测试技术参考答案(王世勇-前三章)

第一章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。

试用第3种表达方式表示其测量结果。

解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种2）基于不确定度的表达方式可以表示为0x s x x x nσ∧=±=±均值为8118i i x x ===∑82.44标准偏差为821()7ii x x s =-==∑0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆ8x sσ==0.014 所以082.440.014x =±第二章 信号描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。

解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以 22222π120π()() 4.00501030n n n n n A a b n π=+=+= 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011π()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。

将位移信号表示成傅立叶级数，并绘制信号的时域波形和频谱图。

解：设该振荡器的位移表达式为()sin()s t A t B ωϕ=++由题意知100f Hz =振荡频率，所以有2200f ωππ==信号的幅值521.52A -== 信号的均值253.52B +== 信号的初相角0ϕ=所以有() 3.5 1.5sin(200)s t t π=+即该信号为只含有直流分量和基波分量的周期信号。

2.4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

图2.37 周期三角波信号（习题2-4图）解：()f t 在一个周期,22T T⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的表达式为 202()202ETt E t Tf t E T t E t T⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩ （1） 由图像可知,该信号的直流分量2021()d T T a x t t T-=⎰=E 022a E = （2）求该信号傅立叶级数20002200/20000/2/200002/2/20020024()cos d ()cos d ()42(()cos )42(cos cos )84cos cos 811[(sin cos )]T n T T T T T T T a f t n t t f t n t t TT Et E n tdt T TEt n tdt E n tdt T TE E t n tdt n tdt T T E t n t n t T n n ωωωωωωωωωωω-------===+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 被积函数是偶函数000000220000220041sin /2/20008181141sin +cos sin /2/2/22+(1cos )+()4, 1,3,5,() 0, 2,4,6,E n t T T T n E E E t n t n t n t T T T T T n T n n T n En n En n n ωωωωωωπωωωωπππ+--=+----⎧=⋅⋅⋅⎪=⎨⎪=⋅⋅⋅⎩（注意：＝２）＝００2022()sin d 0T n T b f t n t t Tω-==⎰（被积函数是奇函数） 2224, 1,3,5,()0, 2,4,6,n n n n En n A a b a n π⎧=⋅⋅⋅⎪=+==⎨⎪=⋅⋅⋅⎩arctan0nn nb a ϕ=-= •••++++=++=∑∞=)5cos()5(4)3cos()3(4)cos()(42)cos(2)(02202100t E t E t E E t n A a t f n n n ωπωπωπϕω ３）基波有效值rms12212242222()()n E Ex A ππ==== ４）信号有效值rms222122444[]2222()(3)(3)n n E E E E E x A πππ∞==+=++++•••∑５）信号的平均功率222rms 2222444{[]}22()(3)(3)x E E E E x ψπππ==++++••• 2.5 求指数函数()e (00)atx t A a t -=>≥，的频谱。

√解：()()j tat j t X n x t edt Ae e dt ωωω+∞+∞----∞==⎰⎰()22)j a tAA A a j e a j a j a ωωωωω+∞-+-=-==+++（（到此完成，题目未要求，可不必画频谱）鉴于有的同学画出了频谱图，在此附答案：22|()|||()arctanA AX j ωαωαωωφωα==++=-2.6求被截断的余弦函数0cos t ω0cos ||()0 ||t t T x t t T ω<⎧=⎨≥⎩(题图3-4 )的傅里叶变换。

√()()j t X x t e dt ωω+∞--∞=⎰题图3-4ω|x(ω)|A/α-π/4-α π/4aωφ(ω)000000000000TTT()()T()()00()()()()00()()0012121[]21[()()]211[()][2j t j t j t j t j t T T j t j tT Tj T j T j T j T j T j T e e e dt e e dt j je e j je e e e j je e ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----+---+----++----++===-+-=---+-=-++-⎰⎰（+）（+）00()()000000()]2sin[()]sin[()][]({sin c[()]sin c[()]}j T j T e e T T T T T ωωωωωωωωωωωωωωωω----+-=++-=++-到此式也可以）2.9求()h t 的自相关函数。

√e (00)()0 (0)at t a h t t -⎧≥>=⎨<⎩， 解：对能量有限信号()h t 的相关函数()0()()()d ()h at a t h R h t h t tR e e dtττττ∞-∞∞--+=+=⋅⎰⎰20a at e e dt τ∞--=⎰201()2a at e e aτ--+∞=-2a e aτ-=2.10求正弦波和方波的互相关函数。

√ 解法一：()sin x t t ω=，1(/23/2)()1(0/2,3/22)t y t t t πππππ<≤⎧⎪=⎨-<≤<≤⎪⎩1()lim ()()Txy T R x t y t dt T ττ→∞=+⎰1()()T x t y t dt T τ=+⎰/23/22/23/2[sin sin sin ]2tdt tdt tdt πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-++-⎰⎰⎰ /23/22/23/2[cos |cos |cos |]2t t t πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-+ 2sin ωτπ=解法二：(推荐)因为()()xy yx R R ττ-=322221()lim ()()()1lim ()()sin ()sin ()2sin Txy T yx TT R x t y t dtT R y t x t dt T t dt t dtππππττττωτωτωτπ→∞→∞-=+=-=-=--+-=⎰⎰⎰⎰2.12 已知信号的自相关函数为cos A ωτ，请确定该信号的均方值2x ψ和均方根值rms x 。

√ 解：均方值: 221lim()d T x T x t t T ψ→∞=⎰自相关函数: 01()lim ()()d Tx T R x t x t t T ττ→∞=+⎰令0=τ，得2(0)cos 0x x R A A ψ=== (0)rms x x R A ==2.14已知某信号的自相关函数()100cos100πx R ττ=，试求：1）信号的均值x μ；2）均方值2x ψ；3）功率谱)(ωx S 。

解：因为：22x x μσ-≤()x R τ ≤22x x μσ+ -100≤()x R τ ≤100 所以：22x x μσ-=-100 22x x μσ+=100 得：x μ=0； 2x ψ=100；j ()()e d x x S R ωτωττ∞--∞=⎰如何求余弦函数的傅氏变换？00j j 01cos (e e )2t t t ωωω-=+，0j 0e 2π()t ωδωω↔-，)]()([][cos 000ωωδωωδπτω-++=F)]100()100([100]100cos 100[)(πωδπωδππτω-++==F S x2.18 三个余弦信号1()cos 2x t t π=、2()cos 6x t t π=、3()cos10x t t π=进行采样，采样频率4Hz s f =，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出1()x t 、2()x t 、3()x t 的波形及采样点位置并解释频率混叠现象。

√ 解：114s s T f == 若信号为x (t),其采样输出序列为()()()()()()()44s sn ssn n x t x t t nT x nT t nT n n x t δδδ∞=-∞∞=-∞∞=-∞=⋅-=-=-∑∑∑将三个余弦信号代入上式得三个采样输出序列1()cos(2)()44cos()()24s n n n n x t t nn t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑cos2n π=（也可以写成这种形式） 2()cos(6)()443cos()()24s n n n nx t t n n t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑3cos2n π= 3()cos(2)()445cos()()24s n n n nx t t n n t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑5cos2n π=∵ 8s ωπ=，πω21=，πω62=，πω103=∴12s ωω>， 1()x t 不产生混叠；22s ωω<、32s ωω<，2()x t 、3()x t 产生混叠。