复数的概念和加减

【知识梳理】 1.虚数单位i :
()1它的平方等于1-，即
21i =-;
()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另
一个根是i -.
3.i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =.
4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体
复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示
5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi
+的形式，叫做复数的代数形式.
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，
z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0
7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘
8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d = 【典型例题分析】
例1、判断下列结论是否正确
（1）a b R ∈、,则a bi +是虚数； （2）b R ∈，则bi 是纯虚数； （3）z=a 不是虚数；
（4）*
(,)z a bi a b N =+∈是虚数
变式练习：判断下列命题的真假 命题1：2
0∈≥若z C,则z
命题2：22,,,()()0,x y z C x y y z x y z ∈-+-===若则 命题3：,2a R a ∈+若则()i 是纯虚数
命题4：,,00,00p q C p q pq p q ∈>>>+>若且则且
例2、实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =++-是：
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
变式练习：
m 取何值时，复数226
(215)3
m m z m m i m -+=
+--+（1）是实数 （2）是虚数 （3）是纯虚数
例3、已知(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x,y.
变式练习1：已知223(1)2()x y i i x yi +-+=-，其中x,y 都是实数，求复数x+yi
变式练习2：2
2,11022
a
x R a x x i xi x i ∈--=--若试确定取什么实数时，等式3成立？ 例
4、求满足
221222
log (1)log (3)log (2)log (33),m m i n n n i m n ++->++--的实数的范围。

例
5、设复数
31(2)()Z z a a i a R a =-+-∈求为何值时，表示复数z 的点在第二象限？第三象限？
在实轴上？在虚轴上？能否在原点？
例
6
、
已
知
复
数
121235(1),2(23)(,),,,z x y i z y x i x y R z x y
=-++=+-∈若z 在复平面内对应的点重合，求
例7、已知复数22123(5),1(21)()z a a i z a a a i a R =-++=-++-∈，分别对应向量
12,()OZ OZ O 为原点若向量 121212Z Z (Z Z =z -z ) 对应的复数为纯虚数，求a 的值。

变式练习：
在复平面内，已知等边三角形ABC 的两个顶点AB 所表示的复数分别为1322
i +和2，求第三个顶点的坐标。

【课堂小练】
1. 已知z i =-1，则在复平面上与iz 对应的点所在的象限是 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限期 （D ）第四象限
2. 将复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转512
π
，再把它的模变为原来的2倍，则与所得到的向量对应的复数是 （ ）
（A ）-+3i （B ）--3i （C ）3-i （D ）3+i
3. 把复数z i =-+3所对应的向量→
OZ 绕原点逆时针旋转
π
3
后，再将所得向量的模伸长到原来的2倍 ，得向量→
OQ ，则向量→ZQ 对应的复数是 （ ） （A ）--232i （B ）-2i （C ）33+i （D ）--33i
4. 把复数z 1 与z 2所对应的向量→
OA 、→
OB 分别按逆时针方向旋转4π和3
4π后，恰重合于向量→
OM 。

若z 2＝ 1 －3 i , 则z 1等于 （ ）
(A) － 2 －2i (B)－2＋2i (C) 1 －3i (D) 1 ＋ 3i
【课后练习】
1、复数2(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为
2、a=0是复数z=a+bi 是纯虚数的 条件（必要，充分，充要）
3、如果210(7)z a a i a R =+-∈中（）,Rez=Imz 则a =
4、求是和下列各等式的x,y
222222(1)()(24)138;(2)()22;
(3)(1130)(6)0
x y x y i i x y xyi i x x y y i ++-=--+=--+++-=
5、已知
x 为实数，是否存在实数a 使得复数
22212123(1)271?z x x a i z x a ax z z =+-+=+-->和（+）i 满足关系
若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。

6、若复数(1-a)+(a 2
-4)i(i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为____________.
7、在----8642013579，，，，，，，，这10个数中，任取两个作为虚数a bi +的实
部和虚部()a b ≠，则可能组成模大于5的不同的虚数的个数为 （ ） （A ）61 （B ）63 （C ）64 （D ）65
8.2复数的代数运算 （Algebraic operation of Complex Number ）
我们知道，实数之间能进行加、减、乘、除等运算．同样，在复数之间也可以定义加、减、乘、除等运算． 1.复数的加减法
设复数),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，复数的加法规定为：
i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++．
两个复数的和仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个复数虚部的和．
复数的减法是加法的逆运算，即bi a +减去di c +的差是指满足bi a di c yi x +=+++)()(的复数),(R y x yi x ∈+，记作)()(di c bi a +-+．根据复数的加法和复数相等的定义得：
b d y a
c x =+=+,，所以
d b y c a x -=-=,．因此i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+．
两个复数的差仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个复数虚部的差．
容易验证，复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数321,,z z z ，有
1221z z z z +=+，)()(321321z z z z z z ++=++．
例1.计算：
).32()32()23)(3();25()24)(2();54()32)(1(i i i i i i i +-+--++--+-++
例2.求证：若复数0≠z ，则z 为纯虚数的充要条件是0=+z z ．
例3．已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且i z z 2
32121+=+.求z 1、z 2的值.
例4．设复数z 满足2=z ，求i z -的最大值及此时的复数z ．
习题练习·自己练
1.已知下列四个命题:
(1) 若两个虚数21,z z 的和是实数,则21,z z 是共轭虚数; (2) 若21,z z 是共轭复数,则21,z z 的差是纯虚数; (3) 若复数z z =,则z 是实数;
(4) 若复数0=+z z ,则z 是纯虚数. 其中正确的命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2.若复数)2()23()32(22i m i m mi m z +-+---=是实数，求实数m 的值
3．已知集合{}{}P z z z Q z z z ωωωω==+∈==-∈C C ，，，，求P ∩Q ．
4.已知两个复数1z 和2z ，它们之和是i )21()12(-++，它们之差是i )21()12(++-，求1z 、2z ．
5.设复数z 满足53=+-i z ．则当z 为实数时, =z ；当z 为纯虚数时,
=z .。