2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题18统计与统计案例理20170508181
2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版
2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版2017------2018年高考真题解答题专项训练:概率与统计（理科）学生版1．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评0.40.20.150.250.20.1率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk= 1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk= 0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．3．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工4．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1, 2, ⋯, 17）建立模型①：ŷ=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1, 2, ⋯, 7）建立模型②：ŷ=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．5．根据预测，某地第n(n∈N∗)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n={5n4+15,1≤n≤3−10n+470,n≥4，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=−4(n−46)2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？6．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：透视全国高考揭秘命题规律(六)含答案
透视全国高考揭秘命题规律（六）-—概率与统计(全国卷第18题)统计与概率(2015·高考全国卷Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组［50，60）[60,70)[70，80）［80，90）[90，100］频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图（2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【解】(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散．（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P（C A）的估计值为(0。
01＋0。
02＋0.03)×10＝0。
6，P（C B)的估计值为（0。
005＋0。
02)×10＝0。
25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．第一步:从统计图（频率分布直方图、茎叶图、扇形图、条形图、折线图等)提取相关的信息与数据。
第二步：根据统计原理和方法，理清统计量之间的关系.第三步：将问题“翻译”为“数据”，根据问题要求用数据刻画（或估计）问题.回归分析问题（2016·高考全国卷丙）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0。
【推荐】2017年全国高考考前解答题必考点(理数)命题揭秘之概率与统计：高考热点
纵观2012到2016年全国的高考试题从命题来看都会涉及到概率与统计的相关题目，分值也占据17分左右。
从题目的类型来看，以实际应用为主要出发点。
就考查内容而言, 以小题形式出现的是用概率定义或基本事件求事件概率；以大题形式出现的是统计与概率问题综合，列分布列、求期望方差等等。
考查学生对概念和应用基础性的认识，总体上概率与统计部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上：热点一、求随机事件的概率事件概率的计算，主要是古典概型问题和几何概型，当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，这就要用到互斥事件的概率加法公式或考虑其对立事件．例如以下问题：1.【2016高考新课标3】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M I N，中的一,个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）【答案】C【考点】古典概型．【名师点睛】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的．只2.【2014·新课标全国Ⅰ】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78 【答案】D【解析】由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78. 【考点】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．【名师点睛】本题主要考查古典概型、排列的应用，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、实际应用能力．求古典概型的概率只要求出基本事件总和与满足条件的基本事件数，则问题易解决．较为复杂的概率问题常常转化为几个互斥事件的和，或采用间接法，通过其对立事件的概率来求解。
2017年高考数学(理)热点+题型全突破 Word版含解析
压轴题高分策略之集合新定义数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．一、定义新概念创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．【典例1】【2017四川省成都市高三摸底】设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A．A＝N*，B＝N B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10} C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q【答案】D【典例2】【2017届宁夏银川一中高三月考理科数学】已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上，任意，不存在，不满足垂直对点集的定义；在另一支上对任意，不存在，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义，所以正确；对于③中，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于④中，如下图中直角始终存在，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点拨】本题主要考查了“垂直度点集”的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在，使得成立，是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．【典例3】【2017重庆市第八中学高三月考】定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．【答案】②【审题指导】（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.【变式训练】1.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( ) A ．{1,3,4}为“权集” B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1【答案】C2. 非空数集A 如果满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1A x ∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<； ③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈⋃； ④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C【解析】集合①，当22a -<<时为空集，所以集合①不是“互倒集”；集合②，2{|410}x x x -+<={|22x x <<1x <<，即122x <<1[,1)x e∈时，[,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时1(0,]y e ∈，所以集合③不是“互倒集”；集合④，2125[,)[2,]552y ∈ 25[,]52=且125[,]52y ∈，所以集合④是“互倒集”.故选C ． 二、定义新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．【典例4】 【2017天津市耀华中学高三开学考试】设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q 等于( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}【答案】B【解析】由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}；由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}．由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}．【典例5】 【2017江西省新余市第一中学高三调研】设,A B 是非空集合, 定义{}|,A B x x A x B =∈∉ 且,已知{}2|20,|A x x xB x y ⎧=--≤==⎨⎩,则A B = （ ）A ．∅B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．(]1,2【答案】C【解析】由题意可知()R A B A B Θ= ð，A=,B=(,1)-∞,故[1,)R B =+∞ð，所以()[1,2].R A B A B Θ== ð【典例6】 【2016届四川省成都外国语学校高三月考理科数学】用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C .若A={1,2},B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C(S)=（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B考点：1、新定义；2、一元二次方程【审题指导】 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题．通过以上类型可知，集合的新定义问题的解决方法是：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【变式训练】1. 对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)|M a b a =※16}b =中的元素个数是（ ）A.18个B.17个C.16个D.15个【答案】B.【解析】因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，116=16⨯，集合M 中的元素是有序数对（a,b ），所以集合M 中的元素共有82+1=17⨯个，故选B.2.定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()3n P A =⎡⎤⎣⎦；③用∅表示空集，若A B =∅ ，则()()P A P B =∅ ；④若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤若()n A -()1n B =，则()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其中正确的命题个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】试题分析：对于命题①，A A ⊆，因此()A P A ∈，命题①正确；对于命题②，若集合A 的元素个数为m ，则集合A 的子集共2m个，若()3n P A =⎡⎤⎣⎦，则23m =，解得2log 3m N =∉，命题②错误；对于命题③，若A B =∅ ，由于A ∅⊆， B ∅⊆，因此()P A ∅∈，()P B ∅∈，所以()()P A P B ∅∈⎡⎤⎣⎦ ，则()()P A P B ≠∅ ，命题③错误；对于命题④，若A B ⊆，对集合A 的任意子集E A ⊆，即对任意E ∈()P A ，则E B ⊆，则()E P B ∈，因此()()P A P B ⊆，命题④正确；对于命题⑤，设()n B n =，则()n A =1n +，则集合A 的子集个数为12n +，即()1222n n n P A +==⨯⎡⎤⎣⎦，集合B 的子集个数为2n ，即()n P B =⎡⎤⎣⎦2n ，因此()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，命题⑤正确，故正确的命题个数为3，选B. 考点：1.有限集合子集的个数；2.新定义。
2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版(优选.)
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2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题18 概率 文
专题18 概率 文【命题热点突破一】古典概型与几何概型例1、【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 【变式探究】三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为________． 【答案】25【解析】 三位学生两位老师站成一排，有A 55＝120（种）站法，老师站在一起，共有A 44A 22＝48（种）站法，故老师站在一起的概率为48120＝25.【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏【变式探究】已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上的点到直线l 的距离小于2的概率为________． 【答案】16【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题．计算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求．【举一反三】如图所示，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为( )A.117B.217C.317D.417【答案】B【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求．【变式探究】某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数：807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989 据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为( ) A ．0.15 B ．0.25 C ．0.2 D ．0.18 【答案】C【特别提醒】每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C 23×0.32×0.7＝0.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异．随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的．【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验 例2、某项比赛规则是：甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为23，负的概率为13，且各场比赛互不影响．已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示．(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差； (2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率． 【解析】：（1）由题中数据可知，x 甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，x 乙＝88＋84＋83＋92＋935＝88，所以s 2甲＝15×（9＋25＋4＋64＋4）＝21.2，s 2乙＝15×（0＋16＋25＋16＋25）＝16.4.（2）设“甲队中参加个人赛成绩为第i 名的队员在团体赛中获胜”为事件A i （i ＝1，2，3）. 由题意可知P （A 1）＝23，P （A 2）＝P （A 3）＝13，且A 1，A 2，A 3相互独立.设“甲队至少有2名队员获胜”为事件E ，则E ＝A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3， 故P （E ）＝23×13×23＋23×23×13＋13×13×13＋23×13×13＝1127.【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答．【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．故X 的分布列为所以E （X ）＝200×110＋300×310＋400×610＝350.【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差例3、【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .【答案】32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ======在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)C 448P X ==⨯=，239(2)()416P X ===， 则393128162EX =⨯+⨯=. 【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．所以X 的分布列为所以E （X ）＝1×16＋2×16＋3×23＝52.【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率．【变式探究】某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：(1)求上表中a ，b 的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间[108，112]内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间[110，112]内的有X 株，求X 的分布列和数学期望．（3）由频率分布表知树苗高度在区间[108，112]内的有9株，在区间[110，112]内的有3株，因此X 的所有可能取值为0，1，2，3.P （X ＝0）＝C 56C 59＝6126＝121，P （X ＝1）＝C 13C 46C 59＝45126＝514，P （X ＝2）＝C 23C 36C 59＝60126＝1021，P （X ＝3）＝C 33C 26C 59＝15126＝542.故X 的分布列为所以E （X ）＝0×121＋1×514＋2×1021＋3×542＝53.【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布．从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球．注意从摸球模型理解这两个分布．【变式探究】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．故ξ的分布列为故ξ的数学期望E(ξ)＝4×23＝83.【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差．【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题 例4、某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元．根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平．现有两种采摘方案：方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元． 根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响．(1)若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益； (2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理．所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)＝6×925＋3×1225＋1.5×425＝3.84，即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元．(2)茶厂若采用方案①，设茶厂13日采茶的预期收益为η万元，则η的可能取值为6和3. 因为P(η＝6)＝35，P(η＝3)＝25，所以η的分布列为所以η的数学期望E(η)＝6×35＋3×25＝4.8，所以若茶厂采用方案①，则采茶的总收益为6＋4.8＋3.84＝14.64(万元)； 若茶厂采用方案②，则采茶的总收益为6×3－3.2＝14.8(万元)． 因为14.64<14.8，所以茶厂采用方案②更合理．【易错提醒】 (1)对问题的实际意义理解不透，弄错ξ的取值；(2)求ξ取各个值的概率时出现计算方面的错误；(3)对采用方案①采茶的总预期收益的意义理解错误，不能正确求出采用方案①采茶的总预期收益；(4)找错两种方案优劣的比较标准．【变式探究】为迎接中秋节，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金m 元，正确回答问题B 可获奖金n 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大？因为E(ξ)－E(η)＝(m 4＋n 20)－(m 20＋n 5)＝4m －3n20，所以当m n >34时，E(ξ)＞E(η)，即先回答问题A ，再回答问题B ，该参与者获奖金额的期望值较大；当m n ＝34时，E(ξ)＝E(η)，无论是先回答问题A ，再回答问题B ，还是先回答问题B ，再回答问题A ，该参与者获奖金额的期望值相等；当m n <34时，E(ξ)<E(η)，即先回答问题B ，再回答问题A ，该参与者获奖金额的期望值较大． 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2.【2016高考新课标3】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和 平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D3.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D.4.【2016高考新课标2】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.5.【2016年高考北京】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 7.【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .【答案】32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ====== 在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)C 448P X ==⨯=，239(2)()416P X ===， 则393128162EX =⨯+⨯=.8.【2016高考新课标2】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 【答案】0.1【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1， 10.【2016高考山东】在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .【答案】3411.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .12.【2016高考新课标2】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.1020.051.23.a a a ⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 13.【2016年高考四川】（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．【答案】（Ⅰ）0.30【解析】14.【2016年高考北京】（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<. 【解析】设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 15.【2016高考山东】（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. （Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=, ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,()32321643434P X ==⨯⨯⨯=.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望01234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16.【2016高考天津】（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 17.【2016高考新课标3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a b =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨． 【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i ii i i iy t yt y y t t，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r ．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a， 所以，y 关于t 的回归方程为：t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.1．(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A ．1 B.1121 C.1021 D.521【答案】C2．(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．【答案】56【解析】 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.3．(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R )，若|z|≤1，则y≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π【答案】 B【解析】 由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π. 4．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312 【答案】 A【解析】 该同学通过测试的概率为p ＝0.6×0.6＋C 12×0.4×0.62＝0.648.5．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 【答案】C6．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【答案】 B【解析】 由题意，知P(3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.7．(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．8．(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3. 又P(X ＝1)＝16，P(X ＝2)＝56×15＝16，P(X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.9．(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．10．(2015·天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．11．(2015·山东，19)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E(X)．【解析】 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P(X ＝0)＝C 38C 39＝23，P(X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.12．(2015·湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.于是P(X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P(X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125，P(X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P(X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35.。
2017年高考数学考点解读命题热点冲破专题18统计与统计案例理
(2)依照这300个样本数据，取得学生每周平均参加体育运动时刻的频率散布直方图(如图18 7所示)，其中样本数据分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估量该校学生每周平均参加体育运动时刻超过4个小时的概率．
(3)在样本数据中，有60名女生每周平均参加体育运动的时刻超过4个小时，请画出每周平均参加体育运动时刻与性别的列联表，并判定是不是有95%的把握以为“该校学生每周平均参加体育运动的时刻与性别有关”．
A．1＋a，4B．1＋a，4＋a
C．1，4D．1，4＋a
解析∵x1，x2，…，x10的均值 ＝1，方差s ＝4，且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值 ＝ (y1＋y2＋…＋y10)＝ (x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝ (x1＋x2＋…＋x10)＋a＝ ＋a＝1＋a，其方差s ＝ [(y1－ )2＋(y2－ )2＋…＋(y10－ )2]＝ [(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s ＝4.应选A.
【答案】74
【解析】每8件产品抽取一件，编号为58的产品在样本中，那么样本中产品的最大编号为58＋16＝74.
【命题热点冲破二】用样本估量整体
【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时刻（单位：小时），制成了如下图的频率散布直方图，其中自习时刻的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).依照直方图，这200名学生中每周的自习时刻很多于22.5小时的人数是（ ）
答案B
6．(2021·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取假设干名志愿者进行临床实验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序别离编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是依如实验数据制成的频率散布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，那么第三组中有疗效的人数为( )
2017年高考数学深化温习命题热点提分专题18统计与统计案例理
1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数别离为( )
A．15,5,25B．15,15,15
C．10,5,30D．15,10,20
解析：先确信抽样比为 ＝ ，那么依次抽取的人数别离为 ×300＝15， ×200＝10和 ×400＝20.应选D.
④在回归直线方程 ＝0.1x＋10中，当x每增加1个单位时， 平均增加0.1个单位．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ①中的抽样方式是系统抽样，因此①不正确；依照方差的含义，②正确；③中P(ξ≥1)＝p，那么P(ξ≤－1)＝p，因此P(－1<ξ<0)＝ (1－2p)＝ －p，故③正确；由于x的系数为0.1，因此x每增加一个单位， 平均增加0.1个单位，故④正确．因此真命题的个数是3.
又x＝ >5.9，因此m0<me<x.
7．给出以下四个命题：
①质检员每隔10分钟从匀速传递的产品生产流水线上抽取一件产品进行某项指标检测，如此的抽样是分层抽样；
②将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
③设随机变量ξ服从正态散布N(0，1)，假设P(ξ≥1)＝p，那么P(－1<ξ<0)＝ －p；
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
依照上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 ＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
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专题18 统计与统计案例1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．15,5,25 B．15,15,15C．10,5,30 D．15,10,20解析：先确定抽样比为45900＝120，则依次抽取的人数分别为120×300＝15，120×200＝10和120×400＝20.故选D.答案：D2.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是( )A．125 B．5 5C．45 D．3 5解析：由茎叶图知平均值为114＋126＋128＋1324＝125，∴s2＝14[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.答案：C3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析：依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A.答案：A4．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )A．67 B．68C．68.3 D．71解析：设表中模糊看不清的数据为m .因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本中心(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.答案：B5．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．156．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的直方图如图所示，假设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x 【答案】D【解析】 由图知m 0＝5.将30名学生的得分从大到小排列，第15个数是5，第16个数是6，所以m e ＝5.5. 又x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230>5.9，所以m 0<m e <x.7．给出下列四个命题：①质检员每隔10分钟从匀速传递的产品生产流水线上抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；③设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)＝p ，则P(－1<ξ<0)＝12－p ；④在回归直线方程y ^＝0.1x ＋10中，当x 每增加1个单位时，y ^平均增加0.1个单位． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】 ①中的抽样方法是系统抽样，所以①不正确；根据方差的含义，②正确；③中P(ξ≥1)＝p ，则P(ξ≤－1)＝p ，所以P(－1<ξ<0)＝12(1－2p)＝12－p ，故③正确；由于x 的系数为0.1，因此x 每增加一个单位，y ^平均增加0.1个单位，故④正确．所以真命题的个数是3.8．已知总体中各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是( ) A ．10，11 B ．10.5，10.5 C ．10，10 D ．10，12 【答案】B9．某种产品的广告支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6.5.若要使销售额不低于100万元，则至少需要投入广告费为(x 为整数)( ) A ．10万元 B ．11万元 C ．12万元 D ．13万元【答案】D 【解析】 因为x ＝5，y ＝50，所以50＝6.5×5＋a ^，解得a ^＝17.5，所以回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5.由6.5x ＋17.5≥100，解得x≥16513，因为x 为整数，所以至少需要投入广告费为13万元．10．从气象意义上来说春季进入夏季的标志为：连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.4. 则肯定进入夏季的地区为( ) A ．甲、乙、丙 B ．甲、丙 C ．乙、丙 D ．甲 【答案】B11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，根据中间两组数据(4，3)和(5，4)求得的直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ^________b ，a ^________a ．(填“>”或“<”)【答案】< > 【解析】 方法一：画出散点图，粗略估计回归直线的位置，再画出过点(4，3)，(5，4)的直线，如图所示．由图易知b ^<b ，a ^>a.方法二：由公式可得b ^＝0.7，a ^＝0.35.由题意可得b ＝1，a ＝－1，所以b ^<b ，a ^>a.12．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1000户．从普通家庭中用简单随机抽样的方法抽取990户，从高收入家庭中用简单随机抽样的方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，请估计该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例是________． 【答案】5.7%【解析】 该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有99 000×50990＋1000×70100＝5700(户)，所以所占比例约为5700100 000＝5.7%.13．一个容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8且前4项和S 4＝28，则此样本数据的平均数和中位数分别是________． 【答案】23，23【解析】 设公差为d ，则a 1＋2d ＝8，4a 1＋6d ＝28，解得a 1＝4，d ＝2，所以此样本数据的中位数是a 10＋a 112＝a 1＋192d ＝4＋19＝23，平均数是S 2020＝a 1＋192d ＝23.14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间(满分150分)，为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第八组[130，140]．该图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．(1)求第七组的频率，并将频率分布直方图补充完整；(2)估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分(同一组数据使用中间值作代表)； (3)估计该校在这次考试中数学成绩在[100，140]的人数．解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率为1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.完整的频率分布直方图如下图所示．(2)该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分数为65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋115×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97.(3)数学成绩在[100，140]内的频率是(0.02＋0.006＋0.008＋0.004)×10＝0.38，所以该校这次考试中数学成绩在[100，140]内的人数约为2000×0.38＝760.15．从某大学随机选取7名女大学生，其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的有关数据如下表：(1)求出回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预测一名身高为172 cm的女大学生的体重．(2)b ^＝0.75>0说明身高x 每增加1个单位，体重y 就增加0.75个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．对于身高为172 cm 的女大学生，由回归方程可以预测其体重为0.75×172－70.5＝58.5(kg)． 16．在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中． ①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率； ②记抽取到数学课代表的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表仅供参考：②由题意知X 的可能取值为0，1，2. 依题意P(X ＝0)＝C 316C 318＝3551；P(X ＝1)＝C 216C 12C 318＝517；P(X ＝2)＝C 116C 22C 18＝151.从而X 的分布列为所以E(X)＝0×3551＋1×517＋2×151＝13.17.某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组对2014年全年的空气污染指数API 进行监测，下表是在这一年内随机抽取的100天的统计结果.（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气污染指数API （记为t ）的关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤t≤100，4t －400，100<t≤300，1500，t>300，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P 在区间（200，600]内的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.下面临界值表供参考：参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 010，z ＝y －5，得到下表2：(1)求z 关于t (2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x ·y ∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . 解析：(1)t ＝3，z ＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i ＝55， b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －b ^t ＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴z ＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2 010，z ＝y －5，代入z ＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 010)－1.4，即y ＝1.2x －2 408.4. (3)∵y ＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．19．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A ，B 进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A 和方案B 进行治疗，统计结果如下：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .11 使用方案A 组有效的频率为96120＝0.8；使用方案B 组有效的频率为7280＝0.9.方案B 组更有效． (2)K 2＝200× 96×8－24×72 2120×80×168×32≈3.571<3.841， 所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．。