3635D ．6解析：由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635当且仅当x ＝y 3＝z 5＝635时取等号．答案：C8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5] 解析：|3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10∴－10≤3x ＋2y ≤10. 答案：C9．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A ． 5 B ． 3 C ．2 3D ．32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3， 即所求最大值为 3. 答案：B10．若a >0，b >0，c >0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．3－1 B ．3＋1 C ．23＋2D ．23－2解析：∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，且a ＋b >0，a ＋c >0，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2a ＋b a ＋c＝24－23＝23－2＝2(3－1)(当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立)，∴2a ＋b ＋c 的最小值为23－2，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3 ≤22＋－2x ＋2x －＝3，当且仅当x ＝53时取等号．答案： 312．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1213．已知x 2＋2y 2＝1，则x 2y 4－1的最大值是________． 解析：∵x 2＋2y 2＝1，∴x 2＋y 2＋y 2＝1. 又x 2·y 4－1＝x 2·y 2·y 2－1，∵x 2·y 2·y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋y 233＝127， ∴x 2y 4－1≤127－1＝－2627.即x 2y 4－1≤－2627当且仅当x 2＝y 2＝13时取等号．∴x 2y 4－1的最大值是－2627.答案：－262714．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________． 解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤ 12＋22×x －52＋6－x2＝ 5.答案： 5三、解答题(本大题共有4小题，共50分) 15．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，求证： 1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc. 证明：设a ≥b ≥c >0，则a 3≥b 3，∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2a ＝ab (a ＋b )， 同理：b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1aba ＋b ＋abc ＋1bc b ＋c ＋abc＋1ca c ＋a ＋abc＝1a ＋b ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ＝1abc.16．(本小题满分12分)已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解：(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132＝12. ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3.17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.18．(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn－n的最小值．解：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，所以(2n－1)⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·⎝⎛12－α1＋⎭⎪⎫12－α2＋…＋12－αn≥⎝⎛2－α1·12－α1＋2－α2·⎭⎪⎫12－α2＋…＋2－αn·12－αn2＝n2，所以y＋n≥2n22n－1，y≥2n22n－1－n＝n2n－1.当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝1n时等号成立，从而y有最小值n2n－1.。
高中物理3-1 第二章章末知识整合
第二章章末总结一、内接法、外接法指电流表的接入电路的两种形式。
(1)概念解析：内外接：指电流表接在电压表所测范围内。
特点：电流表分得一小部分电压（称分压作用），电压表读数为电流表跟待测元件的电压之和。
外接法：指电流表在电压表接线点之外。
特点：电压表分得一小部分电流（称分流作用），电流表读数为电压表跟待测元件的电压之和。
（2）选择原则： 伏安电路待测设为Rx ，若Rx 相对较大，则安培表内接，若Rx 相对较小，则外接，若 不大不小，则内外接均可。
若给出电流表内阻R A 以及电压表内阻R V ，则可以计算中值阻值V A R R 进行比较。
Rx>>V A R R ,内接法，测量值比实际偏大，Rx<<V A R R ，外接法，测量值比实际偏小，概括为：大内大，小外小。
(这里的远大于远小于指的是不能相差一点点，精确的式子是A Rx R >用内接，2AR Rx ≤用外接。
)二、限流式、分压式指的是变阻器接入电路的两种形式 （1）概念解析：限流接法，即变阻器串联入电路，变阻器内电流处处相等，则称为限流接法。
分压接法：变阻器一部分阻值跟待测电路并联，变阻器内电流不相等，则称为分压接法。
（2）选择原则：a.没特殊要求，则一般使用限流接法，因为接法方便，省电b.要求电压变化范围大，则使用分压式 c ．要求电压从零开始调节，则使用分压式 d ．当变阻器阻值较小，比所连接的外电阻小，选分压接法能方便调节变化的读数 e ．当限流式变阻器调至最大时，电流电压仍大于电路元件承受范围，用分压式。
具体见下表：三、仪器读数规则一、10分度仪表读数：电压表、电流表若用0~3V、0~3A量程，其最小刻度（精确度）分别为0.1V、0.1A，为10分度仪表读数，读数规则较为简单，只需在精确度后加一估读数即可。
二、5分度仪表读数：电压表若用0~15V量程，则其最小刻度为0.5V，为5分度仪表读数，所读数值小数点后只能有一位小数，也必须有一位小数。
第1部分 第二章 章末小结 知识整合与阶段检测
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(2)甲车追上乙车时，位移关系 x 甲′＝x 乙′＋L1 甲车位移 x 甲′＝v 甲 1 2 t2＋ at2 ， 2
乙车位移 x 乙′＝v 乙 t2， 将 x 甲′、x 乙代入位移关系，得 1 2 v 甲 t2＋ at2 ＝v 乙 t2＋L1， 2
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直线运动；初位置坐标为x0 动；初速度为v0
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x－t图
v－t图
⑤交点的纵坐标表示三个运 ⑤交点的纵坐标表示三个运
动质点相遇时的位置
动质点的速度相同
⑥t1时刻物体的速度为v1(图
⑥t1时间内物体的位移为x1
中阴影部分面积表示质点在 0～t1时间内的位移)
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2．根据图像采集信息时的注意事项：
(1)认清坐标轴所代表的物理量的含义，弄清物体的运
图2－3 甲追上乙时，x甲＝x0＋x乙，且t甲＝t乙，根据匀变速 直线运动、匀速直线运动的位移公式列出方程，即能解 得正确的结果。
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(1)设甲经过时间 t 追上乙， 1 则有 x 甲＝ a 甲 t2，x 乙＝v 乙 t。 2 1 根据追及条件，有 a 甲 t2＝v 乙 t＋200 m 2 代入数值，解得 t＝40 s 和 t＝－20 s(舍去)。 这时甲的速度 v 甲＝a 甲 t＝0.5×40 m/s＝20 m/s。 甲离出发点的位移 1 1 2 x 甲＝ a 甲 t ＝ ×0.5×402 m＝400 m。 2 2
方x0处，则以下说法错误的是 ( A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇 B．若x0<x1，两车相遇2次 C．若x0＝x1，两车相遇1次 )
图2－5
D．若x0＝x2，两车相遇1次
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解析：若x0＝x1，则甲、乙两车速度相同时，乙车追上甲
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结知识整合与阶段检测缺答案
［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。
当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。
（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。
第一章 章末小结 知识整合与阶段检测
检
测
核心要点归纳 阶段质量检测
一、集合的含义与表示 1．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性和 无序性．确定性是指元素是否属于集合是确定的；互异性 指某一集合中的元素互不相同；无序性则是指集合中的元 素没有顺序． 2．集合有四种表示方法：自然语言表示法、列举法、 描述法和Venn图法．一般利用列举法和描述法表示集合， 它们各有特点．
1．解答集合(或两个以上集合)交、并集的运算时， 3．当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
程求解．另外，在处理有关含参数的集合问题时，要注意 3．当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
二、集合的基本关系 1．集合之间的关系是包含与被包含的关系，要区别于元 素与集合间的关系．集合间关系使用符号“⊆、 、 、＝”， 而元素与集合间的关系则使用“∈、∉”． 2．含n个元素的集合的子集个数为2n个，非空子集为 2n－1个，真子集个数为2n－1个，非空真子集个数为2n－2个． 3．当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集 合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
点击下列图片进 入阶段质量检测
谢谢观看
有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性．
无序性则是指集合中的元素没有顺序．
到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并 (2)如果集合是连续的无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直
11． ．解解答答A集集合合⇔((或或A两两个个⊆以以B上上，集集合合A))交交∪、、并并B集集的的＝运运算算B时时⇔，， A⊆B等，解答时应灵活处理．
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n＝1， (用 Sn 表示)1．等差与等比数列的概念
等差数列 如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的差都等于 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母q表示
3．数列的通项公式 如果一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系，可 以用一个公式an＝f(n)表示，那么这个公式就叫做这个数
列的通项公式．
[说明] 并不是每个数列都有通项公式，如果一个数列有
通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一个．
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4．数列的分类 (1)按照项数是有限还是无限来分：有穷数列、无穷数列． (2)按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数 列、摆动数列和常数列．递增数列与递减数列统称为单 调数列．
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(3)通项公式法：
an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列；
an＝cqn(c、q均为不等于0的常数)⇔{an}为等比数列．
(4)前n项和公式法：
Sn＝pn2＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列； Sn＝kqn－k(k、q为常数，且q≠0、1}⇔{an}为等比数列．
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6．等差与等比数列的常用性质
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性质 等差数列 等比数列
an＝am＋(n－m)d 或 d an＝amqn－m 或 qn－m＝ (1) an－am ＝ (n≠m) n－m 若 {an}、 {bn}是 等 差 数 an (n，m∈N*) am 若{an}、 bn}是等比数 {
an (2) 列，则{pan＋qbn}(p、q 列，则{an·bn}、{ } bn
为常数)仍是等差数列 等仍是等比数列
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性质
等差数列 若 m＋n＝p＋q(m， n，p，q∈N )，则
*
等比数列 若 m＋n＝p＋q(m，n， p，q∈N*)，则 am·n＝ a ap·q；特别地，若 m＋ a
2 n＝2p，则 am·n＝ap a
(3)
am＋an＝ap＋aq；特 别地，若 m＋n＝ 2p，则 am＋an＝2ap
公式一
公式二
nn－1 Sn＝na1＋ 2 d
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5．等差与等比数列的判定方法 (1)定义法： an＋1－an＝d(d 为常数)⇔{an}为等差数列； an＋1 an ＝q(q 为非零常数)⇔{an}为等比数列． (2)中项公式法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； a2 ＋1＝an·n＋2(an·n＋1·n＋2≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． a a a n
章末 小结 核心要点归纳
第 二 章 数 列
知 识整 合与 阶段 阶段质量检测
检测
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一、数列的概念与简单的表示法 1．数列的定义 按一定次序排成的一列数叫做数列，其一般形式为a1， a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以视为是以正整数集N*(或它的 有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变 量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数 值． 返回
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性质
等差数列 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则 ① Sk ， S2k － Sk ， S3k －
等比数列
设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，满 足(S2k－Sk)2＝Sk· 3k－S2k) (S
(4)
S2k， …， 构成的数列是等 差数列； Sn ②{ n }也是一个等差数列
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5．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它 的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
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6．数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系 (1)Sn＝a1＋a2＋…＋an(用 an 表示)．
S1 (2)an＝ Sn－Sn－1
定 同一个常数，那么这个数列就
义 叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差，公差通常用
字母d表示
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等差数列 符号 表示
等比数列
an＋1 an ＝q(非零常数) (n∈N*)
an＋1－an＝d(常数)
(n∈N*)
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2．等差与等比中项的概念 等差中项 在两个数a与b之间插入 一个数A，使a、A、b成 等差数列，则把A叫做a 与b的等差中项，记作 A＝ a＋b 2 等比中项
在两个数a与b之间插入
一个数G，使a、G、b成 等比数列，则把G叫做a 与b的等比中项，且有 G＝± ab
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3．等差与等比数列的通项公式
数列类型
通项公式
等差数列
等比数列
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
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4．等差与等比数列的前n项和公式
前 n 项和公式 等差数列 na1＋an Sn＝ 2 等比数列 na1q＝1， Sn＝a11－qn 1－q q≠1 na1q＝1， Sn＝a1－anq 1－q q≠1