4.1.1圆的方程课件

4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.
知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 思考5:当 D E 4 F 0或 D E 时， 0 2 2 方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0， 2 2 2 ( x a) ( y ，如何判 b) r y0)和圆C： 断点M在圆外、圆上、圆内？ (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？
理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
(x-a)2+(y-b)2=r2
o
r A
M
x
思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半 径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上， 则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ； 反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(xa)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这个圆 上吗？ y
r
A o x M
第四章 4.1 4.1.1
圆与方程 圆的方程 圆的标准方程
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？ 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
Hale Waihona Puke 知识探究一：圆的标准方程思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆？ 思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
y r A o x
理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程. y A
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
思考5:我们把方程 ( x a) ( y b) r 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的 标准方程，那么确定圆的标准方程需要 几个独立条件？
2 2 2
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆 称为单位圆，那么单位圆的方程是什 么？ x2+y2=1
思考7:方程 ( x a) ( y b) r ， 2 2 2 2 2 ( x a) ( y b) r ，( x a) ( y b) m 是圆方程吗？
y B
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
2 2
x 2 y 2 Dx Ey F 0 1.任一圆的方程可写成
的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当2 E 2 4F 0 时， D D E 方程表示圆心为 , ) ，半径为 (
2 2
1 2 2 D E 4F 2
的圆.
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
2 2 2
思考8:方程 y 4 ( x 1) 与 y 4 ( x 1) 表示的曲线分别是什么？
2
2
知识探究二：点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种 位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆 的位置关系？
A O OA<r O OA=r A O A
OA>r
o C B
x
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y
l A C x
o B
小结作业
(1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线， 在平面几何中，圆是怎样定义的？如何 用集合语言描述以点A为圆心，r为半径 的圆？ M
r
P={M||MA|=r}.
A
平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？ 思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆 的定义x，y应满足什么关系？
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？