三角函数诱导公式PPT 演示文稿(1)
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高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
《三角函数的诱导公式第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
3 2.
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； sin2 α＋π cos π＋α
(2)tan π－α cos3 －α－π tan －α－2π .
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α.
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题 转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函 数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打
对诱导公式理解不透致错
[错解]
典例 4 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－ cosθ，故填－cosθ.
[错因分析]
上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－ θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解]
cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.
第一章 三角函数
〔跟踪练习
4〕如果
cosα＝13，且
α
是第四象限角，则
22 sin(α＋π)＝__3____.
[解析] 由诱导公式二知，
高三数学复习课件：诱导公式(共32张PPT)
2 sin2 Asin A cos A3 cos2 A sin2 A cos2 A
2 tan2 A tan A3 tan2 A1
2
(
4 5
)2
(
4 5
)
3
63
(
4 5
)2
1
41
例1、已知 tan 2, 求下列各式的值： tan 1
(1)sin 3 cos ; sin cos 2 sin2 3 cos2
复习课
默写：
1、诱导公式（1）---（9） 2、诱导公式的总结口诀
学习目标：
1、掌握三角函数的诱导公式，并能用诱导公式解决问题 2、利用诱导公式、同角三角函数的关系式化简求值、证明
重点：
1、三角函数的诱导公式，用诱导公式解决问题 2、利用诱导公式、同角三角函数的关系式化简求值、证 明
难点：
利用诱导公式、同角三角函数的关系式化简求值、证明
tan(2 ） tan
公式5：
sin(） -sin
cos(） cos
奇变偶不变， 符号看象限！
tan(） tan （注意：把 看作是锐角
（其中 k Z ）: sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan sin( ） sin cos( ） -cos tan( ） tan
的值。
指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的 三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利 用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用 条件正切来表示。即先变形，后代入计算。
例:若tanA= 4 ,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A 5
的值。
解： 2sin2 A sin Acos A 3cos2 A
5.3.1诱导公式(第一课时)课件(人教版)
(
2
+ ) = 6 ,
(
2
=
+
+ ) = 6
= 1 , = 1 ，
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
sin( ) sin[ ( )] sin( ) cos
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan 负化正
tan( ) tan
与的终边关于x轴对称
与的终边关于y轴对称
大化小
(锐角)
典例精析
例1.利用公式求下列三角函数值：
8
16
(1) 225°；(2) ；(3) (−
3
从而得： ( − ) = ，
公式四 ( − ) = − ，
( − ) = − .
−
( , )
归纳总结
y
α的终边
P1 ( x, y )
r=1
α
O
x
A(1,0)
归纳总结
α
sin
cos α
3
2
2
2
1
根据三角函数的定义，得：
1
= 1 , = 1 ， = ；
1
2
( + ) = 2 , ( + ) = 2 ，( + ) = .
2
从而得：( + ) = −1 , ( + ) = 1 ，( + ) =
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
《三角函数的诱导公式(一)》课件
O
x
P 3 ( x, y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式（四）
P 4 ( x, y)
y
P 1 ( x, y)
O
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin 5
2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
3 sin 1320
1 2
7 2 sin 6
1 2
3 2
79 3 4 cos 2 6
3.化简
1 sin 180 cos sin 180
解： sin 180 sin 180
sin 180 sin sin ,
cos 180 cos 180
cos 180 cos ,
解答：作用是把求任意角的三角函数值转化为0到 2
角的三角函数值.
思考2:
给定一个角α .
（1）角π -α 、π +α 的终边与角α 的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α 的的终边与角α 的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
y
－ 的终边
r =1
α O
(1) cos 225
16 (3)sin 3
11 (2) sin 3
2 (1) cos 225 cos 180 45 cos 45 . 2
11 3 (2)sin sin 4 sin . 3 3 3 2
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
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sin x cos x
所以 g ( x)是偶函数。 练习：判断奇偶性 ② g ( x) ① f ( x) | sin x |
课堂小结
一、基本内容：
1.三角函数的四组诱导公式；
2.三角函数诱导公式的应用（求值、化简、证明）； 3.三角函数诱导公式的记忆方法。
二、思想方法：
1.数形结合 2.转化与化归
解： ①
f ( x) 1 cos( x) 1 cos x f ( x)
所以 f ( x) 是偶函数。 ② 因为函数 g ( x)的定义域为 R，且
g ( x) x sin( x) x ( sin x) ( x sin x) g ( x)
tan tan
思考：
O
x
与角终边有什么关系？
角的终边关于 轴对称
、
，
y
sin( ) sin
cos( ) cos 公式（三）
tan( ) tan
1 5 sin 2 练习： 6
_________
5 cos 6
3 2 _________
、
如图：
，
角的终边关于原点对称
角 的 终 边 P
y
P(cos , sin ) Q(cos , sin )
sin sin
O
x
思考：
与角终边有什么关系？
cos cos tan tan
Q 角的 终 边
角的终边关于原点对称
2k , , 的三角函数值等于 的同名
看成锐角时
函数名不变，符号看象限
数学应用
例1.求值：
4 11 cos tan(1560 ) ① sin ② ③ 4 3 4 3 sin( ) sin 解：① sin
② cos
11 3 3 2 cos(2 ) cos cos( ) cos 4 4 4 4 4 2
tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan (2)证明： cos sin(5 )
例3：判断下列函数的奇偶性：
①
f ( x) 1 cos x ② g ( x) x sin x
因为函数 f ( x) 的定义域为 R，且
3
3
3
2
③ tan(1560 ) tan1560 tan(4 360 120 )
tan120 tan( 180 60 ) tan60 3
例1表明，利用上面的公式可将任意 角的三角函数转化为锐角的三角函数。
小结：解题步骤
任意负角的三角函数
、
，
sin( ) sin cos( ) cos 公式（四）
tan( ) tan
7 sin 练习： 6
1 _________ 2
7 cos 6
3 2 _________
公式如何记忆？
三角函数值，前面加上一个把 原三角函数值的符号。
江苏省涟水中学
曹广明
新课导入
sin
6
_________
cos
6
_________
13 sin _________ 6
13 cos 6
_________
5 sin 6
sin( ) _________ 6
_________
7 sin 6
_________
5 cos 6 7
任意正角的三角函数
用公式二或一
0 ～2 的角的三角函数
用公式一
3 16 练习：① sin( ) 2 3
锐角的三角函数
用公式三或四
1 ② cos(2040 ) 2
cos(180 ) sin( 360 ) 例2．(1)化简： sin( 180 ) cos(180 )
6
1 ) _________ 2
公式（二）
3 cos( ) _________ 2
6
角的终边关于 轴对称
、
如图：
，
y
P(cos , sin ) Q(cos , sin )
角 的 终 边 P
y
角的 终 边 Q
sin sin cos cos
cos 6
cos( ) _________ 6
_________
_________
问题情境
角的终边关于 x轴对称、 y轴 对称、原点对称三角函数值之间 有何关系呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 角的终边关于x 轴对称
，
如图： P(cos , sin ) Q(cos , sin )
角 的 终 边 P
y
思考： 与角终边有什么关系？
cos cos tan tan
sin sin
O
Q 角的 终 边
x
、
，
角的终边关于 轴对称
x
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
练习： sin(
所以 g ( x)是偶函数。 练习：判断奇偶性 ② g ( x) ① f ( x) | sin x |
课堂小结
一、基本内容：
1.三角函数的四组诱导公式；
2.三角函数诱导公式的应用（求值、化简、证明）； 3.三角函数诱导公式的记忆方法。
二、思想方法：
1.数形结合 2.转化与化归
解： ①
f ( x) 1 cos( x) 1 cos x f ( x)
所以 f ( x) 是偶函数。 ② 因为函数 g ( x)的定义域为 R，且
g ( x) x sin( x) x ( sin x) ( x sin x) g ( x)
tan tan
思考：
O
x
与角终边有什么关系？
角的终边关于 轴对称
、
，
y
sin( ) sin
cos( ) cos 公式（三）
tan( ) tan
1 5 sin 2 练习： 6
_________
5 cos 6
3 2 _________
、
如图：
，
角的终边关于原点对称
角 的 终 边 P
y
P(cos , sin ) Q(cos , sin )
sin sin
O
x
思考：
与角终边有什么关系？
cos cos tan tan
Q 角的 终 边
角的终边关于原点对称
2k , , 的三角函数值等于 的同名
看成锐角时
函数名不变，符号看象限
数学应用
例1.求值：
4 11 cos tan(1560 ) ① sin ② ③ 4 3 4 3 sin( ) sin 解：① sin
② cos
11 3 3 2 cos(2 ) cos cos( ) cos 4 4 4 4 4 2
tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan (2)证明： cos sin(5 )
例3：判断下列函数的奇偶性：
①
f ( x) 1 cos x ② g ( x) x sin x
因为函数 f ( x) 的定义域为 R，且
3
3
3
2
③ tan(1560 ) tan1560 tan(4 360 120 )
tan120 tan( 180 60 ) tan60 3
例1表明，利用上面的公式可将任意 角的三角函数转化为锐角的三角函数。
小结：解题步骤
任意负角的三角函数
、
，
sin( ) sin cos( ) cos 公式（四）
tan( ) tan
7 sin 练习： 6
1 _________ 2
7 cos 6
3 2 _________
公式如何记忆？
三角函数值，前面加上一个把 原三角函数值的符号。
江苏省涟水中学
曹广明
新课导入
sin
6
_________
cos
6
_________
13 sin _________ 6
13 cos 6
_________
5 sin 6
sin( ) _________ 6
_________
7 sin 6
_________
5 cos 6 7
任意正角的三角函数
用公式二或一
0 ～2 的角的三角函数
用公式一
3 16 练习：① sin( ) 2 3
锐角的三角函数
用公式三或四
1 ② cos(2040 ) 2
cos(180 ) sin( 360 ) 例2．(1)化简： sin( 180 ) cos(180 )
6
1 ) _________ 2
公式（二）
3 cos( ) _________ 2
6
角的终边关于 轴对称
、
如图：
，
y
P(cos , sin ) Q(cos , sin )
角 的 终 边 P
y
角的 终 边 Q
sin sin cos cos
cos 6
cos( ) _________ 6
_________
_________
问题情境
角的终边关于 x轴对称、 y轴 对称、原点对称三角函数值之间 有何关系呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 角的终边关于x 轴对称
，
如图： P(cos , sin ) Q(cos , sin )
角 的 终 边 P
y
思考： 与角终边有什么关系？
cos cos tan tan
sin sin
O
Q 角的 终 边
x
、
，
角的终边关于 轴对称
x
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
练习： sin(