概率论第一章复习资料

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概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布即统计量的分布 1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章参数估计一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组0=∂∂i L θ 或对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字编辑词条文，wen ，从玄从爻。

概率论及数理统计要点复习

概率论与数理统计复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,nA A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的和，记作12nA A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,nA A A 同时发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12nA A A 或1nii A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,nA A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则（1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立；(ii) 事件A 与B 相互独立；(iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差0—1分布两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P k n k kn ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp1 2p q 均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ1 21λ正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6．随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第一章-概率论的基础知识

组合（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有
n A n! k Cn k k ! k !(n k )!
k n
种取法.
(1) 摸球问题例1:设盒中有4个白球，2个红球，现从盒中
任抽2个球，分别在放回抽样与不放回抽样的
情况下求
(1)取到两只白球的概率。
AB
“A发生必导致B发生”。
2.和事件： (p4) AB
AB发生“事件A与B 至少有一个发生”
i 2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生 A发生 i 1
n
3. 积事件(p4) :AB＝AB
A与B同时发生 AB发生
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。( p8) 称为概率的公理化定义
概率的性质 P(8-9) (1) P() 0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An); (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) A S , P( A) 1
解：
P( A B) 0.6 ,
求 P( AB )
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
P( A) [ P( A) P( B) P( A B)]
0.4 (0.4 0.3 0.6) 0.3

概率论与数理统计数学第一章复习

概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。

样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。

三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。

在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。

2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。

3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。

四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。

若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。

A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。

当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。

3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。

当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。

A 发生。

B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。

当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。

5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。

这指的是事件A与事件B不能同时发生。

基本事件是两两互不相容的。

6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。

又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。

这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。

A 的对立事件记作A，A=S-A。

五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。

概率论与数理统计要点复习

概率论与数理统计复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1ni i A=）．(4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,n A A A 同时发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容．(6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则（1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立； (ii) 事件A 与B 相互独立； (iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差0—1分布两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ 几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp12p q均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ121λ 正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ； ()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6．随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率论与数理统计(经管类)复习要点第1章随机事件与概率

第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。

随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。

统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。

（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。

（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。

样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。

样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。

3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。

事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。

基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。

两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。

空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。

①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。

事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。

（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。

概率论与数理统计第一章复习课

解：A: 收到信息为 1；B：发出信息为 1
196 P( AB) P( B ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P(B) P( A B) P(B) P( A B) 197
例一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
解： A, B, C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) P ( A BC ) P ( ABC ))
0.6( P ( ABC ) P ( A BC ) P ( ABC )) P ( ABC )
0.2(0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7) 0.6(0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7) 0.4 0.5 0.7
P( A1 | A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 2p . P( A2 ) 1 p
练习袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次品两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？
第一章复习课
本章基础知识
1. 样本空间、随机事件的概念.
2.事件的运算：和、差、积 ;互斥事件、对立事件 .
非负性 3.概率的概念和性质: 规范性可列可加性
4.等可能概型.
P ( AB ) 5.条件概率： P ( B A) P ( A)
6.全概率公式和贝叶斯公式
n P ( A) P ( Bi ) P ( A Bi ) i 1 P(B j )P( A B j ) P ( B j A) n P ( Bi ) P ( A Bi ) 0.21) 0.6(0.06 0.14 0.21) 0.14

概率论与数理统计总复习知识点归纳

D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。解用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)

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第一章历年试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（） A.P （A ）=1-P （B ）B.P （AB ）=P （A ）P （B ）C.P 1)(=ABD.P （A ∪B ）=1 答案：B2.设A ，B 为两个随机事件，且P （A ）>0，则P （A ∪B ｜A ）=（） A.P （AB ） B.P （A ） C.P （B ）D.1 答案：D3．从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（）A ．10150B ．10151C ．10050D ．10051 答案：A4．设事件A 、B 满足P （A B ）=0.2，P （A ）=0.6，则P （AB ）=（） A ．0.12 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 答案：B5．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（） A ．0)|(=B A PB ．P （B |A ）=0C ．P （AB ）=0D ．P （A ∪B ）=1 答案：A6．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A|B ） D ．1 答案：D7.设事件A 与B 相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是（）A.AB=φB.P(A B )=P(A)P(B )C.P(B)=1-P(A)D.P(B |A )=0答案：B8.设A 、B 、C 为三事件，则事件=C B A （） A.A C BB.A B CC.(A B )CD.( A B )C答案：A9．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（） A ．601 B ．457C ．51D ．157答案：D10．设随机事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P(B)=0.4，则P （B|A ）=（）A ．0B ．0.2C ．0.4D ．1 答案：A11．设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）=0.4，P(B)=0.5，则P(A B )=（）A ．0.1B ．0.4C ．0.9D ．1 答案：A12．已知事件A ，B 相互独立，且P （A ）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（）A ．P(A B)=P(A)+P(B)B ．P(A B)=1-P(A )P(B )C ．P(A B)=P(A)P(B)D ．P(A B)=1答案；B 13．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（）A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.104 答案：D 14．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（）A ．A 与A 互为对立事件B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A AD ．A A =答案：C 15．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P（） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6D ．0.8答案：D16.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（） A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5 答案：A17.设A 、B 为任意两个事件，则有（） A.（A ∪B ）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A ∪B)-B ⊂A D.(A-B)∪B⊂A答案：C18．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（） A ．P （AB ）=0B ．P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=P （A ）P （B ）D ．P （B-A ）=P （B ）答案；C19．设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则P （A|B ）=（）A ．151B ．51 C ．154D ．31答案：D20．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（） A ．P (AB )=lB ．P (A )=1-P (B )C ．P (AB )=P (A )P (B )D ．P (A ∪B )=1 答案；A21．设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（） A ．P (AB )=0 B ．P (A -B )=P (A )P (B )C ．P (A )+P (B )=1D ．P (A |B )=0 答案：B22．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（） A ．0.125 B ．0.25 C ．0.375 D ．0.50 答案：C23．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A AD ．21A A答案：B24．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（） A ．p 2 B ．(1-p )2 C ．1-2p D ．p (1-p ) 答案：D25．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A B ，则P (A |B )=（）A ．0B ．0.4C ．0.8D ．1答案：C26．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（） A ．0.20 B ．0.30 C ．0.38 D ．0.57 答案：D二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

27.设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.4，则P （A ∪B ）=___________。

答案：0.5228.从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___________。

答案:0.429.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容，则P （B ）=___________。

答案:6130.一批产品，由甲厂生产的占31，其次品率为5%，由乙厂生产的占32，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。

答案:12131．设事件A 与B 互不相容，且P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，则P （B ）=___________. 答案:0.732．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___________.答案:0.233．设P （A ）=0.3，P （B ）=P （C ）=0.2，且事件A ，B ，C 两两互不相容，则=⋃⋃)(C B A P ___________.答案:0.334．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于___________.答案:5512 35．设事件A 与B 互不相容， P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=____________. 答案:0.536．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为____________. 答案:3518 37．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为____________. 答案:0.738．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为____________. 答案:109 39.连续抛一枚均匀硬币5次,则正面都不出现的概率为 ___________。

答案: 32140.袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球出现的概率为___________。

答案:2719 41.设P （A | B ）=,61P （B ）=,21P （B | A ）=,41则P （A ）= ___________。

答案：,3142.设事件A 、B 相互独立，P （A B ）=0.6, P( A )=0.4,则P （B ）= ___________。

答案：, 343．设A与B是两个随机事件，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6,P（A⋃B）=0.7,则P(BA)=___________.答案：0.344．设事件A与B相互独立，且P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（A⋃B）=_________.答案；0.5845．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=________.答案：,1002146．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________________．答案：, 5 347．已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，且A，B相互独立，则P（A B）=________________．答案：,3148．设A，B为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=______________．答案：0.549．有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______.答案：, 16 150．某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为_______.答案：, 4 151.连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为___________。

答案：, 6452.设事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2, 则P(A∪B)= ___________。

答案；0.653.某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为___________。

答案：0.409654.袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为___________。

答案：, 14 155．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（A B）=__________.答案：0.1856．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.答案：,3157．将三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为______．答案：, 9 158．袋中有8个玻璃球，其中兰、绿颜色球各4个，现将其任意分成2堆，每堆4个球，则各堆中兰、绿两种球的个数相等的概率为______．答案：,351859．已知事件A、B满足：P(AB)=P(BA)，且P(A)=p，则P(B)= ______．答案：1-p60．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________.答案：, 2 161．设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)= ________. 答案；0.462．设事件A与B相互独立，且P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则P(B)=________.答案：0.563．设3.0)(=A P ，P (B |A )=0.6，则P (AB )=________.答案：0.4264．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.答案：,9165．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________.答案：,158三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 66．设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，且P （B |A ）=0.3，求P （AB ）.解：P （B |A ）=)(1)(1)()(B P B A P B P B A P --=3.0)(1)()()(1=-+--=B P AB P B P A P 3.05.0)(5.04.01=+--AB P 05.0)(=AB P67．某用户从两厂家进了一批同类型的产品，其中甲厂生产的占60%，若甲、乙两厂产品的次品率分别为5%、10%，今从这批产品中任取一个，求其为次品的概率. 解：设21,A A 分别表示从甲，乙两厂家生产的产品中取出的 B 表示从这批产品中任取一个为次品由全概率公式07.010.04.005.06.0)()()()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P68.100张彩票中有7张是有奖彩票,现有甲、乙两人且甲先乙后各买一张，试计算甲、乙两人中奖的概率是否相同？解：设 A 表示甲中奖B 表示乙中奖1007)(=A P由全概率公式1007997100939961007)()()()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 所以，甲、乙两人中奖的概率相同. 69．设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时，有效的概率分别为0.92与0.93，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为0.85，试求：（1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率. 解：设A ，B 分别表示Ⅰ与Ⅱ有效（1）)()()(A P B A P A B P =85.008.0)(93.0)()()(=-=-=AB P A P AB P B P 所以862.0)(=AB P （2）988.0862.092.093.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 70．某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？解：设321,,A A A 分别表示从甲，乙，丙3个厂家生产的产品中取出的 B 表示从这批产品中任取一个为合格品（1）由全概率公式 81.08.015.06.025.09.06.0)()()()()()()(332211=⨯+⨯+⨯=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P （2）由贝叶斯公式32.081.011.06.0)()()()(111≈-⨯==B P A B P A P B A P71．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）该件次品是由甲车间生产的概率. 解：设321,,A A A 分别表示从甲，乙，丙3个车间生产的产品中取出的B 表示从这批产品中任取一个为次品（1）由全概率公式026.005.020.002.035.004.045.0)()()()()()()(332211=⨯+⨯+⨯=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P （2）由贝叶斯公式69.0026.004.045.0)()()()(111≈⨯==B P A B P A P B A P 72．设A ，B 是两事件，已知P(A)=0.3，P(B)=0.6，试在下列两种情形下：（1）事件A ，B 互不相容；（2）事件A ，B 有包含关系；分别求出P(A | B)。