会理县第五中学九年级数学上册 第23章 图形的相似23.6 图形与坐标23.6.2 图形的交换与坐标

23．6.2 图形的交换与坐标在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化．探索图形平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换中，它们点的坐标变化规律．重点图形运动与坐标变换的关系．难点图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律．一、情境引入思考在同一个平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？二、探究新知教师展示课件，引导学生探究各种情况的坐标变化规律，并总结出结论．现在我们带着问题来一起探究．1．平移变换的点的坐标变化规律例1 如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′，三个顶点的坐标有什么变化？【归纳结论】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.例 2 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(－3，4)，(－4，3)和(－1，3)，将△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A′B′C′，然后再将△A′B′C′沿x轴向右平移4个单位得到△A″B″C″，试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化．【归纳结论】经过两次平移后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3.【思考】通过以上例1、例2的探究你发现经过平移变换，点的坐标变化有什么特点？【归纳结论】(1)左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位，向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位．(2)上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单位，纵坐标就增加几个单位，向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位．2．轴对称变换的点的坐标变化规律例3 如图，△AOB 关于x 轴的轴对称图形是△A ′OB ，关于y 轴的轴对称图形是△A″OB″，它们对应顶点的坐标有什么变化？【归纳结论】(1)关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数； (2)关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 3．位似变换的点的坐标变化规律例4 如图，将△AOB 缩小后得到△COD. (1)它们的相似比是多少？(2)△AOB 的顶点坐标发生了什么变化？【归纳结论】横纵坐标都变为原来的12.思考 将例4中的△AOB 以点O 为位似中心，将△AOB 放大到原来的2倍得到△A′OB′.(1)△A′OB′可以画几个？(2)△AOB 的顶点坐标发生了什么变化？ 4．概括：填充完成教材92页的表格． 三、练习巩固教师展示课件，列出练习，可由学生自主完成，教师适当点拨，学生分组讨论． 如图，在对Rt △OAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt △O ′A ′B ′. (1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x ，y)为△AOB 边上任意一点，依次写出这几次变换后点P 对应点的坐标．四、小结与作业小结这节课你学习到哪些知识？有哪些收获，还有哪些疑问？布置作业从教材相应练习和“习题23.6”中选取．本节课采用集体讨论和活动探究的数学方法，“以教师为主导，学生为主体”，教师的“导”立足于学生的学，以学为重心，放手让学生自主探索、归纳结论，体验学习的快乐，从而激发学生的学习兴趣．第2课时切线的判定与性质一、新课导入1.导入课题:情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）2.学习目标:（1）能推导切线的判定定理和性质定理.（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.3.学习重、难点：重点：切线的判定定理与性质定理.难点：切线的判定与性质的初步运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第97页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA .b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.④请总结一下判定切线共有哪几种方法？a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.b.切线的判定定理.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.4.强化：（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.（2）常见的辅助线作法及证法：①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？解：是.理由：∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、思考、归纳.（4）自学提纲：①如图， OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？l⊥OA.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.③切线共有哪些性质？a.切线与圆只有一个公共点.b.圆心到切线的距离等于半径.c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC 的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.4.强化：（1）①与圆有唯一公共点切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径③垂直于过切点的半径..⎧⎪⎨⎪⎩.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法正确的是（B）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）A.24°B.25°C.28°D.30°3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP（垂径定理）.5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．用公式法解方程x 2－2＝－3x 时，a ，b ，c 的值依次是( )A ．0，－2，－3B ．1，3，－2C ．1，－3，－2D ．1，－2，－3 2．下列各式为完全平方式的是( )A ．x 2＋x ＋1B ．x 2＋x ＋14C ．x 2＋2x －1 D ．x 2－2x －13．一元二次方程x 2－12＝0的根是( )A ．2 3B ．－2 3C ．±4 3D ．±2 34．已知3是关于x 的方程43x 2－2a ＋1＝0的一个根，则2a 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．145．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝06．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为( )A ．(x ＋7)2＝17B ．(x ＋4)2＝15C ．(x －4)2＝17D ．(x －4)2＝15 7．下面以－2为根的一元二次方程是( )A ．x 2＋2x －2＝0B ．x 2－x －2＝0C ．x 2＋x ＋2＝0D ．x 2＋x －2＝08．某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x ，根据题意所列方程是( )A ．80(1＋x)2＝275B ．80＋80(1＋x)＋80(1＋x)2＝275C ．80(1＋x)3＝275D ．80(1＋x)＋80(1＋x)2＝275 二、填空题(每小题4分，共24分)9．若关于x 的方程(m ＋2)x |m|＋2x －1＝0是一元二次方程，则m ＝________．10．用适当的数填空：x 2－3x ＋______＝(x －______)2；x 2＋27x ＋______＝(x ＋______)2.11．填表并判断方程x 2－5x ＋6＝0的根是________________．x －1 0 1 2 3 x 2－5x ＋6 12 6 2 0 012.已知方程x 2－3x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k ＝________．13．我们在解方程x 2＝5时，方法是对它的两边开平方，请你思考一下，方程3－x ＝2应该怎样解，它的根是________．14．(南宁一模)如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM＝RS＝x米，则根据题意可列出方程为______________________．三、解答题(共44分)15．(16分)写出下列方程的一般形式、二次项系数、一次项系数以及常数项．16.(12分)解下列方程：(1)x2＋4x－5＝0；(2)y2－7y＋6＝0；(3)2x2－4x－3＝0；(4)－2y2－11y＋21＝0.17．(6分)已知一元二次方程ax2＋4x＋2＝0，且该方程有两个相等的实数根．求：(1)a的值；(2)该方程的根．18．(10分)某林场准备修一条长1 000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4平方米，上口宽比渠道深多2.3米，渠底宽比渠道深多0.3米．(1)渠道的上口与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？参考答案1.B2.B3.D4.C5.D6.C7.D8.B9.2 10.94327 7 11.x1＝2，x2＝3 12.9413.x＝－114.(22－x)(17－x)＝30015.x2－4x－3＝0 1 －4 －3 2x2＝0 2 0 0 12x2－7＝0120 －7 3y2－14y＋9＝0 3 －14 916.(1)x1＝－5，x2＝1.(2)y1＝1，y2＝6.(3)x1＝1＋102，x2＝1－102.(4)y1＝－7，y2＝32.17.(1)因为方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝0，即42－4×a×2＝0.解得a＝2.(2)将a＝2代入原方程，得2x2＋4x＋2＝0.解得x1＝x2＝－1.18.(1)设渠道深x米，则上口的宽度是(x＋2.3)米，渠底宽(x＋0.3)米，根据题意得：12[(x＋2.3)＋(x＋0.3)]×x＝1.4，解得x1＝－2(舍去)，x2，渠底宽是0.7＋0.3＝1(米)．答：渠道的上口与渠底宽分别是3米和1米．(2)∵渠道的长为1 000米，∴渠道的体积为1 000×1.4＝1 400(立方米)．∵每天挖土70立方米，∴需要的天数是：1 400÷70＝20(天)．答：需要20天才能把这条渠道的土挖完．11。