概率论与数理统计数学第一章复习
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论与数理统计复习
一般正态分布的标准化
定理 设 X ~ N(, 2), 则 Y ~ N(0, 1).
Y X ,
结论:
若 X ~ N(, 2),
则
F(x)
x
例
设 X ~ N(10, 4),
求 P(10<X<13), P(|X10|<2).
解: P(10<X<13) = (1.5)(0) = 0.9332 0.5 = 0.4332
第一章 随机事件与概率
1、随机事件的表示， 由简单事件的运算表达复杂事件； 2、概率的运算性质，如加法公式，减 法公式，乘法公式等； 3、条件概率公式，全概率公式，贝叶 斯公式； 4、事件独立性定义
例. 试用A、B、C 表示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
条件概率 乘法公式
全概率公式的例题
• 甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、 m只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.
• 概率为：
a n1 b n ab nm1 ab nm1
已知“结果” ，求“原 因”
第二章 随机变量及其分布
1、会由随机变量的已知分布律或密度函数求出 其分布函数； 2、六种重要分布的分布律和密度函数； 3、有关正态分布的概率计算； 4、会求随机变量函数的分布；
一、分布函数、分布律、密度函数、概率之间关系
例 已知 X 的分布列如下：
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求 X 的分布函数.
f
X
(h(
y)) | 0,
概率论与数理统计数学第一章复习
概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。
若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。
A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A，A=S-A。
五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
概率论与数理统计：第一章重难点辅导及例题讲解 (1)
概率论与数理统计第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件与概率复习要求：（1）了解随机事件、概率等概念；（2）掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；（3）了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；（4）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式；（5）理解事件独立性概念；（6）掌握贝努里概型。
考核要求：（1）随机事件的运算和性质（选择或填空）（2）会求解较简单的古典概型问题（选择或填空）（3）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式及条件概率（选择或填空）（4）熟练掌握全概率公式（计算题）例题讲解：例1 填空题（1）设A 与B 是两个事件，则)()(B A P A P =+ 。
（2）若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。
（3）设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 。
解：（1）因为 B A AB A +=，且AB 与B A 互斥所以 )()(B A P A P =+)(AB P正确答案：)(AB P（2）因为 B A AB A +=，1.03.04.0)()()(=-=-=B A P A P AB P4.03.01.0)()()(=+=+=B A P AB P B P所以 P A B ()+=7.01.04.04.0)()()(=-+=-+AB P B P A P正确答案：0.7（3）因为A B ,互不相容，即0)(=AB P所以 0)()()(==A P AB P A B P 正确答案： 0例2 单项选择题（1）事件B A -又可表示为（ ）。
A. B AB. ABC. AB A -D. B A AB -（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。
A.361 B. 181 C. 121 D. 61 （3）若等式（ ）成立，则事件A B ,相互独立。
A. P A B P A P B ()()()+=+ B. P AB P A P B A ()()()= C. P B P B A ()()= D. P A P B ()()=-1（4）设A 与B 是相互独立的两个事件，且31)(,21)(==B P A P ，则=+)(B A P （ ） A. 21 B. 65 C. 32 D. 43 解：（1）依定义，事件B A -表示A 发生但B 不发生，因此B A -也可以表示为AB A -. 正确答案：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是181362=。
概率论与数理统计第一章复习课
解：A: 收到信息为 1；B：发出信息为 1
196 P( AB) P( B ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P(B) P( A B) P(B) P( A B) 197
例 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则 第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次 及格的概率．
解： A, B, C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) P ( A BC ) P ( ABC ))
0.6( P ( ABC ) P ( A BC ) P ( ABC )) P ( ABC )
0.2(0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7) 0.6(0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7) 0.4 0.5 0.7
P( A1 | A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 2p . P( A2 ) 1 p
练习 袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次 品两面均印有国徽），在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这 只硬币是正品的概率是多少？
第一章复习课
本章基础知识
1. 样本空间、随机事件的概念.
2.事件的运算：和、差、积 ;互斥事件、对立事件 .
非负性 3.概率的概念和性质: 规范性 可列可加性
4.等可能概型.
P ( AB ) 5.条件概率： P ( B A) P ( A)
6.全概率公式和贝叶斯公式
n P ( A) P ( Bi ) P ( A Bi ) i 1 P(B j )P( A B j ) P ( B j A) n P ( Bi ) P ( A Bi ) 0.21) 0.6(0.06 0.14 0.21) 0.14
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计复习汇总
概率论与数理统计复习汇总第⼀章：概率论初步基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独⽴性事件的关系与运算(结合集合论和⽂⽒图来学习)⼦事件(⼦集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对⽴事件AB A B ∪A (补集)、差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ事件发⽣：事件A 中⾄少有⼀个样本点出现.处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ;AB A B A B AB ==∪∪加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n (分步)排列：全排列：；组合：,m m nnA P ,!n ,!m m m n nn P C C C m n mn ?==古典概型：满⾜以下两个特点的随机试验 ()An P A n Ω=1. 试验的样本空间中有有限的样本点；2. 每个样本点发⽣的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰⼦，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间；(2) 设两颗骰⼦点数相同，:A :B 两颗骰⼦点数和为5，求(),().P A P B 2. 袋⼦中有a 只⽩球，b 只红球，2个⼈依次在袋⼦中取⼀球，(1) 做有放回的抽样，求第⼆个⼈取得⽩球的概率；()aP A a b=+(2) 做⽆放回的抽样，求第⼆个⼈取得⽩球的概率；1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b ()+=+==+++++++ 注：当箱⼦中奖券⾜够多时，摸奖不分先后；概率的公理化定义设E 是⼀个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每⼀个事件A 赋予⼀个实数，记为，称为事件的概率，如果他满⾜下列的假设：()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设两两互不相容，则有12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪∪∪ ()公理化定义的性质：(1) ()1();P A P A =? (2) ()0;P Φ=(3) 对任意的事件有 ,A B ()()(P A B P A P AB );?=? 差事件的概率(4) 对任意的事件有 ,A B ()()()();P A B P A P B P AB =+?∪概率的⼀般加法公式例题2 利⽤事件关系和运算及公理化定义计算下列概率1. 设,A B 是两个事件，已知1118(),(),(),42P A P B P AB ===(),P A B ∪求(),(),[()()].P AB P AB P A B AB ∪条件概率在事件B 发⽣前提下，事件发⽣的概率，记为A ()()()P AB P A B P B =. 乘法公式：()()()()()P AB P B P A B P A P B A ==或全概率公式和贝叶斯公式样本空间的⼀个划分：设为随机试验S S E 的样本空间，12,,,n B B B 为E 的⼀组事件，若(1);i j B B =Φ (2) 12,n B B B S =∪∪∪则称12,,,n B B B 为样本空间的⼀个划分.或者S 12,,,n B B B 为⼀个完备事件组.全概率公式：设设为随机试验S E 的样本空间，12,,,n B B B 为⼀个完备事件组，则有1122()()()()()()()n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++i B 称为原因，A 称为结果；全概率公式由原因找结果；贝叶斯公式：由结果找造成的原因1122()()()()()()()()()()()i i i i n n P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B P B P A B ==+++ 注：不要盲⽬记公式，分析原因和结果例题3 计算下列概率1. 某商店收进甲⼚⽣产的产品300个，⼄⼚⽣产的同种产品200个，甲⼚⽣产产品的次品率为0.06，⼄⼚⽣产产品的次品率为0.05，求 (1) 任取⼀件产品为次品的概率是多少？(2) 已知取得的产品为次品，求此次品来⾃甲⼚⽣产的概率是多少？2. ⼈们为了了解⼀⽀股票未来⼀定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，⽐如利率的变化. 现假设⼈们经分析评估知利率下降的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，⼈们估计，在利率下调的情况下，该⽀股票价格上涨的概率为80%，⽽在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该⽀股票上涨的概率.事件的独⽴性设是两个事件，若有,A B ()()()P AB P A P B =，则称事件是相互独⽴的.,A B 结论1：设是两个事件，若事件相互独⽴，则,A B ,A B ()(P A B P A =). 若事件,A B 相互独⽴，则,;,;,A B A B A B 也是相互独⽴的. 三个事件相互独⽴若事件满⾜,,A B C ()()();()()();()()();()()()();P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称事件相互独⽴.,,A B C 结论2：若事件相互独⽴，则其中任意12,,,n A A A (2)k k n ≤<个事件也相互独⽴；若事件相互独⽴，则中任意多个事件换成他们各⾃的对⽴事件，所得的个事件也相互独⽴. 12,,,n A A A 12,,,n A A A n 例题4计算下列概率1. 某⼀治疗⽅法对⼀个患者有效的概率为0.9. 今对3个患者进⾏了治疗，求对3个患者的治疗中，⾄少有⼀个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相互独⽴的.第⼆章：随机变量及其相关内容基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数随机变量：设随机试验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在样本空间上的实值单值函数，称S ()X X e =为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于的取值类型) ..r v 离散型随机变量取值为有限个或者⽆限可列个的随机变量分布律若..r v X 的取值为对应概率值为，即12,,,,n x x x 12,,,,n p p p {}1,2,k kP X x p k === 且满⾜：10;1,k k k p p ∞=≥=∑则称为{}1,2,k kP X x p k === ..r v X 的概率分布律，简称分布律常见的离散型随机变量的分布 (区分背景、分布律、记号)贝努利试验试验E 中只有两个结果，,A A ；n 重贝努利试验可以重复进⾏的，相互独⽴的贝努利试验 (搞清楚背景)01?分布 (1,)X B p ～X0 1kp 1p ? p⼆项分布 X ：次试验中出现的次数取值：0, 分布律为n A 1,2,,n (,)X B n p ～或推导，验证是分布律{}(1)0,1,k kn k n P X K C p p k n ?==?= ,⼏何分布 X ：直到出现经历的试验次数取值：1, A 2,,,n 分布律为：推导，验证是分布律1{}(1)1,,,n P X K p p k n ?==?= 例题1 计算下列概率题⽬1. 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.2. 某⼈进⾏射击，设每次射击的命中率为0.02，独⽴射击100次，记X 为击中⽬标的次数(1) 写出X 的分布律；(2) 恰好击中3次的概率；(3)求⾄少击中两次的概率。
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第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集∅都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA⊂，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。
若BB⊂，即A=B，则称事件A与事件B相等。
A⊂且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x∉B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =∅，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =∅，则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A，A=S-A。
五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B⋃=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω， A∩A=∅8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。
2．频率具有下述基本性质：（1）0≤fn （A）≤1；（2）fn（S）=1；（3）若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则：fn （A1∪A2∪…∪Ak）= fn（A1）+ fn（A2）+…+ fn（Ak）七、概率1.设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A，规定一个实数P(A)与之对应，若集合函数P(〃)满足下列条件则称P(A)为事件A的概率：（1）非负性：对于每一事件A，有P(A)≥0；（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；（3）可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj=∅，i≠j,i,j=1,2,…,有:P（A1∪A2∪…）= P（A1）+ P（A2）+…2.概率的基本性质（1）对于不可能事件∅，P(∅)=0；对于必然事件Ω，P(Ω)=1。
（2）有限可加性：若A1，A2，…，Ak两两相斥，则有：fn （A1∪A2∪…∪Ak）= fn（A1）+ fn（A2）+…+ fn（Ak）（3）求逆公式：P(A)=1-P(A)。
（4）加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
（5）广义加法公式：特别地，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
（6）减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB),特别地,当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B),从而P(B)≤P(A)。
八、 条件概率1. 条件概率对于任意两个事件A 和B ，其中P(A)>0，事件B 在“事件A 已发生”的条件下发生的概率，简称为“事件B 关于事件A 的条件概率”，定义为 P(B|A)=)()(A P AB P 。
对于固定的事件A ，条件概率P(B|A)具有（无条件）概率的一切性质。
2. 乘法公式设A ，B 为两个事件，若P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A)； 若P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B)。
一般地，若P(1A 2A ...1-n A )>0，则有P(1A 2A ...n A )=P(1A )P(2A |1A )P(1A )P(3A |1A 2A )•...P(n A |1A 2A ...1-n A )。
九、 全概率公式1. 全概率公式设1A ，2A ，...，n A ，...为一个完全事件组，且P(i A )>0，i1,2，...，n ，...，则对于任意事件B ，有P(B)=∑∞=1)|()(i i i A B P A P .2. 贝叶斯公式设1A ，2A ，...，n A ，...为一个完全事件组，且P(i A )>0，i1,2，...，n ，...，则对任意概率不为零的事件B ，有 P(B A j |)=∑∞=1)|()()|()(i i ij j A B P AP A B P A P ， j=1,2，...十、 事件独立性1. 事件独立性（1） 对于两个事件A ，B ，如果)()()(B P A P AB P =, 则称事件A 与B 相互独立。
（2） 对于n 个事件1A ，2A ，...，n A ，如果其中任意两个事件相互独立，即对∀n j i ≤<≤1,均有)()()(j i j i A P A P A A P =，则称1A ，2A ，...，n A 两两独立。
（3） 对于n 个事件1A ，2A ，...，n A ，如果其中任意k 个事件（n k ≤≤2）in i i A A A ,...,21均有P(ik i i A A A ,...,21)=P(1i A )P(1i A )P(2i A )......P(ik A ) )...1(21n i i i k ≤<<<≤，则称1A ，2A ，...，n A 相互独立。
（4） 对于事件序列 1A ，2A ，...，k A ，...，如果对任意正整数n （2≥n ），事件 1A ，2A ，...，n A 相互独立，则称事件序列 1A ，2A ，...，k A ，...相互独立。
2. 独立事件的性质（1） 若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
也可以等价地说，四对事件:A 与B, A 与B ，A 与B ，A 与B 中有一对相互独立，则另外三对事件也相互独立。
（2） 若1A ，2A ，...，n A 相互独立，则其中任意)2(n m m ≤≤个事件也相互独立。
（3） 若1A ，2A ，...，n A 相互独立，则P （1A ，2A ，...，n A ）∏==ni iA P 1)(，∏=-=ni n A P A A A P 121)(1)...( .习题1.设B A ⊂B A ⊂，1.0)(=A P ,5.0)(=B P ，则=)(AB P _____,=)(B A P _____,=)(B A P _____.2. 设A ，B 为两相互独立的事件，6.0)(=B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P _____.3. 设在全部产品中有2%是废品，而合格品有85%是一级品，则任抽出一个产品是一级品的概率为_____.4. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射击中的概率为_____.5. 某射手在三次射击中几个至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为_____.6.将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 等七个字母排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为______.7. 假设1000件产品中有200件是不合格的产品，一次作不放回抽取两件产品，则第二次抽取到不合格品的概率为______.8.将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率=)(A P ______.9. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为______.10.有两只口袋，甲带中装3只白球，2只黑球，乙袋中装有2只白球，5只黑球，任选一袋，并从中任取一球，此球为白球的概率是_______.11. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P _______. 12.设A 、B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是_______. A.)()(A P B A P = ； B.)()(A P AB P =；C )()|(B P A B P =； D.)()()(A P B P A B P -=-.13. 设A 、B 为两个互斥事件，且P （A ）>0,P(B)>0,则结论正确的是_______.A. 0)|(>A B P ；B. )()|(A P B A P =；C.0)|(=B A P ；D.)()()(B P A P AB P =.14. 设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为_______. 15. 每次试验成功率为p （0<p<1），进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为_______. 16. 设P(A)=a,P(B)=b,P(A ∪B)=c,则P(A B )为_______.17. 设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是_______. A. 事件A 与B 互不相容 B. A ⊂BC. 事件A 与B 互相独立D. P(A ∪B)=P(A)+P(B)18. 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率为_______. 19. 设有一批产品共100件，其中95件合格品，5件次品，从中任取10件。
（1）求样本空间所含基本事件个数n 是多少？（2）求事件“所取10件全是合格品”所含基本事件的个数是多少？（3）求事件“取出10件中恰有两件次品”所含基本事件个数是多少？20. 10个螺丝钉中有3个是坏的，随机抽取4个，求（1）恰有两个是坏的概率是多少？（2）4个全是好的概率是多少？21. 20名运动员中有两名种子选手，现将运动员平分为两组，问两名种子选手：（1）分在不同组的概率是多少？（2）分在同一组的概率是多少？22. 在400米赛跑中有7条跑道，其中有3条好跑道，7名运动员抽签决定自己的跑道（每条跑道对应一根签），运动员小张最先抽，小李第二抽，试问小张，小李抽到好跑道的概率是否相同？并证明你的结论。