基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$

2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

3、基本不等式的两个重要变形

1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当

$x=1$ 时取“=”）

2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）

3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）

4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq

\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq

\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6、柯西不等式

1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq

(ac+bd)^2$

2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq

(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$

3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有

$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq

\frac{1}{2}(a+b)^2$

2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：

$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq

\frac{1}{3}$

4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-

b)(1-c)\geq 8abc$

5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq

\frac{9}{2(a+b+c)}$

题型二：利用柯西不等式证明不等式

1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq

\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$

2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$

5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-

bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$

题型三：求最值

1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。

2、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求 $abc$ 的最大值和最小值。

3、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值。

4、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ 的最小值。

5、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$ 的最小值。

1.求函数值域

1) $y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$

对于$x>0$，$3x^2\geq0$，$\frac{1}{2x^2}>0$，因此$y>0$，即函数的值域为$(0,+\infty)$。

2) $y=x(4-x)$

对于$x\geq0$，$y=x(4-x)=4x-x^2\leq4$，当$x=2$时，

$y=4$，因此函数的值域为$[0,4]$。

3) $y=x+\frac{1}{x}$

对于$x>0$，

$y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$，当$x=1$时，$y=2$，因此函数的值域为$[2,+\infty)$。

4) $y=x-\frac{1}{x}$

对于$x>0$，$y=x-

\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$，当$x=1$时，

$y=0$，因此函数的值域为$[2,+\infty)$。

2.利用不等式求函数值

1) 已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{2x-4}$的最小值。

y=2x-4+\frac{4}{2x-4}=2(x-2)+\frac{4}{2(x-2)}+2$

由于$x>2$，因此$2(x-2)>0$，$\frac{4}{2(x-2)}>0$，因此$y>2$。

令$t=x-2$，则

$y=2t+\frac{4}{2t}+2=2t+t+\frac{4}{2t}+2\geq 2\sqrt{2t\cdot t}+2=2\sqrt{2}+2$，当$t=\sqrt{2}$时，取等号，因此

$y_{\min}=2\sqrt{2}+2$。

2) 已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{1}{4x-

5}$的最大值。

y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=4(x-\frac{5}{4})+\frac{1}{4(x-

\frac{5}{4})}-2$

令$t=x-\frac{5}{4}$，则$y=4t+\frac{1}{4t}-2$。

对于$t<0$，$y<0$，不考虑。

对于$t>0$，由于$\frac{1}{4t}>0$，因此$y>4t-2$。

y'=4-\frac{1}{4t^2}=0$，解得$t=\frac{1}{2}$，此时

$y_{\max}=4t+\frac{1}{4t}-2=3$。

3.利用不等式求最值

1) 已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{2x-4}$的最小值。

同上题，$y=2t+t+\frac{4}{2t}+2\geq 2\sqrt{2t\cdot

t}+2=2\sqrt{2}+2$，当$t=\sqrt{2}$时，取等号，因此

$y_{\min}=2\sqrt{2}+2$。

2) 若$\frac{1}{2}

大值。

y=\frac{1}{x(2-x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x(2-

x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{x}{2}\cdot(2-\frac{x}{2})}$ 由于$\frac{x}{2}\frac{1}{1}=1$，因此$y<\frac{1}{2}$。

y'=-\frac{2}{x^2(2-x)^2}=0$，解得$x=1$，此时

$y_{\max}=2$。

4.巧用“1”的代换求最值问题

1) 已知$a,b>0$，$a+2b=1$，求

$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。

t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+2b}{ab}+\frac{1}{b}=\fr ac{1}{b}+\frac{2}{ab}$

令$x=\frac{1}{b}$，则$t=x+\frac{2}{x(a+2x)}$

由于$a+2x\geq2\sqrt{2ax}>2\sqrt{x}>1$，因此

$\frac{1}{a+2x}x+2$。

由于$a+2b=1$，因此$a1$，因此$x=\frac{1}{b}x+2\geq3$。

令$x=1$，则$t=3$，此时取等号，因此$t_{\min}=3$。

2) 已知$a,b>0$，$a+b=1$，求

$t=a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}$的最大值。

t=a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(1+b ^2)+(1+a^2)}=\sqrt{2(a^2+b^2)(a^2+b^2+1)}$

由于$a+b=1$，因此$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$，因此

$t\leq\sqrt{2(a^2+b^2)(a^2+b^2+1)}\leq\sqrt{2\cdot\frac{1}{2}\c dot\frac{5}{2}}=\sqrt{5}$。

当$a=b=\frac{1}{2}$时，$t=\sqrt{5}$，因此

$t_{\max}=\sqrt{5}$。

1.满足 $a_7=a_6+2a_5$，若存在两项 $a_{14},a_n$，使得$a_ma_n=4a_1$，求 $m+n$ 的最小值。

2.求函数 $y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}$（$x\neq -1$）的值域。变式：求函数 $y=\frac{x^2+8}{x-1}$（$x>1$）的值域。

3.求函数 $y=\frac{x+2}{2x+5}$ 的最大值。变式：求函数$y=\frac{x+1}{4x+9}$ 的最大值。

4.已知 $\log_ab^2+a\log_2b\geq 1$，求 $3+9$ 的最小值。变式1：如果 $a>b>0$，求关于 $a,b$ 的表达式

$a^2+\frac{11}{2}ab+a(a-b)$ 的最小值。变式2：已知 $a>1$，函数 $y=\log_a(x-1)+1$ 的图像恒过定点 $A$，若点 $A$ 在直

线 $mx-y+n=0$ 上，求 $4m+2n$ 的最小值。

5.已知 $x,y>0$，$x+2y+2xy=8$，求 $x+2y$ 的最小值。

6.设正实数 $x,y,z$ 满足 $x^2-3xy+4y^2-z=0$，则当

$\frac{xy}{z}$ 取得最大值时，$\frac{2x+12y-z}{z}$ 的最大值

为 $\frac{1}{4}$。

7.已知 $a,b>0$，满足 $ab=a+b+3$，求 $ab$ 的范围。变

式1：已知 $x,y>0$，

$\frac{1}{2}+x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}$，求$xy$ 的最大值。变式2：已知 $x,y>0$，$x^2+y^2+xy=1$，求 $xy$ 的最大值。

8.已知 $x,y>0$，且 $(x+y)(\frac{1}{ax}+\frac{1}{y})\geq

9$ 恒成立，求正实数 $a$ 的最小值。变式：已知 $a,b>0$，满

足 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=2$，若 $a+b\geq c$ 恒成立，求

$c$ 的取值范围。

9.利用柯西不等式求最值。二维柯西不等式：对于任意实

数 $a,b,c,d$，有 $ad-bc\leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$。

的最小值m，并求此时x,y,z之值。

Ans：m=7/3;(x,y,z)=(1/3,4/3,5/3)

题型二：利用柯西不等式向量形式求最值

1、已知向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1，求向量

a b c的最小值。

Ans：最小值为0，当且仅当a,b,c共线且同向。

2、已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1，且a与2b

的夹角为60度，求|a b|的最小值。

Ans：最小值为3，当且仅当a与b同向。

题型三：利用柯西不等式一般形式证明不等式

1、证明：对于任意实数a,b,c，有

a21)(b21)(c21)(ab bc ca1)2

Proof：由柯西不等式可得

ab bc ca)2(a21)(b21)(c21)

ab bc ca1)2(a21)(b21)(c21)

即证。

4、已知$a,b,c\in\mathbb{R}$，且$a+2b+3c=6$，求

$a^2+4b^2+9c^2$的最小值为12.

5、设$x,y,z\in\mathbb{R}$，且满足$x^2+y^2+z^2=1$，$x+2y+3z=14$，求$x+y+z$的值。

6、求$2\sin\theta+3\cos\theta\sin\phi-\cos\theta\cos\phi$的最大值和最小值。答案为最大值为22，最小值为-22.